Probabilité I. Définitions Une épreuve est une

Probabilité
I. Définitions
Une épreuve est une expérience dont l'issue est aléatoire, c'est-à-dire dont l'issue ne peut être prévu
a priori. Les résultats possibles d'une épreuve sont appelés des éventualités ou encore des cas
possibles. Leur ensemble Ω est appelé univers des possibles, il sera toujours supposé fini et non
vide.
On appelle événement toute partie de Ω.
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Un événement qui contient une seule éventualité (singleton de Ω ) est appelé un événement
élémentaire.
La partie pleine Ω est appelée l'événement certain.
La partie vide ∅ est appelée l'événement impossible.
Le complémentaire dans Ω de l'événement A est appelé l'événement contraire de A; on le
note A .
A∩B est l'événement « A et B ». Dire que « A et B » est réalisé cela signifie que les
événements A et B se produisent simultanément.
A∪ B Est l'événement « A ou B ». Dire que « A ou B » est réalisé cela signifie que l'un au
moins des événements A ou B se produit.
Si A et B sont disjoints c'est-à-dire si A∩B =
∅
, on dit que A et B sont deux
événements incompatibles.
II. Loi de probabilité sur un univers
 Soit un univers Ω = { 1 ;  2 ; ... ;  n }.
Un loi de probabilité p sur Ω est la donnée de n nombres p i , associés à chacun des
nuls et de somme 1.
i
, positifs ou
Pour tout i ∈1 ; 2 ; ... ; n , p i≥0
p 1 p 2... p n=1

Si Ω est un sous-ensemble fini non vide de |R, on appelle espérance de la loi de probabilité
p, le réel µ tel que:
µ= p1 1 p2 2 ... pn n

Si est Ω un sous-ensemble fini non vide de |R, on appelle variance de la loi de probabilité p,
le réel σ 2 tel que:
σ 2= p1 1−µ ² p 2  2−µ ²...  p n  n−µ ²= p1  1 ² p 2  2 ... p n  n  ²−µ²

Si Ω est un sous-ensemble fini non vide de |R, on appelle écart type de la loi de probabilité
p, le réel positif σ égal à la racine carrée de la variance:
σ = p 1 1−µ ² p2 2− µ ²... p n  n−µ ²
III. Probabilité d'un événement
Définition
La probabilité sur l'univers Ω = { 1 ;  2 ; ... ;  n } associé à une loi de probabilité p est une
application P de l'ensemble des parties de Ω dans [0;1] définie par:
(1) la donnée des probabilités des événements élémentaires:
pour tout i ∈1 ; 2 ; ... ; n , P i = pi où p 1, p 2, ... , p n sont les nombres réels, compris entre 0 et 1 et
de somme 1, associés respectivement à chacun des i ;
(2) pour tout événement A non vide, P(A) est la somme des probabilités des événements
élémentaires inclus dans A.
Propriété
 ¨P(Ω)=1 et P( ∅ )=0
 Pour tout couple (A;B) d'événements incompatibles:
P( A∪ B )= P(A)+P(B)
 Si A1, A2, ... , Ak sont des événements incompatibles deux à deux (c'est-à-dire si i et j sont des
éléments de {1,2,...,k} et i≠j alors Ai ∩ A j = ∅ ):
k
PA1∪A2∪. ∪Ak.=∑.i=1 PAi


Pour tout couple (A;B) d'événements:
P  A∪ B=P  AP  B−P  A∩B
Pour tout événement A, P( A )=1-P(A)
Equiprobabilité
Soit P une probabilité sur un univers fini non vide Ω , on dit qu'il y a équiprobabilité si tous les
événements élémentaires ont la même probabilité. Si A est un événement, on a alors:
 A
nombrede cas favorables
 =
P(A)= Card
Card
nombrede cas possibles
IV. Variable aléatoire
Une variable aléatoire X est une grandeur numérique, associée à une expérience ou à un phénomène
aléatoire, susceptible de prendre un nombre fini de valeurs x 1, x 2, ... , x n associe P(X= x 1 ), P(X= x 2
),..., P(X= x n ).
On a P(X= x 1 )+P(X= x 2 )+...+ P(X= x n )=1.
L'espérance de mathématique ou moyenne de X est le réel:
E(X)= p 1 x 1 p 2 x 2 ... p n x n
La variance X est le réel positif:
V  X = p 1  x 1−E  X  ² p2  x 2−E  X  ²... p n  x n−E  X  ²
V  X = p 1 x 1 ² p 2 x 2 ²... pn x n ²− E  X  ²
On appelle écart type de la variable aléatoire X la racine carrée positive de la variance, on note ce
réel:
σ  x=  V  X 