Réduction des endomorphismes (1er niveau)

MATHEMATIQUES – Réduction des endomorphismes (1er niveau)
2008 - 2009
REDUCTION DES ENDORMORPHISMES (1er NIVEAU)
I – ELEMENTS PROPRES
II – POLYNOMES CARACTERISTIQUE
III – DIAGONALISABILITE
IV – POLYNOMES D’ENDOMORPHISME, POLYNOMES DE MATRICE
V – APPLICATION DE LA DIAGONALISATION
1) Calcul des puissances d’une matrice carré
2) Suites récurrentes linéaires simultanées du 1er ordre à coefficient constant.
I – ELEMENTS PROPRES
• Définition :
est un - espace vectoriel, - Soit , on dit que est une valeur propre de si et seulement si
, 0 tel que $ -On dit que est un vecteur propre %
&&&&'de si et seulement si 0 et
tel que $ &&&&&' n’est jamais nul.
⇒ Remarque :par définition un ()
A (Matrice de si on est en dimension fini)
- Soit , on dit que est une valeur propre de + si et
seulement si
, , , 0 -. +, $ ,
Rappel :
Soit : 8
• On appelle noyau de l’ensemble
1 $ 4 tel que $ 05
• On appelle image de l’ensemble
3 $ 49 8 tel que $ 95
- On dit que , est un vecteur propre de + si et seulement si
, 0 -. +, $ ,
• Définition : On appelle spectre de et on note / l’ensemble des valeurs propres de .
Proposition :
Soit un - espace vectoriel, , on a
/ 0 1 2 3 405 0 2 3 6%
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Démonstration
/ 0 , 0 -. $ / 0 , 0 -. 2 $ 0
/ 0 , 0 -. 2 3 $ 0
0 , 0 -. 1 2 3
C'est-à-dire 1 2 3 405
Si on est en dimension finie et si + est la matrice associée a .
/+ 0 1 + 2 3 405 0 + 2 3 6% 0 : + 2 3 ; Rappel :
Le théorème du rang dit que
dim
TUV
$ dim 1 B TX
dim3
XUXXV
W
YZ [
Proposition – définition :
Soit et \405
On dit que et sont valeurs propres et vecteurs propres associé, si et seulement si
0 $ Pour toute valeur propre de , le sous espace vectoriel 1 2 3 est constitué des %
&&&&' associées à et du
vecteur nul.
Ce sous espace vectoriel s’appelle sous espace propre pour associé a et est noté /= , /= , $ 1 2 3
1
Soit + $ >1
1
• Exemple :
1 1
1 1@
1 1
- Déterminer les % et %
&&&&' de +.
+, $ ,
B 9 B C $ B 9 B C $ D
A B 9 B C $ 9D 0 E
$ 9 $ C
B 9 B C $ C
Ou bien 0 et $ 9 $ C et $ 3
Ou bien $ 0 et B 9 B C $ 0
- On a trouvé deux valeurs propres :
-
$0
/=+, 0 $ 4, 9, C, B 9 B C $ 05 $ 4, 2 2 C, C, 9 $ 2 2 C5
H
K
H
K
/=+, 0 $ E., . $ GIHJ B C GIHJL $ M NGIHJ ; GIHJP
0
0
1
1
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-
$3
/=+, 3 $ M GHJ
H
H
Proposition :
Soit , H , … , ] des valeurs propres de deux à deux distinctes,
4H , … , ] 5 ^ / alors les sous espaces vectoriels pour associé a H , … , ] sont en somme directe.
II – POLYNOMES CARACTERISTIQUE
Propriété :
Soit tel que : est un polynôme, appelé polynôme caractéristique de , il est noté _[ .
a b 2 3
Démonstration
C’est clair par développement du déterminant.
Propriété :
Soit c 2 et + eW On a _f $ 21W W B 21WIH g +WIH B h B +
En particulier _f est de dimension finie soit .
