1 Introduction `a la physique quantique

Universit´e Denis Diderot Paris 7
M´ecanique Quantique 36U3MQ35
1Introduction ` a la physique quantique
La m´ecanique quantique est une des plus grande r´ealisation intellectuelle du vingti`eme si`ecle.
Voil`a quelques ´etapes qui ont aboutit `a cette d´ecouverte.
1.1 Le rayonnement du corps noir
Un corps noir absorbe tout rayonnement qui lui est incident. A l’´equilibre thermique ce corps
est caract´eris´e par la densit´e d’´energie par unit´e de fr´equence : ρ(ν). Ici νest la fr´equence
du rayonnment ´elecromagn´etique. Le calcul qui repose sur l’´electromagn´etisme d´ecrit par les
´equations de Maxwell et la force de Lorentz ainsi que sur les postulats de la physique statistique
conduit `a la formule
ρ0(ν) = 8πν2
c3kT, (1.1)
o`u kest la constante de Boltzmann et Tla tempˆerature. Cette formule porte le nom de Rayleigh-
Jeans. Elle est en accord avec les exp´eriences seulement pour les petites fr´equences. Elle
conduit `a une densit´e d’´energie totale u=R∞
0ρ0(ν)dν infinie (catastrophe ultra-violette) alors
qu’exp´erimentalement on trouve un r´esultat fini (u=σT 4avec σune constante).
Planck en 1900 a constat´e que les courbes exp´erimentales sont bien d´ecrites par la fonction
ρ(ν) = 8πν2
c3kT
hν
kT
ehν
kT −1,(1.2)
o`u hest une constante
h= 6.64 ×10−34 J.s−1,(1.3)
qui aujourd’hui porte le nom de constante de Planck. Comme kT a la dimension d’une energie,
hν a ´egalement la dimension d’une ´energie. La formule de Planck s’´ecrit comme
ρ(ν) = ρ0(ν)f(x),(1.4)
avec xune quantit´e sans dimension donn´ee par x=hν
kT et et f(x) = x ex−1. Pour les petites
fr´equences ou plus pr´ecis´ement pour xpetit on a f(x) = 1 + O(x) et on retrouve la formule
classique qui ´etait en accord avec les exp´eriences. Pour xgrand ou bien pour les grandes
fr´equences on a f(x) = xe−x(1 + ...) qui est tr`es petit, la formule de Planck s’´ecarte fortement
de la formule classique et garantit que l’´energie totale est finie.
Avec la formule de Planck date la naissance de la constante de Planck h, c’est la constante
fondamentale de la m´ecanique quantique.
Planck a constat´e que sa formule peut ˆetre d´eduite avec l’hypoth`ese que le rayonnement
´echange de l’´energie avec la mati`ere par des quantit´es discr`etes nhν o`u nest un entier. Planck
lui-mˆeme n’etait pas satisfait par cette explication.

1.2 Effet photo´ el´ ectrique
C’est l’ejection d’´electrons d’une surface sous l’action de la lumi`ere. L’´electron est soumis `a une
diff´erence de potentiel Vet on mesure le courant r´esultant i. Exp´erimentalement, on trouve
que l’effet ne se produit que si la fr´equence est sup´erieure `a une une certaine valeur qui d´epend
du mat´eriau composant la surface. De plus, on trouve que (i) si Vest suffisamment grand le
courant atteint une valeur de saturation imet (ii) si Vest n´egatif le courant s’annule si V < −V0
pour une certaine valeur de V0qui s’appelle le potentiel d’arrˆet.
Ce dernier fait s’explique ais´ement: en effet si l’´energie maximale des ´electrons eject´es est
Emax alors un poteniel tel que eV0=Emax arrˆete les ´electrons. La saturation est atteinte quand
tous les ´electrons eject´es participent au courant. Le courant de saturation compte le nombre
d’´electrons eject´es et le potentiel d’arrˆet en mesure l’´energie cin´etique maximale.
Exp´erimentalement on mesure l’effet de la variation de l’intensit´e incidente et de la fr´equence
sur V0et im. On constate que (a) imest proportionnel `a l’intensit´e, (b) V0ne d´epend pas
de l’intensit´e et (c) il existe une fr´equence ν0telle que V0varie lin´eairement en fonction de la
fr´equence pour ν > ν0et V0est nul pour ν < ν0.
On en d´eduit que la lumi`ere avec une fr´equence ν < ν0est incapable d’ejecter les ´electrons
et que l’´energie maximale des ´electrons varie lin´eairement avec la fr´equence.
Ces faits exp´erimentaux sont en d´esaccord avec la th´eorie classique ondulatoire de la lumi`ere :
1- la th´eorie ondulatoire implique que l’amplitude des champs ´electriques et magn´etiques
augmentent lorsque l’intensit´e du rayonnement croit. Comme la force exerc´ee sur l’´electron est
proportionnelle au champ ´electrique l’´energie cin´etique des ´electrons devrait augmenter avec
l’intensit´e.
