Probabilité I. Définitions Une épreuve est une

Probabilité
I. Définitions
Une épreuve est une expérience dont l'issue est aléatoire, c'est-à-dire dont l'issue ne peut être prévu
a priori. Les résultats possibles d'une épreuve sont appelés des éventualités ou encore des cas
possibles. Leur ensemble Ω est appelé univers des possibles, il sera toujours supposé fini et non
vide.
On appelle événement toute partie de Ω.
Un événement qui contient une seule éventualité (singleton de Ω ) est appelé un événement
élémentaire.
La partie pleine Ω est appelée l'événement certain.
La partie vide
∅
est appelée l'événement impossible.
Le complémentaire dans Ω de l'événement A est appelé l'événement contraire de A; on le
note
A
.
A∩B est l'événement « A et B ». Dire que « A et B » est réalisé cela signifie que les
événements A et B se produisent simultanément.
A∪B
Est l'événement « A ou B ». Dire que « A ou B » est réalisé cela signifie que l'un au
moins des événements A ou B se produit.
Si A et B sont disjoints c'est-à-dire si A∩B =
∅
, on dit que A et B sont deux
événements incompatibles.
II. Loi de probabilité sur un univers
Soit un univers Ω = {
1
;
2
;...;
n
}.
Un loi de probabilité p sur Ω est la donnée de n nombres
p
i
, associés à chacun des
i
, positifs ou
nuls et de somme 1.
Pour tout
i∈1;2;... ;n
,
p
i
≥0
p
1
p
2
...p
n
=1
Si Ω est un sous-ensemble fini non vide de |R, on appelle espérance de la loi de probabilité
p, le réel µ tel que:
µ=p
1 1
p
2 2
...p
n n
Si est Ω un sous-ensemble fini non vide de |R, on appelle variance de la loi de probabilité p,
le réel
σ
2
tel que:
σ
2
=p
1 1
−µ²p
2 2
−µ²... p
n n
−µ²=p
1 1
²p
2 2
...p
n n
²−µ²
Si Ω est un sous-ensemble fini non vide de |R, on appelle écart type de la loi de probabilité
p, le réel positif σ égal à la racine carrée de la variance:
σ= p
1 1
−µ²p
2 2
−µ²...p
n n
−µ²
III. Probabilité d'un événement

Définition
La probabilité sur l'univers Ω = {
1
;
2
;...;
n
} associé à une loi de probabilité p est une
application P de l'ensemble des parties de Ω dans [0;1] définie par:
(1) la donnée des probabilités des événements élémentaires:
pour tout
i∈1;2;... ;n
,
P
i
= p
i
où
p
1,
p
2,
... , p
n
sont les nombres réels, compris entre 0 et 1 et
de somme 1, associés respectivement à chacun des
i
;
(2) pour tout événement A non vide, P(A) est la somme des probabilités des événements
élémentaires inclus dans A.
Propriété
¨P(Ω)=1 et P(
∅
)=0
Pour tout couple (A;B) d'événements incompatibles:
P(
A∪B
)= P(A)+P(B)
Si
A
1,
A
2,
..., A
k
sont des événements incompatibles deux à deux (c'est-à-dire si i et j sont des
éléments de {1,2,...,k} et i≠j alors
A
i
∩
A
j
=
∅
):
PA
1
∪A
2
∪...∪A
k
=
∑
i=1
k
PA
i
Pour tout couple (A;B) d'événements:
PA∪B=PAPB−PA∩B
Pour tout événement A, P(
A
)=1-P(A)
Equiprobabilité
Soit P une probabilité sur un univers fini non vide Ω , on dit qu'il y a équiprobabilité si tous les
événements élémentaires ont la même probabilité. Si A est un événement, on a alors:
P(A)=
CardA
Card =nombrede cas favorables nombrede cas possibles
IV. Variable aléatoire
Une variable aléatoire X est une grandeur numérique, associée à une expérience ou à un phénomène
aléatoire, susceptible de prendre un nombre fini de valeurs
x
1,
x
2,
..., x
n
associe P(X=
x
1
), P(X=
x
2
),..., P(X=
x
n
).
On a P(X=
x
1
)+P(X=
x
2
)+...+ P(X=
x
n
)=1.
L'espérance de mathématique ou moyenne de X est le réel:
E(X)=
p
1
x
1
p
2
x
2
...p
n
x
n
La variance X est le réel positif:
VX= p
1
x
1
−EX ²p
2
x
2
−EX ²...p
n
x
n
−EX ²
VX= p
1
x
1
²p
2
x
2
²...p
n
x
n
²− EX²
On appelle écart type de la variable aléatoire X la racine carrée positive de la variance, on note ce
réel:
σx= VX