Démonstration :
iHH
+ 2 3 $ > j
iWH
h
k
h
iHW
j @
iWW
i $ ll 2 D
Avec Ei $ ll .
6
lm
lm
n + 2 3 $ ∑ p qirHH irss … irWW
Avec q une permutation de /W .
41,2, … , 5
• Exemple :
En dimension 3, construire les permutations de /t
1
2
3 é
q$G
J
q1 q2 q3 : v é
1
q$w
1
2 3
x $ 3
2 3
1 2
τHs $ w
2 1
3
x
3
1 2 3
H $ w
x
2 3 1
1
τHt $ w
3
2 3
x
2 1
1 2 3
H $ w
x
3 1 2
Ici on a fait la liste des permutations de /t .
pq $ signature de la permutation =21Wz lW{|Y}l~W}
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1
τst $ w
1
2 3
x
3 2
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Application : règle de SARRUS
HH
 $ > sH
tH
Hs
ss
ts
Ht
st @
tt
 $ B1. HH ss tt 2 1. sH Hs tt 2 1. tH ss Ht 2 1. HH ts st B 1. sH ts Ht B 1. Ht Hs st
iHH h iHW
k
j € % ill $ ll 2 _f $ € j
iWH h iWW
• Chaque fois qu’on prend  3
Le terme pqirHH irss … irWW est de degré 2 2 en (car les termes en sont obtenus dans les termes
diagonaux, c'est-à-dire lorsque q $ , donc pour les points fixes de q. Si ce n’est pas l’identité, il y a au plus n2 points fixes
•  $ 3 iHH iss … iWW $ HH 2 ss 2 … WW 2 Le terme en W est 21W
Le terme en WIH ‚ HH 2WIH B ss 2WIH B h B WW 2WIH
g +2WIH
Pour avoir le terme constant j’évalue en $ 0
+ 2 03 $ +
Le terme constant de ƒf est égal à +
Donc
_f $ 21W W B 21WIH g +WIH B h B +
Propriété :
Deux matrices carrées semblables ont même polynôme caractéristique.
Démonstration
Rappel :
• + est semblable à  0 = IH
…†
TXUXV
W , -.  $ = +=
|W}|‡zˆ| ‰|}
‡Š‹YlŒŒ|}
lW{|Y}|}
• det + $ det + 2 det  $ det +
Calculons _„ $ det 2 3
_„
_„
_„
_„
_„
_„
$ det=IH += 2 3
$ det=IH += 2 =IH =
$ det=IH + 2 3=
$ det=IH . det+ 2 3 . det =
$ det=IH = . _f
$ _f
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Propriété :
Les valeurs propres d’un endomorphisme sont les zéros du polynôme caractéristique de cet endomorphisme.
Démonstration
/ 0 1 2 3 405
0 2 3 6%
0 : 2 3 ; 0 det 2 3 $ 0 0 _[ $ 0
Corollaire :
Une matrice carrée d’ordre a au plus valeurs propres.
est racine de _f est un polynôme de dimension • Exemple : Calculez les valeurs propres et vecteurs propres de A.
3
+ $ >2
2
1 21
2 21@
2 0
32
det+ 2 3 $ € 2
2
12
det+ 2 3 $ € 2
2
1
22
2
21 B 22
2
1
det+ 2 3 $ 1 2 €2
2
1
det+ 2 3 $ 1 2 €2
2
21 †H – †H 2 †s
21€
2
21
22
2
0
21€
2
0
42
4
0
21€ s – s B H
2
0
21€
2
det+ 2 3 $ 1 2 ˜4 2 2— 1š41 $ 1 2 4 2 4 2 $ 1 2 4 2 4 B s $ 1 2 2 2s
det+ 2 3 $ 1 2 2 2s
Ainsi 1 est racine simple et 2 racine double de _f
• Définition : Soit et K une valeur propre de . On appelle ordre de multiplicité de K l’ordre de
multiplicité de K en tant que zéro du polynôme caractéristique.
• Exemple : Précédemment on a dit que 1 est valeur propre simple et 2 valeurs propres doubles.