2- Selon la th´eorie classique l’effet photo´electrique devrait avoir lieu quelque soit la fr´equence
pourvu que l’intensit´e soit suffisante.
En 1905 Einstein propose l’explication suivante de l’effet photo´electrique
1- La lumi`ere est compos´ee de quanta (plus tard baptis´es photons), un photon est une par-
ticule avec une ´energie donn´ee par
E=hν, (1.5)
o`u hest la constante de Planck et νla fr´equence de la lumi`ere.
2- Dans l’effet photo´electrique un photon est absorb´e par un ´electron dans la photocatode.
Ces hypoth`eses suffisent pour expliquer l’effet photo`electrique. En effet supposons que
l’´electron ait une ´energie de liaison E0=−W0avec W0positive (W0est le travail qu’il faut
fournir pour arracher l’´electron). En absorbant le photon l’´electron gagne une ´energie hν. Si
ν > ν0=W0/h alors l’´electron n’est plus li´e et se d´eplace avec une ´energie cin´etique
Ec=hν −W0.
L’hypoth`ese du photon permet aussi de comprendre facilement la formule de Planck. En
effet, la probabilit´e d’une pr´esence de nphotons de fr´equence νest donn´ee par
pn=1
Ze−nhν
kT ,(1.6)
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avec Zune constante de normalisation telle que Ppn= 1. Elle est donn´ee par Z= (1−e−hν
kT )−1.
L’´energie moyenne des photons avec une fr´equence νest donc
< Eν>=
∞
X
n=0
nhν pn=hν
ehν
kT −1.(1.7)
Entre les fr´equences νet ν+dν il y’a 8πν2
c3dν modes par unit´e de volume. La densit´e d’´energie
des photons avec une fr´equences entre νet ν+dν est donc
< Eν>8πν2
c3dν, (1.8)
qui est la formule de Planck.
1.3 Effet Compton
En 1916, Einstein sugg`ere que le photon est une particule de masse nulle avec une impulsion
donn´ee par
~p = ¯h~ k(1.9)
o`u ~ kest le vecteur d’onde du rayonnement et ¯h=h
2π. Cette relation est en accord avec la
relation de dispersion ν=c/λ. En effet comme le photon est une particule de masse nulle on
doit avoir E=|~p|c=hc/λ.
La nature corpusculaire du rayonnement ´electromagn´etique a ´et´e confirm´ee par Compton en
1923. Celui-ci a observ´e la diffusion de rayons Xsur des ´electrons et a constat´e que la longueur
d’onde des rayons Xdiffus´es est sup´erieure `a la longueur d’onde incidente avec
∆λ=h
mc(1 −cos θ) (1.10)
o`u θest l’angle de diffusion des rayons Xet mest la masse de l’´electron. Ce resultat est
incompatible avec la th´eorie classique o`u la longueur d’onde du rayonnement n’est pas modifi´ee
lors d’une diffusion. L’interpr´etation du processus comme la collision d’un photon et d’un
´electron permet de retrouver facilement la variation de la longueur d’onde. Elle est dˆue `a la
variation de la quantit´e de mouvement du photon apr`es la collision (voir les TD pour les details).
2Atome de Bohr
En 1911 Rutherford, pour interpr´eter ces exp´eriences de diffusion de particules αsur une couche
mince d’or, propose que l’atome est compos´e d’un noyau central lourd de charge positive autour
duquel gravitent des ´electrons de charges n´egatives et de petite masse. L’ordre de grandeur de
la taille de l’atome est de quelques Angstroms (1A=10−10 m) et du noyau de quelques Fermi
1fm = 10−15m. L’´electron avait ´et’e d´ecouvert quelques ann´ees auparavant, en 1897, par J.J.
Thompson.
Ce mod`ele (dit plan´etaire) soufrait cependant d’un probl‘eme d’instabilit´e. En effet, con-
sid´erons pour simplifier l’atome d’hydrog‘ene avec un seul ´electron et supposons que la trajec-
toire de l’electron autour du proton est circulaire de rayon R. Son ´energie est donc donn´ee
par
E=−1
2
e2
4π0R.(2.1)
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L’´electron est acc´el´er´e, il ´emet donc du rayonnement ´electromagn´etique et perd de l’´energie.
Son rayon va donc diminuer jusqu’`a atteindre le proton ! En TD, nous verrons que ceci se passe
dans un interval de temps court.
