Probabilités discrètes - Mathématiques - Cours 2

Probabilités discrètes
Mathématiques - Cours 2
Sophie B ERNARD
[email protected]
L3 M IAGE - 2016-2017
AUJOURD ’ HUI
Rappels
Expérience et Univers
Probabilités discrètes
Probabilité conditonnelle
Théorème de Bayes
Probabilités composées
Indépendance
Variables aléatoires
Définition
Loi de probabilité
Espérance
2/28
P LAN
Rappels
Expérience et Univers
Probabilités discrètes
Probabilité conditonnelle
Théorème de Bayes
Probabilités composées
Indépendance
Variables aléatoires
Définition
Loi de probabilité
Espérance
3/28
VOCABULAIRE
Expérience aléatoire et Univers
Une expérience aléatoire est une expérience renouvelable (au moins en
théorie), et qui dans des conditions identiques ne donnent pas forcément le
même résultat : on ne peut le prévoir.
L’univers est alors l’ensemble des résultats possibles à cette expérience.
Remarques
• L’univers n’est pas forcément unique.
• L’univers doit permettre d’exprimer les événements auxquels on
s’intéresse.
• A chaque répétition de l’expérience, on multiplie l’univers par l’univers
d’une seule répétition.
Ex. Pour un lancer de dé, Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Pour 3 lancers de dé, Ω3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}3 : les triplets d’éléments d’Ω1 .
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P LAN
Rappels
Expérience et Univers
Probabilités discrètes
Probabilité conditonnelle
Théorème de Bayes
Probabilités composées
Indépendance
Variables aléatoires
Définition
Loi de probabilité
Espérance
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P ROBABILITÉ CONDITIONNELLE
Définition
Pour A et B deux événements tels que P(B) 6= 0, la probabilité
conditionnelle de A sachant B est :
P(A | B) =
P(A ∩ B)
.
P(B)
Remarque
Cela revient à peu près à changer d’univers :
Soit B un événement avec une probabilité non nulle, et A un autre
événement, inclus dans B. En particulier, on a A ∩ B = A.
P(A | B) =
P(A ∩ B)
P(A)
|A|/|Ω|
|A|
=
=
=
.
P(B)
P(B)
|B|/|Ω|
|B|
6/28
E XEMPLE
• On suppose que, dans une famille de deux enfants, la répartition
fille/garçon est équiprobable.
→ Sachant que l’un au moins des enfants est une fille, quelle est la
probabilité que les deux enfants soient des filles ?
7/28
E XEMPLE
• On suppose que, dans une famille de deux enfants, la répartition
fille/garçon est équiprobable.
→ Sachant que l’un au moins des enfants est une fille, quelle est la
probabilité que les deux enfants soient des filles ?
• Expérience aléatoire : répartition fille/garçon.
• Univers : Ω = {FF , FG, GF , FF }.
• On note A = {FF , FG, GF , FF } qui correspond à l’un au moins des
enfants est une fille.
P(FF )
1/4
P(FF ∩ A)
1
• P(FF | A) =
=
=
= .
P(A)
P(A)
3/4
3
7/28
P ROBABILITÉS TOTALES
Formule
Soit A un événement, et B1 , ..., Bn des événements qui partitionnent l’univers.
Alors :
n
X
P(A) =
P(A ∩ Bi ).
i=1
Si de plus, à chaque fois, P(Bi ) 6= 0, alors :
P(A) =
n
X
P(A | Bi ) · P(Bi ).
i=1
Remarque
En particulier, soit C un événement non trivial (qui n’est ni l’univers entier, ni
l’ensemble vide) :
P(A) = P(A ∩ C) + P(A ∩ C) = P(A | C) · P(C) + P(A | C) · (1 − P(C)).
8/28
E XEMPLE
• On suppose que, dans une famille de deux enfants, la répartition
fille/garçon est équiprobable.
• Un livreur sonne à la porte. Un des enfants se lève et va ouvrir : c’est
une fille.
→ Quelle est la probabilité que l’autre enfant soit une fille ?
9/28
E XEMPLE
• On suppose que, dans une famille de deux enfants, la répartition
fille/garçon est équiprobable.
• Un livreur sonne à la porte. Un des enfants se lève et va ouvrir : c’est
une fille.
→ Quelle est la probabilité que l’autre enfant soit une fille ?
• Expérience aléatoire : répartition fille/garçon.