⇒ Remarque : Si $ ›, vu que tout polynôme a au moins un zero, alors œ admet au moins une valeur propre.
Propriété :
Soit , K / Page 5
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K l’ordre de multiplicité de K
K la dimension du sous espace propre /= , K On a alors 1 ž K ž K
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Démonstration
1) puisque par définition /= , K $ 1 2 K 3
Or K / 0 1 2 K 3 405
Donc dim /= , K c 1
C'est-à-dire 1 ž K
2) prenons
une base ˜H , s , … , ‰Ÿ š de /= , K D’après le théorème de la base incomplète je peux construire ˜‰Ÿ H , ‰Ÿ s , … , W š
De façon à ce que ˜H , s , … , ‰Ÿ , ‰Ÿ H , ‰Ÿ s , … , W š forme une base de .
On écrit la matrice de dans cette base.
K
0
£
0
¢
¢0
0
¡0
0 0
k 0
0 K
0 0
0 0
0 0
h h h H $ K . K
j
j
¦
j ˜‰Ÿ š $ K . ‰Ÿ
¥
k
j¥
k j
% é K
h h k ¤ &&&&&&&'
Donc K 2 ‰Ÿ est un diviseur de _[ , donc l’ordre de multiplicité K de K est donc supérieur ou égal à K .
On a alors 1 ž K ž K
Corollaire :
Pour toute valeur propre simple K , dim /= , K $ 1
III – DIAGONALISABILITE
• Définition : Soit On dit que est diagonalisable si et seulement il existe une base  de dans laquelle la matrice de soit diagonale,
c'est-à-dire si + est la matrice de :
= …†W , b §
TUV
W |W}|‡zˆ|
‰|} ‡Š‹YlŒ|}
‰lŠZ~WŠˆ|
tel qu’on ait + $ =b=IH (+ est semblable a b)
Propriété :
Les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes
Soit 1) est diagonalisable
2) Il existe une base de formée de vecteurs propres de 3) La somme des /= de est égale à .
4) La somme des dimensions des /= de est égale a dim .
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• Exemple :
2 0
+$> 1 1
22 0
1
1@
21
Calcul de _f ,des valeurs propres et des vecteurs propres de +.
+ est telle diagonalisable ?
22
_f $ det+ 2 3 $ € 1
22
22
$ €2 2 22
22
$€ 0
22
0
12
0
0
12
0
2
0
$€ 0 12
22
0
0
12
0
H – H B s
1
€
1
21 2 1
1 € †s – †s 2 †H
21 2 †H – †H B †t
1
0 €
21 2 2
0 €
21 2 1
1
2
2
$ 21s s 1 2 ¨
¨ $ 21 2 ¨
¨
22 21 2 22 21 2 Donc 0 est valeur propre simple
Et 1 valeur propre double.
+ 2 3 $ 21 2 s
- , /=0 0 +, $ 0, 0 , 1 + 2 03
2 B C $ 0
C $ 22
A B 9 B C $ 0D 0 A 9 $ D
$
22 2 C $ 0
1
C $ 22D
C $ 22D
/=0 $ ©N9P , E
ª $ ©N P , E
ª $ M «> 1 @¬
9$
9$
22
C
22
- , /=1 0 , 1 + 2 3 0 +, $ ,
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BC $0
A B C $ 0 D 0 C $ 2
22 2 2C $ 0
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/=1 $ ©N9P , C $ 2ª $ ©N 9 P ,
C
2
Donc /=1 est de dimension 2.
n
­ dim /= $ 1 B 2 $ 3 $ dim 0
1
C $ 2 ª $ M «> 0 @ , >1@¬
21
0
Donc + est diagonalisable.
0 0 0
b $ >0 1 0@ $ la matrice de dans une base de vecteurs propres
0 0 1
c'est-à-dire dans la base H , s , t .
