Réduction des endomorphismes (1er niveau)

MATHEMATIQUES – Réduction des endomorphismes (1er niveau)
2008 - 2009
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I – ELEMENTS PROPRES
II – POLYNOMES CARACTERISTIQUE
III – DIAGONALISABILITE
IV – POLYNOMES D’ENDOMORPHISME, POLYNOMES DE MATRICE
V – APPLICATION DE LA DIAGONALISATION
1) Calcul des puissances d’une matrice carré
2) Suites récurrentes linéaires simultanées du 1er ordre à coefficient constant.
I – ELEMENTS PROPRES
• Définition :
 est un - espace vectoriel, 
- Soit , on dit que  est une valeur propre de  si et seulement si
-On dit que  est un vecteur propre 
de  si et seulement siet
⇒
⇒⇒
⇒ Remarque :par définition un  n’est jamais nul.
 (Matrice de  si on est en dimension fini)
- Soit , on dit que  est une valeur propre de  si et
seulement si 
- On dit que  est un vecteur propre de si et seulement si
• Définition : On appelle spectre de  et on note  l’ensemble des valeurs propres de .
 Proposition :
Soit  un - espace vectoriel, , on a
REDUCTION DES ENDORMORPHISMES (1
er
NIVEAU)
Rappel
:
Soit
• On appelle noyau de  l’ensemble
• On appelle image de  l’ensemble

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Démonstration
C'est-à-dire 
Si on est en dimension finie et si  est la matrice associée a .
 Proposition – définition :
Soit  et 
On dit que  et  sont valeurs propres et vecteurs propres associé, si et seulement si
Pour toute valeur propre  de , le sous espace vectoriel  est constitué des  associées à  et du
vecteur nul.
Ce sous espace vectoriel s’appelle sous espace propre pour  associé a  et est noté 
• Exemple :
Soit   
- Déterminer les  et  de .
Ou bien  et  et 
Ou bien  et 
- On a trouvé deux valeurs propres :
-  
Rappel
:
Le théorème du rang dit que

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-  
Proposition :
Soit ,  des valeurs propres de  deux à deux distinctes,
 alors les sous espaces vectoriels pour  associé a 
sont en somme directe.
II – POLYNOMES CARACTERISTIQUE
Propriété :
Soit  tel que  est un polynôme, appelé polynôme caractéristique de , il est noté 
Démonstration
C’est clair par développement du déterminant.
Propriété :
Soit  et 
On a 
En particulier  est de dimension finie soit .
Démonstration :
Avec 
Avec  une permutation de 
• Exemple :
En dimension 3, construire les permutations de 
Ici on a fait la liste des permutations de 
.
 signature de la permutation =

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Application : règle de SARRUS
• Chaque fois qu’on prend 
Le terme  est de degré  en  (car les termes en  sont obtenus dans les termes
diagonaux, c'est-à-dire lorsque , donc pour les points fixes de . Si ce n’est pas l’identité, il y a au plus n-
2 points fixes
•  
Le terme en  est 
Le terme en 
Pour avoir le terme constant j’évalue en 
Le terme constant de  est égal à 
Donc
Propriété :
Deux matrices carrées semblables ont même polynôme caractéristique.
Démonstration
Calculons 
Rappel
:
•  est semblable à  
•

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Propriété :
Les valeurs propres d’un endomorphisme sont les zéros du polynôme caractéristique de cet endomorphisme.
Démonstration
Corollaire :
Une matrice carrée d’ordre  a au plus  valeurs propres.
• Exemple : Calculez les valeurs propres et vecteurs propres de A.
Ainsi  est racine simple et  racine double de 
• Définition : Soit  et  une valeur propre de. On appelle ordre de multiplicité de  l’ordre de
multiplicité de  en tant que zéro du polynôme caractéristique.
• Exemple : Précédemment on a dit que 1 est valeur propre simple et 2 valeurs propres doubles.
⇒
⇒⇒
⇒ Remarque : Si, vu que tout polynôme a au moins un zero, alors  admet au moins une valeur propre.
Propriété :
Soit 