• Univers : Ω = {FF , FG, GF , FF }.
• On note B l’événement “une fille vient ouvrir”.
1
2
1
P(FG) + P(GF ) + P(FF ) = .
2
2
4
P(FF ∩ B)
1/4
1
• P(FF | B) =
=
= .
P(B)
1/2
2
• P(B) =
9/28
L E PROBLÈME DES FAUX POSITIFS
On essaie de dépister une maladie, et pour cela, un test est créé :
• Si une personne est malade, il est positif dans 99% des cas.
• Si une personne est saine, il est négatif dans 95% des cas.
→ Ce test est-il fiable pour vous ?
10/28
L E PROBLÈME DES FAUX POSITIFS
On essaie de dépister une maladie, et pour cela, un test est créé :
• Si une personne est malade, il est positif dans 99% des cas.
• Si une personne est saine, il est négatif dans 95% des cas.
→ Ce test est-il fiable pour vous ?
• La maladie est rare : elle ne touche qu’une personne sur mille.
→ Cela change-t-il votre opinion sur la fiabilité du test ?
10/28
T HÉORÈME DE B AYES
Théorème de Bayes
Pour A et B deux événements tels que P(A) 6= 0 et P(B) 6= 0, alors :
P(A | B) · P(B) = P(B | A) · P(A).
Remarques
• Ce n’est qu’une double application de la définition des probabilités
conditonnelles :
P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B) = P(B | A) · P(A).
• Il permet d’avoir des informations "a posteriori" à partir d’informations "a
priori".
11/28
L E PROBLÈME DES FAUX POSITIFS
On essaie de dépister une maladie rare (un cas sur mille), et pour cela, un
test est créé :
• Si une personne est malade (M), il est positif (TP ) dans 99% des cas.
• Si une personne est saine (S), il est négatif (TN ) dans 95% des cas.
→ Ce test est-il fiable pour vous ?
P(TP | M) · P(M)
.
P(TP )
• Or : P(TP ) = P(TP | M) · P(M) + P(TP | S) · P(S).
• Par Bayes : P(M | TP ) =
P(M | TP ) =
P(M | TP ) =
P(TP | M) · P(M)
.
P(TP | M) · P(M) + P(TP | S) · P(S)
0, 99 · 0, 001
≈ 2%.
0, 99 · 0, 001 + 0, 05 · 0, 999
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E XPÉRIENCE COMPOSÉE
Définition
Une expérience est dite composée si elle consiste en une succession
d’expériences aléatoires.
Exemples
• Pour attribuer les parts de galette des rois, on commence par choisir qui
passe sous la table (1e expérience), puis la personne qui est dessous
choisit à qui va chaque part (2e expérience).
• Dans un jeu de trivial pursuit, le choix de la question est aussi une
expérience composée : on commence par choisir un thème, puis si la
question de la carte de ce thème n’a pas été posée : on la choisit, sinon,
on prend une nouvelle carte.
• Dans un jeu de grattage, on commence par gratter les cases : on peut
alors perdre, gagner de l’argent, ou avoir 3 télés. Dans le cas des 3
télés, on passe à la télévision pour essayer de gagner autre chose.
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A RBRES DE PROBABILITÉS
Préparer un dessert qui se décompose en une pâte et une garniture.
• Si la pâte est réussie, le dessert est bon 4 fois sur 5.
• Si la pâte n’est pas réussie, il n’y a que 1 chance sur 4 de réussir à
modifier le dessert pour qu’il soit correct.
• Il y a 2 chances sur 3 que la pâte soit réussie.
Réussite de la pâte A
Réussite de la garniture G
4/5
2/3
1/4
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A RBRES DE PROBABILITÉS
Préparer un dessert qui se décompose en une pâte et une garniture.
• Si la pâte est réussie, le dessert est bon 4 fois sur 5.
• Si la pâte n’est pas réussie, il n’y a que 1 chance sur 4 de réussir à
modifier le dessert pour qu’il soit correct.
• Il y a 2 chances sur 3 que la pâte soit réussie.
Réussite de la pâte A
Réussite de la garniture G
4/5
2/3
1/3
1/5
1/4
3/4
14/28
A RBRES DE PROBABILITÉS
Préparer un dessert qui se décompose en une pâte et une garniture.
• Si la pâte est réussie, le dessert est bon 4 fois sur 5.
