Devoir n!8. AlgDbre linéaire Exercice A 1) Soit u ` , E!, où E un ev de

Devoir n8. Algèbre linéaire
Exercice A
1) Soit u2 L(E), où Eun ev de dimension …nie.
a) Montrer que pour tout sev de E, on a dim u(F) = dim Fdim(F\Ker u):
Indication : Appliquer le théorème du rang à v:F!E x 7! u(x), restriction à Fde l’application linéaire u.
b) Montrer que rg u= rg(u2)ssi Im uKer u=E.
Indication : Noter que Im(u2) = u(Im u). En utilisant a), montrer que rg u= rg(u2)ssi Im u\Ker u=f0g:
Par le théorème du rang, on a par dimension : Im u\Ker u=f0gssi Im uKer u=E.
2) Soit A2 Mn(K).
Montrer que rg A= rg(A2)ssi Aest semblable à une matrice B O
O O où B2GLr(K)est inversible.
Indication : Pour A2 Mn(K)véri…ant rg A= rg(A2), on notera ul’endomorphisme associé à A.
Exercice B. Commutant de certaines matrices (les questions sont indépendantes)
Soit M2 Mn(K). Le commutant de Mest C(M) = fA2 Mn(K)jAM =MAg.
1) a) Montrer que C(M)est une sous-algèbre de Mn(K), c’est-à-dire un sev qui contient Inet est stable par :
b) Soient M2 Mn(K)et 2K. Montrer que les matrices Met M+Inont le même commutant.
2) Soit D= Diag(1; :::; n)une matrice diagonale de coe¢ cients diagonaux 1; :::; ndeux à deux distincts.
a) Soit A= (aij )1in;1jn2 Mn(K). Expliciter les coe¢ cients des matrices AD et DA:
b) Montrer que la matrice Acommute avec Dssi Aest diagonale. En déduire dim C(D):
3) On considère J=
0
B
B
B
B
@
0 1 0 0
0 0 ...0
0...1
0 0 0 0
1
C
C
C
C
A
la matrice de coe¢ cients i=j1(c’est-à-dire 1si i=j1, et 0sinon).
On note ul’endomorphisme de E=Knassocié à Jet B= (e1; :::; en)la base canonique de Kn:
Ainsi, uest déterminé par u(e1) = 0 et 8j2 f2;3; :::; ng,u(ej) = ej1:
a) Expliciter les Jk, pour k2N. Expliciter la matrice A=a0In+a1J+::: +an1Jn1, où les ai2K.
b) Soit v2 L(E)un endomorphisme commutant avec u. Montrer que 8k2N,v(uk(en)) = uk(v(en)):
En déduire que vest entièrement déterminé par le seul vecteur v(en).
En conclure que dim C(u)n:
Indication : On note C(u)le commutant de u(sev de L(E)). Noter que ':C(u)!E v 7! v(en)est injective:
Remarque : On en déduit dim C(J)n, car on a C(u) = C(J)en identi…ant matrice et endomorphisme associé.
c) En déduire que C(J) = Vect(I; J; :::; Jn1)qui est l’ensemble des matrices de la forme a0In+a1J+::: +an1Jn1:
4) Soient iet j2 f1;2; :::; ng:
On considère la matrice canonique Eij 2 Mn(K): tous les coe¢ cients sont nuls sauf celui d’indice (i; j)qui vaut 1.
a) Justi…er (par des schémas matriciels) que AEij =Eij Assi (aii =ajj et 8k6=i,aki = 0 et 8k6=j,ajk = 0).
b) (|) Montrer que les seules matrices qui commutent avec toutes les matrices de Mn(K)sont les homothéties In:

c) En utilisant les conditions données au a), préciser la valeur de dim C(Eij ), en distinguant les cas i=jet i6=j.
Exercice C. Réduction des endomorphismes nilpotents de rang n1
Soit u2 L(E), où Eest un K-ev de dimension n. On note e 0l’endomorphisme nul.
1) On suppose un=e 0et un16=e 0. Ainsi, il existe x2Etel que un1(x)6= 0:
a) Montrer que (x; u(x); u2(x); :::; un1(x)) est une base de E.
b) En déduire qu’il existe une base Bde Etelle que MatBu=J, où Jest la matrice dé…nie au B) 3).
2) a) Soit uun endomorphisme tel que dim Ker u= 1. Montrer que 8k2 f0;1; :::; ng,rg uknk.
b) On suppose un=e 0et rg u=n1:Montrer que un16=e 0, ce qui permet d’appliquer 1).
Remarque : Un endomorphisme nilpotent est nécessairement de rang < n, car sinon, il serait bijectif (car surjectif).
Exercice D. Caractérisation des homothéties vectorielles
Soit u2 L(E). On dit que x2Eest un vecteur propre de uassocié à la valeur propre ssi x6= 0 et u(x) = x:
1) Soient xet ydeux vecteurs propres associés à des valeurs propres et distinctes, c’est-à-dire 6=.
Montrer que la famille (x; y)est libre et que le vecteur z=x+yn’est pas un vecteur propre de u.
2) Montrer que les seuls endomorphismes u2 L(E)tels que tout vecteur non nul de Eest vecteur propre de usont
les homothéties vectorielles (c’est-à-dire les Id, avec 2K).
Exercice E. Formes linéaires sur Mn(K)
On rappelle que les formes linéaires sur Kpsont les ':Kp!K(x1; :::; xp)7! Pn
i=1 aixi.
1) Montrer que les formes linéaires sur Mn(K)sont les ':Mn(K)7! tr(tAM), avec A2 Mn(K).
Indication : Les formes linéaires sur Kpsont les ':Kp!K X = (xk)1kp7! Pp
k=1 akxk, avec ak2K:
Donc les formes linéaires sur Mn(K), qui est isomorphe à K(n2), sont les ':M= (mij )7! Pn
i=1 Pn j=1 aij mij :
2) Montrer que les seules formes linéaires 'véri…ant '(MN) = '(NM )pour tous Met Nsont les tr.
Indication : On considère les matrices Eij de la base canonique de Mn(K). On rappelle que Eij Ekl =jkEil:
En écrivant que '(Eij Ejk) = '(EjkEij ), montrer que aik =ik ajj , d’où on déduit aii =ajj et 8i6=k,aik = 0:
Exercice F. Noyau d’une matrice tridiagonale (extrait Mines PC 2013 )
On considère A2 Mn(K)une matrice tridiagonale : 8(i; j)2 f1;2; :::; ng2,jijj>1)aij = 0.
On suppose de plus que 8(i; j)2 f1;2; :::; ng2,jijj= 1 )aij 6= 0.
1) Montrer que si un vecteur non nul X= (x1; x2; :::; xn)2Ker A, alors xn6= 0:
2) En déduire que dim Ker A1:
3) Soit une valeur propre de A. Montrer que le sev propre E= Ker(AIn)est de dimension 1.