Exercices

MATHS
ECE•1
re
année
MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES
Des ouvrages pour s’entraîner :
– des rappels de cours et de méthode pour acquérir les connaissances indispensables et réviser
efficacement,
– de nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner et se mettre en situation
d’épreuve : exercices guidés, exercices d’application et problèmes de synthèse,
– en ligne (www.vuibert.fr, à la page du livre) : des annexes pour maîtriser la simulation sur Scilab
et des exercices complémentaires.
MATHS ECE
1re année
MÉTHODES EXERCICES PROBLÈMES
VUIBERT
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programme
MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES
MATHS
ECE• 1re année
VUIBERT
SOMMAIRE
1. Activités numériques – 2. Calcul algébrique – 3. Logique – 4. Ensembles et cardinaux
5. Calcul matriciel – 6. Systèmes d’équations linéaires – 7. Suites – 8. Espaces vectoriels
9. Étude locale – 10. Étude globale – 11. Fonctions usuelles – 12. Dérivée – Convexité et
fonctions réciproques – 13. Intégration – 14. Séries numériques – 15. Espaces vectoriels
16. Probabilités discrètes – 17. Variables aléatoires discrètes – 18. Variables à densité.
En ligne :
• Annexes : A. Lois usuelles – B. Scilab
• Exercices complémentaires
Les auteurs :
Bénédicte Bourgeois est professeur agrégée de mathématiques en CPGE.
François Delaplace est professeur en classes préparatoires économiques et commer-
ciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.
Fabrice Fortain dit Fortin est professeur en classes préparatoires économiques et commer-
ciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.
ISBN : 978-2-311-40286-5
www. .fr
Maths-ECE-1reAnnee-9782311402865.indd Toutes les pages 05/08/15 09:43

Table des matières
Retrouvez sur le site www.vuibert.fr,
à la page du livre, des annexes (Lois usuelles et Scilab),
des contenus numériques ainsi que des exercices complémentaires.
Chapitre 1. Activités numériques ..................................... 3
1. Nombres : opérations 3– 2. Nombres : comparaisons 4–Exercices 5 –Corrigés 7
Chapitre 2. Calcul algébrique ........................................ 17
1. Identités remarquables 17 – 2. Fonctions polynômes du second degré 17 – 3. Valeurs
absolues 18 – 4. Fonctions paires et impaires 18 – 5. Courbes des fonctions x7−→ f(x)et
x7−→ f(|x|)19 –Exercices 20 –Corrigés 22
Chapitre 3. Logique .............................................. 33
1. Valeurs de vérité des connectives 33 – 2. Méthodes de démonstration 34 – Exercices 35 –
Corrigés 37
Chapitre 4. Ensembles et cardinaux .................................... 41
1. Parties de E 41 – 2. k -listes d’éléments de E41 – 3. Parties de P ( E ) 41 – 4. Méthode 41 –
Exercices 42 – 1. Ensembles 42 – 2. Cardinaux et dénombrement 43 –Corrigés 44
Chapitre 5. Calcul matriciel ......................................... 49
Exercices 52 –Corrigés 58
Chapitre 6. Systèmes d’équations linéaires .............................. 73
Exercices 74 –Corrigés 76
Chapitre 7. Suites ................................................ 85
1. Suites particulières 85 – 2. Suites convergentes 86 –Exercices 88 –Corrigés 92
Chapitre 8. Polynômes ............................................ 111
Exercices 113 –Corrigés 115
Chapitre 9. Étude locale ........................................... 123
1. Limites et continuité 123 – 2. Limites usuelles 124 –Exercices 125 –Corrigés 129
Chapitre 10. Étude globale ......................................... 145
1. Généralités 145 – 2. Fonctions continues et continues par morceaux 145 – Exercices 148 –
Corrigés 151
Chapitre 11. Fonctions usuelles ...................................... 161
1. Fonctions polynomiales et rationnelles 161 – 2. Fonctions logarithmes 162 – 3. Fonc-
tion exponentielle 163 – 4. Fonction puissance 164 – 5. Fonctions partie entière et partie
décimale 164 –Exercices 165 –Corrigés 168
Chapitre 12. Dérivée-Convexité et fonctions réciproques ..................... 177
1. Dérivée première 177 – 2. Fonctions dérivables sur un intervalle 178 – 3. Applications du
calcul différentiel 178 –Exercices 181 –Corrigés 185
1

Table des matières
Chapitre 13. Intégration ........................................... 197
1. Primitives et intégrales de fonctions continues 197 – 2. Calcul de primitives 199 – 3. Inté-
grales impropres 199 –Exercices 201 –Corrigés 205
Chapitre 14. Séries numériques ...................................... 227
Exercices 228 –Corrigés 232
Chapitre 15. Espace vectoriel Mn,1(R)...................................255
1. Espace vectoriel et familles de vecteurs 255 – 2. Sous-espace vectoriel de Mn,1 ( R ) 256 –
3. Applications linéaires 256 –Exercices 258 –Corrigés 262
Chapitre 16. Probabilités discrètes .................................... 279
Exercices 283 –Corrigés 287
Chapitre 17. Variables aléatoires discrètes ............................... 305
1. Définitions 305 – 2. Espérance d’une variable discrète 306 – 3. Variance et écart type 306 –
Exercices 308 –Corrigés 313
Chapitre 18. Variables à densité ...................................... 333
Exercices 335 –Corrigés 339
2

MÉTHODE
11
Chapitre
Fonctions usuelles
1. Fonctions polynomiales et rationnelles
Définition 11.1.
Une fonction polynôme est une fonction de la forme
x7→anxn+an−1xn−1+... +a1x+a0.
Une fonction rationnelle est un quotient de fonctions polynômes.
Propriété 11.1. Fonctions polynômes du second degré : f(x)=a x 2+bx +c,(a6=0)
Ses fonctions dérivées sont :
f0:x7→2ax +b f 00 :x7→2a
• Si a<0 ;
f est strictement croissante sur
−∞,−b
a
et strictement décroissante sur
−b
a,+∞
.
f−b
2a=−∆ 4aest un maximum : le maximum absolu de fsur R.
fest concave sur R.
lim
x→−∞ f(x)=lim x→+∞f(x)=−∞.
• Si a>0 ;
f est strictement décroissante sur
−∞,−b
a
et strictement croissante sur
−b
a,+∞
.
f−b
2a=−∆ 4aest un minimum : le minimum absolu de fsur R.
fest convexe sur R.
lim
x→−∞ f(x)=lim x→+∞f(x)= +∞.
161