H est un vecteur associé a 0 donc par définition H $ 0 $ 0. H B 0. s B 0. t
s est un vecteur associé a 1 donc par définition s $ s $ 0. H B 1. s B 0. t
t est un vecteur associé a 1 donc par définition t $ t $ 0. H B 0. s B 1. t
Pour avoir = on écrit verticalement les coordonnées de H , s , t dans l’ancienne base.
1
1 0
Astuce :
=$> 1
0 1@
22 21 0
+ $ =b=IH
=
+
Théorème :
CNS (condition nécessaire et suffisante)
Soit est diagonalisable si et seulement si :
=IH
- _[ est scindé c'est-à-dire que je peux décomposer en
facteur irréductible de dimension 1.
- Pour chaque valeur propre de , dim /= est égale a l’ordre de multiplicité de .
Théorème :
CS (condition suffisante)
Soit . Si admet valeurs propres deux à deux distinctes alors est diagonalisable.
IV – POLYNOMES D’ENDOMORPHISME, POLYNOMES DE MATRICE
• Définition : Soit = ®,¯
= $ K B H , B s , s B h B ] , ]
1) Pour
on note
= $ K 3 B H B s s B h B ] ]
= s’appelle le polynôme d’endomorphisme.
Page 8
% ° $ …XV
TXXUX
° [~l}
b
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2) Pour
+ eW on note
=+ $ K 3 B H + B s +s B h B ] +]
=+ s’appelle le polynôme de matrices.
% +° $ +
TXXXUXXXV
± + ± …± +
• Exemple :
=, $ 1 B 3, B 4, s
= $ 1 B 3 B 4 s
Propriété :
² i , ² =, ³ ®,¯
i= B ³ $ i= B ³
- =³ $ = ³
- 1 $ 3
Propriété :
Si et : commutent, tout polynôme en commute avec tout polynôme en :.
• Définition : Soit , = ®,¯
On dit que est annulateur de si et seulement si = $ 0
• Exemple
- Relation qui caractérise les projecteurs
$
˜.š $ .
.
s 2 $ 0
Donc , s 2 , est annulateur de .
.
- Relation qui caractérise les symétries
.
$3
s 2 3 $ 0
Donc , s 2 1 est un polynôme annulateur d’une symétrie.
.
-
ENDOMORPHISME : application linéaire AUTOMORPHISME : application linéaire bijective de
Page
9
ISOMORPHISME : application linéaire bijective
° [~l}
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étant donné, est-ce qu’on peut toujours trouver un polynôme annulateur pour ?
• Réponse : Oui mais en dimension finie.
Soit un espace vectoriel de dimension et ( est de dimension s )
La famille ˜3, , s , … , W š comporte s B 1 éléments donc elle est lié, et on peut trouver des coefficients
K , H , … , W´ non tous nul (pas tous égale à 0).
´
Tels qu’on ait :
´
K 3 B H B s s B h B W´ W $ 0
On vient d’écrire un polynôme annulateur de .
Propriété :
Soit et / /=, On a
² = ®,¯ = $ =
Toute valeur propre de est zero (racine) de tout polynômes annulateur.
• Exemple
= $ 3 B B 2 s
= $ 3 B B 2 s
Soit un vecteur propre associé a .
$ = $ 33 B B 2 s $ 3 B B 2s $ 3 B B 2s Théorème :
CNS (condition nécessaire et suffisante)
Soit , pour que soit diagonalisable, il faut et il suffit qu’il existe un polynôme = de ®,¯ scindé
sur et à zéro simple, tel que = $ 0 il est scindé simple.
• Exemple :
Soit + eHK µ
Tel que +t $ 7+ 2 63
Montrer que + est diagonalisable,
Un polynôme annulateur de + est , t 2 7, B 6
Or , t 2 7, B 6 $ , 2 1, s B , 2 6 $ , 2 1, B 3, 2 2
Ce polynôme est scindé simple donc + est diagonalisable, de plus ses valeurs propres sont parmi les zéros du
polynôme soit 41, 23,25.
