Devoir n!8. AlgDbre linéaire Exercice A 1) Soit u ` , E!, où E un ev de

Devoir n 8. Algèbre linéaire
Exercice A
1) Soit u 2 L(E), où E un ev de dimension …nie.
a) Montrer que pour tout sev de E, on a dim u(F ) = dim F
dim(F \ Ker u):
Indication : Appliquer le théorème du rang à v : F ! E x 7 ! u(x), restriction à F de l’application linéaire u.
b) Montrer que rg u = rg(u2 ) ssi Im u
Ker u = E.
Indication : Noter que Im(u2 ) = u(Im u). En utilisant a), montrer que rg u = rg(u2 ) ssi Im u \ Ker u = f0g:
Par le théorème du rang, on a par dimension : Im u \ Ker u = f0g ssi Im u
2) Soit A 2 Mn (K).
Montrer que rg A = rg(A2 ) ssi A est semblable à une matrice
B
O
O
O
Ker u = E.
où B 2 GLr (K) est inversible.
Indication : Pour A 2 Mn (K) véri…ant rg A = rg(A2 ), on notera u l’endomorphisme associé à A.
Exercice B. Commutant de certaines matrices (les questions sont indépendantes)
Soit M 2 Mn (K). Le commutant de M est C(M ) = fA 2 Mn (K) j AM = M Ag.
1) a) Montrer que C(M ) est une sous-algèbre de Mn (K), c’est-à-dire un sev qui contient In et est stable par
b) Soient M 2 Mn (K) et
2) Soit D = Diag(
a) Soit A = (aij )1
1 ; :::;
:
2 K. Montrer que les matrices M et M + In ont le même commutant.
n)
i n;1 j n
une matrice diagonale de coe¢ cients diagonaux
1 ; :::;
n
deux à deux distincts.
2 Mn (K). Expliciter les coe¢ cients des matrices AD et DA:
b) Montrer que la matrice A commute avec D ssi A est diagonale. En déduire dim C(D):
1
0
0 1 0 0
C
B
B 0 0 ... 0 C
C la matrice de coe¢ cients i=j 1 (c’est-à-dire 1 si i = j 1, et 0 sinon).
B
3) On considère J = B
C
..
@ 0
. 1 A
0 0 0 0
On note u l’endomorphisme de E = K n associé à J et B = (e1 ; :::; en ) la base canonique de K n :
Ainsi, u est déterminé par u(e1 ) = 0 et 8j 2 f2; 3; :::; ng, u(ej ) = ej
1
:
a) Expliciter les J k , pour k 2 N. Expliciter la matrice A = a0 In + a1 J + ::: + an
1J
n 1,
où les ai 2 K.
b) Soit v 2 L(E) un endomorphisme commutant avec u. Montrer que 8k 2 N, v(uk (en )) = uk (v(en )):
En déduire que v est entièrement déterminé par le seul vecteur v(en ).
En conclure que dim C(u)
n:
Indication : On note C(u) le commutant de u (sev de L(E)). Noter que ' : C(u) ! E v 7 ! v(en ) est injective:
Remarque : On en déduit dim C(J)
n, car on a C(u) = C(J) en identi…ant matrice et endomorphisme associé.
c) En déduire que C(J) = Vect(I; J; :::; J n
1)
qui est l’ensemble des matrices de la forme a0 In + a1 J + ::: + an
1J
n 1:
4) Soient i et j 2 f1; 2; :::; ng:
On considère la matrice canonique Eij 2 Mn (K) : tous les coe¢ cients sont nuls sauf celui d’indice (i; j) qui vaut 1.
a) Justi…er (par des schémas matriciels) que AEij = Eij A ssi (aii = ajj et 8k 6= i, aki = 0 et 8k 6= j, ajk = 0).
b) (|) Montrer que les seules matrices qui commutent avec toutes les matrices de Mn (K) sont les homothéties In :
c) En utilisant les conditions données au a), préciser la valeur de dim C(Eij ), en distinguant les cas i = j et i 6= j.
Exercice C. Réduction des endomorphismes nilpotents de rang n
1
Soit u 2 L(E), où E est un K-ev de dimension n. On note e
0 l’endomorphisme nul.
1) On suppose un = e
0 et un
1
6= e
0. Ainsi, il existe x 2 E tel que un
a) Montrer que (x; u(x); u2 (x); :::; un
1 (x))
1 (x)
6= 0:
est une base de E.
b) En déduire qu’il existe une base B de E telle que MatB u = J, où J est la matrice dé…nie au B) 3).
2) a) Soit u un endomorphisme tel que dim Ker u = 1. Montrer que 8k 2 f0; 1; :::; ng, rg uk
b) On suppose un = e
0 et rg u = n
1: Montrer que un
1
n
k.
6= e
0, ce qui permet d’appliquer 1).
Remarque : Un endomorphisme nilpotent est nécessairement de rang < n, car sinon, il serait bijectif (car surjectif).
Exercice D. Caractérisation des homothéties vectorielles
Soit u 2 L(E). On dit que x 2 E est un vecteur propre de u associé à la valeur propre
1) Soient x et y deux vecteurs propres associés à des valeurs propres
et
ssi x 6= 0 et u(x) = x:
distinctes, c’est-à-dire
6= .
Montrer que la famille (x; y) est libre et que le vecteur z = x + y n’est pas un vecteur propre de u.
2) Montrer que les seuls endomorphismes u 2 L(E) tels que tout vecteur non nul de E est vecteur propre de u sont
les homothéties vectorielles (c’est-à-dire les
Id, avec
2 K).
Exercice E. Formes linéaires sur Mn (K)
On rappelle que les formes linéaires sur K p sont les ' : K p ! K (x1 ; :::; xp ) 7 !
Pn
i=1 ai xi .
1) Montrer que les formes linéaires sur Mn (K) sont les ' : Mn (K) 7 ! tr(t AM ), avec A 2 Mn (K).
Indication : Les formes linéaires sur K p sont les ' : K p ! K X = (xk )1
Donc les formes linéaires sur Mn (K), qui est isomorphe à K
(n2 )
Pp
avec ak 2 K:
Pn Pn
, sont les ' : M = (mij ) 7 ! i=1 j=1 aij mij :
k p
7 !
k=1 ak xk ,
2) Montrer que les seules formes linéaires ' véri…ant '(M N ) = '(N M ) pour tous M et N sont les
tr.
Indication : On considère les matrices Eij de la base canonique de Mn (K). On rappelle que Eij Ekl =
En écrivant que '(Eij Ejk ) = '(Ejk Eij ), montrer que aik =
ik ajj ,
d’où on déduit aii = ajj et 8i 6= k, aik = 0:
Exercice F. Noyau d’une matrice tridiagonale (extrait Mines PC 2013 )
On considère A 2 Mn (K) une matrice tridiagonale : 8(i; j) 2 f1; 2; :::; ng2 , ji
On suppose de plus que 8(i; j) 2 f1; 2; :::; ng2 , ji
jj > 1 ) aij = 0.
jj = 1 ) aij 6= 0.
1) Montrer que si un vecteur non nul X = (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 Ker A, alors xn 6= 0:
2) En déduire que dim Ker A
3) Soit
jk Eil :
1:
une valeur propre de A. Montrer que le sev propre E = Ker(A
In ) est de dimension 1.