• Si la pâte n’est pas réussie, il n’y a que 1 chance sur 4 de réussir à
modifier le dessert pour qu’il soit correct.
• Il y a 2 chances sur 3 que la pâte soit réussie.
Réussite de la pâte A
2/3
1/3
Réussite de la garniture G
4/5
P(A ∩ G) = 8/15
1/5
P(A ∩ G) = 2/15
1/4
P(A ∩ G) = 1/4
3/4
P(A ∩ G) = 1/12
14/28
P ROBABILITÉS COMPOSÉES
Formule
Soient A1 , A2 , ..., An des événements tels que P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) 6= 0.
P(A1 ∩A2 ∩...∩An ) = P(A1 )·P(A2 | A1 )·P(A3 | A1 ∩A2 )...P(An | A1 ∩A2 ...An−1 ).
Plus simplement
Si An ⊂ An−1 ⊂ ... ⊂ A2 ⊂ A1 alors :
P(An ) = P(A1 ) · P(A2 | A1 ) · P(A3 | A2 ) · ... · P(An | An−1 .
Remarque
C’est en fait ce qu’on retrouve sur les branches d’un arbre de probabilité !
15/28
E XEMPLE
• On prend une urne, contenant trois boules vertes et deux boules rouges.
• A chaque fois qu’on tire une boule d’une couleur, on la remet dans
l’urne, et on en ajoute une de la même couleur.
→ Quelle est la probabilité de tirer deux boules vertes et une rouge ?
16/28
I NDÉPENDANCE
Définition
Deux événements A et B sont dits indépendants si
P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Remarque
• C’est une propriété à vérifier ! (On ne peut que rarement la déduire
directement de la situation, sauf dans le cas d’une répétition
d’expériences).
• Ce n’est pas la même chose qu’être incompatible !
• Si A et B sont indépendants, A et B le sont aussi, ainsi que A et B, et
donc A et B.
17/28
I NDÉPENDANCE
Conséquences
Si A et B sont deux événements tels que P(B) 6= 0,
• Si A et B sont indépendants, alors :
P(A | B) =
P(A ∩ B)
P(A) · P(B)
=
= P(A).
P(B)
P(B)
• Si P(A | B) = P(A), alors A et B sont indépendants.
Indépendance conditionnelle
On parle aussi d’indépendance conditionnelle si A, B et C sont trois
événements, et :
P((A ∩ B) | C) = P(A | C) · P(B | C).
18/28
E XEMPLE
• On lance trois dés non pipés : un rouge, un noir et un blanc.
• A = “la somme des dés rouges et noirs est inférieure ou égale à 4”.
• B = “la somme des dés noirs et blancs est inférieure ou égale à 4”.
• C = “le dé noir vaut 1”.
→ A et B sont-ils indépendants ?
→ A et B sont-ils conditionnellement indépendants sachant C ?
19/28
E XEMPLE
• On lance trois dés non pipés : un rouge, un noir et un blanc.
• A = “la somme des dés rouges et noirs est inférieure ou égale à 4”.
• B = “la somme des dés noirs et blancs est inférieure ou égale à 4”.
• C = “le dé noir vaut 1”.
→ A et B sont-ils indépendants ?
→ A et B sont-ils conditionnellement indépendants sachant C ?
• Univers : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}3 .
36
1
1
= et P(B) = .
216
6
6
14
• P(A ∩ B) =
.
216
• Ils ne sont pas indépendants.
• P(A) =
19/28
E XEMPLE
• On lance trois dés non pipés : un rouge, un noir et un blanc.
• A = “la somme des dés rouges et noirs est inférieure ou égale à 4”.
• B = “la somme des dés noirs et blancs est inférieure ou égale à 4”.
• C = “le dé noir vaut 1”.
→ A et B sont-ils indépendants ?
→ A et B sont-ils conditionnellement indépendants sachant C ?
• Univers : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}3 .
18/216
1
1
= et P(B | C) = .
36/216
2
2
9/216
1
• P((A ∩ B) | C) =
= .
36/216
4
• Ils sont conditionnellement indépendants sachant C.
• P(A | C) =
19/28
I NDÉPENDANCE MUTUELLE
Définition
On se donne n événements A1 , ...An . Ils sont dits mutuellement
indépendants, si pour tout sous-ensemble I de {1, ..., n}, on a :
\
Y
P( Ai ) =
P(Ai ).
i∈I
i∈I
Cas particulier
Soient 3 événements A, B, C. Leur indépendance mutuelle correspond à :
• Ils sont deux à deux indépendants.
