Réduction des endomorphismes (1er niveau)
MATHEMATIQUES – Réduction des endomorphismes (1er niveau)
2008 - 2009
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I – ELEMENTS PROPRES
II – POLYNOMES CARACTERISTIQUE
III – DIAGONALISABILITE
IV – POLYNOMES D’ENDOMORPHISME, POLYNOMES DE MATRICE
V – APPLICATION DE LA DIAGONALISATION
1) Calcul des puissances d’une matrice carré
2) Suites récurrentes linéaires simultanées du 1er ordre à coefficient constant.
I – ELEMENTS PROPRES
• Définition :
est un - espace vectoriel,
- Soit , on dit que est une valeur propre de si et seulement si
-On dit que est un vecteur propre
de si et seulement siet
⇒
⇒⇒
⇒ Remarque :par définition un
n’est jamais nul.
(Matrice de si on est en dimension fini)
- Soit , on dit que est une valeur propre de si et
seulement si
- On dit que est un vecteur propre de si et seulement si
• Définition : On appelle spectre de et on note l’ensemble des valeurs propres de .
Proposition :
Soit un - espace vectoriel, , on a
REDUCTION DES ENDORMORPHISMES (1
er
NIVEAU)
Rappel
:
Soit
• On appelle noyau de l’ensemble
• On appelle image de l’ensemble
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Démonstration
C'est-à-dire
Si on est en dimension finie et si est la matrice associée a .
Proposition – définition :
Soit et
On dit que et sont valeurs propres et vecteurs propres associé, si et seulement si
Pour toute valeur propre de , le sous espace vectoriel est constitué des
associées à et du
vecteur nul.
Ce sous espace vectoriel s’appelle sous espace propre pour associé a et est noté
• Exemple :
Soit
- Déterminer les et
de .
Ou bien et et
Ou bien et
- On a trouvé deux valeurs propres :
-
Rappel
:
Le théorème du rang dit que
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-
Proposition :
Soit ,
des valeurs propres de deux à deux distinctes,
alors les sous espaces vectoriels pour associé a
sont en somme directe.
II – POLYNOMES CARACTERISTIQUE
Propriété :
Soit tel que est un polynôme, appelé polynôme caractéristique de , il est noté
Démonstration
C’est clair par développement du déterminant.
Propriété :
Soit et
On a
En particulier
est de dimension finie soit .
Démonstration :
Avec
Avec une permutation de
• Exemple :
En dimension 3, construire les permutations de
Ici on a fait la liste des permutations de
.
signature de la permutation =
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Application : règle de SARRUS
• Chaque fois qu’on prend
Le terme
est de degré en (car les termes en sont obtenus dans les termes
diagonaux, c'est-à-dire lorsque , donc pour les points fixes de . Si ce n’est pas l’identité, il y a au plus n-
2 points fixes
•
Le terme en
est
Le terme en
Pour avoir le terme constant j’évalue en
Le terme constant de
est égal à
Donc
Propriété :
Deux matrices carrées semblables ont même polynôme caractéristique.
Démonstration
Calculons
Rappel
:
• est semblable à
•
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Propriété :
Les valeurs propres d’un endomorphisme sont les zéros du polynôme caractéristique de cet endomorphisme.
Démonstration
Corollaire :
Une matrice carrée d’ordre a au plus valeurs propres.
• Exemple : Calculez les valeurs propres et vecteurs propres de A.
Ainsi est racine simple et racine double de
• Définition : Soit et
une valeur propre de. On appelle ordre de multiplicité de
l’ordre de
multiplicité de
en tant que zéro du polynôme caractéristique.
• Exemple : Précédemment on a dit que 1 est valeur propre simple et 2 valeurs propres doubles.
⇒
⇒⇒
⇒ Remarque : Si, vu que tout polynôme a au moins un zero, alors admet au moins une valeur propre.
Propriété :
Soit
6
7
8
9
10
11
12
13
1
/
13
100%