Pour r´esoudre ce probl‘eme Bohr en 1913 postule que le moment orbital de l’´electron est
quantifi´e
L=n¯h, n = 1,2,... (2.2)
Pour le mouvement circulaire on a alors
mvR =n¯h. (2.3)
L’´equation du mouvement donne
mv2
R=e2 4π0R2.(2.4)
L’´elimination de vdes deux ´equations donne
R=n2R1,(2.5)
avec R1=¯h24π0
e2m. Il est utile d’´ecrire le r´esultat `a l’aide de la constante de structure fine
α=e2
4π0¯hc ,
qui est sans dimension et dont la valeur num´erique est voisine de 1/137. Le rayon R1, dit rayon
de Bohr, s’ecrit alors comme
R1=1
α
¯h
mc
Les rayons ne prennent alors que des valeurs discr`etes, la valeur la plus petite du rayon est R1
qui est de l’ordre de 4 A. L’´energie totale de l’´electron est donn´ee par
En=−1
2
e2
4π0R1
1
n2=−|E1| n2.(2.6)
Elle ne prend que des valeurs discr`etes avec une valeur minimale donn´ee par E1. En fonction
de la constante de structure fine l’´energie E1prend la forme
E1=−1
2α2mc2.
Sa valeur est de −13.6 eV.
Bohr postule donc que l’´electron ne peut se trouver que dans un ´etat ou le moment orbital
est un mutiple entier de ¯h(´etat stationnaire), l’´etat fondamental pour lequel l’´energie est la
plus petite est celui avec n= 1. Dans son ´etat normal l’´electron se trouve dans cet ´etat. Bohr
postule ´egalement que l’´electron peut passer d’un ´etat nvers un ´etat m > n en absorbant un
photon de fr´equence νtelle que l’´energie totale soit conserv´ee ou bien
hν =|E1|1
n2−1 m2.(2.7)
Inversement, il peut passer de l’´etat mvers l’´etat nen ´emettant un photon avec la mˆeme
fr´equence. L’etude des spectres d’´emission des ´elements ´etaient bien developp´ee `a l’´epoque. Un
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mathematicien et physicien amateur suisse Balmer avait trouv´e en 1885 une mani`ere empirique
pour d´ecrire certains spectres de l’Hydrog‘ene par la formule
ν=Ry 1
4−1 m2, m = 3,4,..., (2.8)
o`u Ry est une constante. Plus tard Rydberg a constat´e que le reste du spectre d’emission de
l’Hydrog`ene peut ˆetre d´ecrit par la formule empirique
νnm =Ry 1
n2−1 m2.(2.9)
Le premier succ´es de la formule de Bohr fut donc de donner une explication th´eorique simple `a
cette formule et de plus de donner la valeur de la constante de Rydberg en termes de constantes
fondamentales Ry =|E1|
h=e2 2022m
h3.
En 1914 la th´eorie de Bohr est confirm´ee par Franck et Hertz. Ils bombardent des atomes de
mercure avec des ´electrons ayant une ´energie Edonn´ee. Ils constatent que tant que E < 4.9 eV
alors rien ne se passe, et si E= 4.9eV les ´electrons perdent leur ´energie, excitent les atomes de
mercure qui ´emettent une raie avec hν = 4.9eV .
Malgr’e ce succ´es, la th´eorie de Bohr n’´etait pas satisafisante, la prescription de quantification
du moment orbital est ad-hoc et il n’´etait pas possible de d´ecrire les atomes avec plusieurs
´electrons.
3Dualit´ e onde-particule
En 1923, Louis de Broglie formule l’hypoth`ese que les particules massives ont, comme les pho-
tons, `a la fois un caract`ere ondulatoire et corpusculaire. Les grandeurs associ´ees au caract`ere
corpusculaire qui sont l’´energie et la quantit´e de mouvement sont li´es aux grandeurs associ´ees au
caracact‘ere ondulatoire qui sont la fr´equence et la longueur d’onde par des relations analogues
`a celles du photon :
E=hν = ¯hω, ~p = ¯h~ k. (3.1)
Cette hypoth`ese a ´et´e confirm´ee par Davisson et Germer (1925) et G. Thompson (le fils de
J.J.) (1927) qui ont montr´e que la diffusion d’´electrons sur un cristal r´esulte en une figure de
diffraction semblable `a celle de la diffusion de rayons X sur le cristal mais avec une longueur
d’onde en accord avec les relations de de Broglie. Une exp´erience, conceptuellement plus simple
mais techniquement plus complexe a r´ealiser, est celle des fentes d’Young.
3.1 Exp´ erience des fentes d’Young
Le caract`ere ondulatoire de la lumi`ere est mis en ´evidence par les interf´erences. L’exp`erience
d’interf´erence la plus simple conceptuellement est celle des fentes d’Young. Une plaque opaque
est perc´ee de deux fentes parall`eles distantes de d, la lumi`ere est observ´ee sur un `ecran parall‘ele
`a la plaque et distant de D. La palque est ´eclair´ee par une lumi`ere monochromatique d´ecrite
par une onde plane. Au point d’observation Psur l’´ecran se superposent deux ondes issues des
deux fentes. En negligeant le caract`ere vectoriel de l’onde, elles sont d´ecrites par
ψi(P) = ψ0cos(ωt −~ ki~ AiP), i = 1,2,(3.2)
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