Liste d`exercices 9 - PHY2500 Hiver 2011 - Vincent Tabard

Liste d’exercices 9 - PHY2500 Hiver 2011
Prof.: Vincent Tabard-Cossa
`a faire avant le 18 avril 2011
1 Onde de Broglie
1. (a) ` A quelle vitesse la longueur d’onde de de Broglie d’un ´electron est-elle
´egale au rayon de Bohr, qui est de 0.053 nm ? (b) Comparez le module de
la vitesse trouv´e `a la question (a) avec le module de la vitesse de l’´electron
`a l’´etat fondamental d’apr`es le mod`ele de Bohr.
2. Dans un microscope, la dimension du plus petit d´etail observable correspond
`a la longueur d’onde du rayonnement utilis´e. Ce param`etre correspond `a la
puissance de r´esolution. ` A quelle vitesse la longueur d’onde de Broglie d’un
´electron est-elle ´egale `a 0.1 nm, qui est la taille approximative d’un atome ?
2 Applications de la m´ecanique ondulatoire
3. Un ´electron se d´eplace `a l’int´erieur d’un puits de potentiel infini `a une di-
mension de longueur 0.1 nm. (a) Calculez les ´energies de l’´etat fondamental
et du premier ´etat excit´e. (b) Quelle est la longueur d’onde du photon ´emis
si l’´electron passe de l’´etat excit´e `a l’´etat fondamental ? (R´eponse: (a) 37.7
eV, 151 eV; (b) 11.0 nm)
4. On suppose qu’un ´electron est enferm´e dans un puits de potentiel infini
de largeur 10−14m, valeur qui correspond `a la dimension approximative d’un
noyau. (a) Calculez l’´energie de l’´etat fondamental de l’´electron. (b) Sachant
que les ´energies nucl´eaires sont de l’ordre de quelques dizaines de MeV, que
pouvez-vous dire quant `a la possibilit´e pour les ´electrons d’ˆetre `a l’int´erieur
du noyau?

5. L’´energie potentielle d’un oscillateur harmonique simple est donn´ee par U=
1
2mω2x2. D´emontrez que ψ=Ae−Bx2est une solution de l’´equation d’onde
de Schr¨odinger, o`u E=~ω/2 est l’´energie m´ecanique de cet oscillateur. Que
repr´esente B, en comparant `a la distribution normale (voir feuille de formule)
?
3 Principe d’incertitude de Heisenberg
6. Soit un ´electron dans un ´etat excit´e. La diff´erence d’´energie entre cet ´etat
et l’´etat fondamental est de 2.25 eV et la dur´ee de vie de cet ´etat excit´e
est de 0.13µs. (a) Quelle est la fr´equence du photon ´emis au moment de
la d´esexcitation ? (b) Quelle est l’incertitude sur la fr´equence de ce photon
selon le principe d’incertitude de Heisenberg ?
7. Un proton est enferm´e dans un noyau de rayon 2 ×10−14m. (a) Estimez
l’incertitude sur sa quantit´e de mouvement. (b) Si la quantit´e de mouvement
´etait ´egale `a l’incertitude trouv´ee en (a), quelle serait l’´energie cin´etique en
MeV ?
Constantes: c= 3 ×108m /s,e= 1.6×10−19C, 1eV = 1.6×10−19J, h= 6.626 ×
10−34J·s (~=h/2π), me= 9.109 ×10−31kg, k= 1/4πε0= 9 ×109Nm2/kg2
Formules: fλ =c,p=hf/c =h/λ,E=hf, transition: hf =En0−En,
Bohr: mvr =n~,rn=n2~2
mke2,En=−13.6Z2 n2eV, acc´el´eration centrip`ede a=v2/r,
quantit´e de mouvement p=mv, energie cin´etique K=mv2/2; fonction d’onde:
d2ψ
dx2+2m ~2(E−U)ψ= 0, ψ2dV = probabilit´e, puits infini: ψ(x) = Asin(nπx/L)
et En=n2h2
8mL2o`u n= 1,2,3, ..., Heisenberg: ∆x∆p≥het ∆E∆t≥hRelativit´e:
γ= 1/p1−v2/c2,E=mc2, masse relativiste: m=γm0, distribution normale
P(x) = 1
σ√2πe−(x)2/2σ2
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