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V – APPLICATION DE LA DIAGONALISATION
1) Calcul des puissances d’une matrice carré
• Exemple :
0
28
6
+ $ >21 28
7@
1 214 11
Calculez +° , ¹ º
Méthode : Si + est diagonalisable
= …†W , + $ =b= IH
IH
Donc +° $ =b=
TXXXXXXUXXXXXXV
=b=IH … =b= IH
° [~l}
$ =b ° =IH
Calcul du polynôme caractéristique :
_f $ det+ 2 3
2
28
det+ 2 3 $ €21 28 2 1
214
22 2 $ €22 2 22 2 28
28 2 214
1
$ 22 2 €0
1
H – H B s B t
6
7 €
11 2 1
6
7 € $ 22 2 €1
1
11 2 28
28 2 214
28
6
2
1
¨
2
1 € $ 22 2 ¨
26 5 2 26 5 2 6
7 € †s – †s 2 †H
11 2 †t – †t 2 †H
$ 22 2 2 2 2 3
$ 22
Trois valeurs propres simples A $ 2 D
$3
- , /=22 0 , 1 B 23
0 +, $ 22,
2
28
>21 28 B 2
1
214
6
7 @ >9 @ $ 0
11 B 2 C
2 2 89 B 6C $ 0
A 2 2 69 B 7C $ 0 D
2 149 B 13C $ 0
C$C
C
© $ 9D
C$
Astuce :
Truc pour vérifier que c’est cohérent. La trace
d’une matrice est invariante par changement
de base.
g + $ g b $ H B s B t
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1
/=22 $ M «>1@¬
1
- , /=2 0 , 1 2 23 0 +, $ 2,
22 28 6 >21 210 7@ >9@ $ 0
1 214 9 C
22 2 89 B 6C $ 0 1.
A2 2 109 B 7C $ 0 2.D
2 149 B 9C $ 0
3.
1. B 2. 2249 B 16C $ 0 0 C $ 9
s
Et 9 $ 2
t
Á 19
Ä
3
1
¿£ 2 ¦ C $ 3 9 ¿
C $ 9D
D
$
/=2 $ AN9P , A
,
$
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9
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2
2
2@¬
¢ ¥
À 3
Ã
9 $ 2
9
$
2
C
3
¿ 9
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¾¡2 ¤
Â
- , /=3 0 , 1 2 33 0 +, $ 3,
23 28 6 >21 211 7@ >9@ $ 0
1 214 8 C
23 2 89 B 6C $ 0 1.
A2 2 119 B 7C $ 0 2.D
2 149 B 8C $ 0
3.
5
5 Ä
Á 59
5
C$ 9
C
$
9¿
¿
3
£ ¦
3
3
D
D
/=3 $ ÅN9P , Å
$ M «>3@¬
Æ $ ¢ 9 ¥,Å
6
2 Ã
À 2
C
2
$ 9
$
9
¿ 9
5
3 ¿
¾¡ 3 ¤
Â
22 0 0
b $ > 0 2 0@
0 0 3
1 1 5
= $ > 1 2 3@
1 3 2
1 ‹
=
=IH $
det =
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2) Suites récurrentes linéaires simultanées du 1er ordre à coefficient constant.
• Exemple :
.K $ 0
%K $ 22
K $ 22
1
ÁÇW H $ 2ÇW B MW B ÈW 4
¿
1
MW H $ ÇW B MW B ÈW D
3
À
1
¿
Ç
¾ÈW H $ 4 W B MW B 2ÈW
Calculer ÇW , MW , ÈW et étudier la convergence des suites.
1É 1É 1É
4
4
2
ÇW H
ÇW
1
1
1
£
« MW H ¬ $
É3 É3 É3¦ « MW ¬
1
1
1
ÈW H
ÈW
¡ É4 É4 É2¤
Du type ,W H $ +,W
0 ,W $ +W ,K
Principe : diagonaliser + si possible, puis on écrit
D’où ,W $ =b W =IH ,K
+ $ =b=IH
+W $ =b W =IH
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