Liste d’exercices 9 - PHY2500 Hiver 2011 Prof.: Vincent Tabard-Cossa à faire avant le 18 avril 2011 1 Onde de Broglie 1. (a) À quelle vitesse la longueur d’onde de de Broglie d’un électron est-elle égale au rayon de Bohr, qui est de 0.053 nm ? (b) Comparez le module de la vitesse trouvé à la question (a) avec le module de la vitesse de l’électron à l’état fondamental d’après le modèle de Bohr. 2. Dans un microscope, la dimension du plus petit détail observable correspond à la longueur d’onde du rayonnement utilisé. Ce paramètre correspond à la puissance de résolution. À quelle vitesse la longueur d’onde de Broglie d’un électron est-elle égale à 0.1 nm, qui est la taille approximative d’un atome ? 2 Applications de la mécanique ondulatoire 3. Un électron se déplace à l’intérieur d’un puits de potentiel infini à une dimension de longueur 0.1 nm. (a) Calculez les énergies de l’état fondamental et du premier état excité. (b) Quelle est la longueur d’onde du photon émis si l’électron passe de l’état excité à l’état fondamental ? (Réponse: (a) 37.7 eV, 151 eV; (b) 11.0 nm) 4. On suppose qu’un électron est enfermé dans un puits de potentiel infini de largeur 10−14 m, valeur qui correspond à la dimension approximative d’un noyau. (a) Calculez l’énergie de l’état fondamental de l’électron. (b) Sachant que les énergies nucléaires sont de l’ordre de quelques dizaines de MeV, que pouvez-vous dire quant à la possibilité pour les électrons d’être à l’intérieur du noyau? 5. L’énergie potentielle d’un oscillateur harmonique simple est donnée par U = 2 1 mω 2 x2 . Démontrez que ψ = Ae−Bx est une solution de l’équation d’onde 2 de Schrödinger, où E = ~ω/2 est l’énergie mécanique de cet oscillateur. Que représente B, en comparant à la distribution normale (voir feuille de formule) ? 3 Principe d’incertitude de Heisenberg 6. Soit un électron dans un état excité. La différence d’énergie entre cet état et l’état fondamental est de 2.25 eV et la durée de vie de cet état excité est de 0.13µs. (a) Quelle est la fréquence du photon émis au moment de la désexcitation ? (b) Quelle est l’incertitude sur la fréquence de ce photon selon le principe d’incertitude de Heisenberg ? 7. Un proton est enfermé dans un noyau de rayon 2 × 10−14 m. (a) Estimez l’incertitude sur sa quantité de mouvement. (b) Si la quantité de mouvement était égale à l’incertitude trouvée en (a), quelle serait l’énergie cinétique en MeV ? Constantes: c = 3 × 108 m/s, e = 1.6 × 10−19 C, 1eV = 1.6 × 10−19 J, h = 6.626 × 10−34 J · s (~ = h/2π), me = 9.109 × 10−31 kg, k = 1/4πε0 = 9 × 109 Nm2 /kg2 Formules: f λ = c, p = hf /c = h/λ, E = hf , transition: hf = En0 − En , Bohr: mvr = n~, rn = n2 ~2 , mke2 En = −13.6Z 2 eV, n2 accélération centripède a = v 2 /r, quantité de mouvement p = mv, energie cinétique K = mv 2 /2; fonction d’onde: d2 ψ dx2 + 2m (E ~2 − U )ψ = 0, ψ 2 dV = probabilité, puits infini: ψ(x) = A sin(nπx/L) 2 2 n h et En = 8mL 2 où n = 1, 2, 3, ..., Heisenberg: ∆x∆p ≥ h et ∆E∆t ≥ h Relativité: p γ = 1/ 1 − v 2 /c2 , E = mc2 , masse relativiste: m = γm0 , distribution normale P (x) = 2 2 √1 e−(x) /2σ σ 2π 2