Revisions 3

Révisions 3
TS
Exercice 1 : ROC
1) Prérequis : Pour tout complexe
0z
et
'0z
on a :
''zz z z
et
arg( ') arg( ) arg( ') (2 )zz z z
.
Démontrer par récurrence que, pour tout complexe
0z
et pour tout entier
naturel n :
nn
zz
et
arg( ) arg( ) (2 )
n
z n z
.
2) a. Déterminer le module et un argument de
22zi
.
b. En déduire une forme trigonométrique de
40
z
.
Exercice 2 :
T est une variable aléatoire à valeur dans [0 ; 1] dont la loi de probabilité a pour densité la
fonction définie par
( ) 2f x x
.
1) Calculer
1
02 PT
et
13
44
PT
.
2) Calculer
0,3 0,6 0,4 0,7 T
PT
. On donnera l’arrondi au millième.
Exercice 3 :
1) Résoudre dans l’inéquation
9 ² 33 10 0xx  
.
2) On choisit au hasard un nombre dans l’intervalle [0 ; 2].
a. Quelle est la probabilité qu’il soit solution de l’inéquation
9 ² 33 10 0xx  
?
b. Quelle est la probabilité qu’il soit solution de l’équation
9 ² 33 10 0xx  
?
Exercice 4 :
f
est la fonction définie sur
0;
par
( ) cos(2 ) 2cos( )f x x x
.
1) Montrer que pour tout réel
x
0;
, on a :
'( ) 2sin( ) 2cos( ) 1f x x x 
.
2) Etudier, suivant les valeurs de
x
, le signe de
'( )fx
.
3) En déduire la valeur minimale de
f
.
Révisions 3
TS
Exercice 1 : ROC
1) Prérequis : Pour tout complexe
0z
et
'0z
on a :
''zz z z
et
arg( ') arg( ) arg( ') (2 )zz z z
.
Démontrer par récurrence que, pour tout complexe
0z
et pour tout entier
naturel n :
nn
zz
et
arg( ) arg( ) (2 )
n
z n z
.
2) a. Déterminer le module et un argument de
22zi
.
b. En déduire une forme trigonométrique de
40
z
.
Exercice 2 :
T est une variable aléatoire à valeur dans [0 ; 1] dont la loi de probabilité a pour densité la
fonction définie par
( ) 2f x x
.
1) Calculer
1
02 PT
et
13
44
PT
.
2) Calculer
0,3 0,6 0,4 0,7 T
PT
. On donnera l’arrondi au millième.
Exercice 3 :
1) Résoudre dans l’inéquation
9 ² 33 10 0xx  
.
2) On choisit au hasard un nombre dans l’intervalle [0 ; 2].
a. Quelle est la probabilité qu’il soit solution de l’inéquation
9 ² 33 10 0xx  
?
b. Quelle est la probabilité qu’il soit solution de l’équation
9 ² 33 10 0xx  
?
Exercice 4 :
f
est la fonction définie sur
0;
par
( ) cos(2 ) 2cos( )f x x x
.
1) Montrer que pour tout réel
x
0;
, on a :
'( ) 2sin( ) 2cos( ) 1f x x x 
.
2) Etudier, suivant les valeurs de
x
, le signe de
'( )fx
.
3) En déduire la valeur minimale de
f
.