• P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B) · P(C).
Exemple
Si on lance trois fois de suite un dé non pipé, les trois événements “obtenir
un 1 au premier lancer”, “obtenir un 2 au deuxième lancer” et “obtenir un 3 au
troisième lancer” sont mutuellement indépendants.
20/28
P LAN
Rappels
Expérience et Univers
Probabilités discrètes
Probabilité conditonnelle
Théorème de Bayes
Probabilités composées
Indépendance
Variables aléatoires
Définition
Loi de probabilité
Espérance
21/28
VARIABLE ALÉATOIRE
Exemple
Dans les jeux d’argent, on ne s’intéresse pas réellement au résultat de
l’expérience aléatoire, mais plutôt au gain ou à la perte d’argent que ce
résultat entraîne : on associe, à chaque résultat possible, un nombre qui
correpond au gain (positif) ou à la perte (négatif).
Définition
Une variable aléatoire est une fonction de Ω dans R.
Remarques
• On la note X en général (puis Y , Z ).
• Permet de s’occuper uniquement de ce qui est intéressant (typiquement,
le gain)
22/28
E XEMPLE
• On lance deux fois un dé à 4 faces non pipé : Ω = {1, 2, 3, 4}2 .
• On note X la variable aléatoire qui donne la somme des résultats de
chaque lancer.
• On a alors X (Ω) = {2, 3, 4, ..., 8} : ensemble des valeurs pouvant être
prises.
• Une urne contient 6 boules numérotées : {1, 2, 2, 3, 3, 3}.
• Si on note X la fonction qui à chaque boule associe son numéro... on
obtient une variable aléatoire !
• Jeu de pile ou face : si c’est pile, vous gagnez un euro, sinon, perte de
un euro.
• Jeu de dé : si c’est un 6, gain de 4 euros, sinon, perte de un euro.
23/28
D ÉFINITIONS
Loi de probabilité
La loi de probabilité d’une variable aléatoire X sur un univers Ω est la
fonction de R dans [0; 1] définie par f (x) = P(X = x).
Fonction de répartition
La fonction de répartition d’une variable aléatoire X sur un univers Ω est la
fonction de R dans [0; 1] définie par F (x) = P(X ≤ x).
Exemples
On lance deux fois un dé à 4 faces non pipé, et on note X la variable
aléatoire qui donne la somme des résultats de chaque lancer.
24/28
E XEMPLES
Lancer d’un dé à 6 faces non pipé : si c’est un 6, gain de 4 euros, sinon,
perte de un euro.
• On note X la variable aléatoire qui associe à chaque résultat possible le
gain/perte d’argent :
x
-1
4
P(X = x)
5
6
1
6
• Loi de probabilité de X :
• On reconnaît alors que F (0) est la probabilité de perdre de l’argent, car
F (0) = P(X ≤ 0). Ici, F (0) =
5
.
6
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A RETENIR !
• Une loi de probabilité prend des valeurs comprises entre 0 et 1.
• La somme des valeurs d’une loi de probabilité est égale à 1.
• Une fonction de répartition prend des valeurs comprises entre 0 et 1.
• Une fonction de répartition est toujours croissante.
26/28
E SPÉRANCE
Définition
L’espérance d’une variable aléatoire X est la moyenne des valeurs de la
variable aléatoire pondérées par leur probabilité :
E[X ] =
N
X
(xi · · · P(X = xi )).
i=1
Remarques
• L’espérance correspond à la moyenne des valeurs que l’on obtiendrait
en faisant une infinité de tirages.
• On parle souvent d’espérance de gain : évitez de jouer si l’espérance est
négative !
• On dira d’un jeu qu’il est équilibré si l’espérance est nulle.
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E XEMPLES
Dans le cas du lancer d’un dé à 6 faces non pipé où si c’est un 6, on gagne 4
euros, sinon, on perd un euro.
• Loi de probabilité de la variable aléatoire X du gain :
x
-1
4
P(X = x)
5
6
1
6
5
4
5
1
1
· 4 + · (−1) = − = − .
6
6
6
6
6
• L’espérance est négative : en moyenne, toutes les 6 parties on perdra un
euro.
• E[X ] =
28/28