contrôle continu

Université Joseph Fourier
Phy242 : Physique quantique
contrôle continu
durée : 1h
avril 2008
Sans documents, calculatrice autorisée.
Pour toutes les questions, donner le résultat sous forme de formule littérale avant de
faire l’application numérique.
On donne: constante de Planck h = 6.6 × 10−34 Js; ~c = 197 eV.nm
charge de l’électron −e = −1.6 × 10−19 C; masse d’un électron me = 9 × 10−31 kg; me c2 = 0.511 MeV.
Exercice 1 - Courant dans un pont métallique
En poussant à ses limites les techniques de la microélectronique, on sait aujourd’hui fabriquer des
ponts métalliques de taille nanométrique. En calculant l’action caractéristique, évaluer si les effets
quantiques sont importants pour des électrons traversant un tel pont avec une vitesse v = 5×105 ms−1 .
w = 1 nm
électrons
Exercice 2 - Cellule photoélectrique
Une cellule photoélectrique possède une cathode en cuivre, dont le travail d’extraction We est égal à
4.7 eV. On envoie sur cette cellule un flux de photons monochromatiques de longueur d’onde λ.
1. Quelle est la longueur d’onde maximale λ0 pour que ces photons puissent extraire des électrons
de la cathode par effet photoélectrique ?
2. On utilise des photons de longueur d’onde λ = 200 nm. Quelle est l’énergie cinétique des
électrons émis lorsqu’ils quittent la cathode ?
3. On collecte les électrons émis en appliquant entre l’anode et la cathode une différence de potentiel
U . Donner la définition du potentiel d’arrêt U0 et calculer sa valeur.
4. On mesure un courant de saturation de 2 µA. Le rendement quantique de la cellule, défini comme
le rapport entre le nombre d’électrons émis et le nombre de photons reçus, vaut R = 0.2. Quelle
est la puissance lumineuse reçue?
5. Comment sont modifiés le courant de saturation et le potentiel d’arrêt lorsqu’on passe de λ à
λ0 = λ/2 sans changer la puissance lumineuse (le rendement quantique est supposé constant)?
t.s.v.p.
1
Exercice 3 - Boı̂te quantique
On considère une particule enfermée dans une boı̂te uni-dimensionelle. Ce système est décrit par le
potentiel suivant :
V (x) = 0 si 0 < x < L ;
V (x) = +∞ sinon.
1. Etant donné la nature du potentiel, déterminer l’intervalle sur lequel on doit résoudre l’équation
de Schrödinger:
~2 d2 ψ(x)
+ V (x)ψ(x) = Eψ(x)
−
2m dx2
et déterminer les conditions limites de la fonction d’onde.
2. En sachant que:
ψ(x) = Aeikx + Be−ikx
est la solution générale de cette équation sur l’intervalle intéressant, donner l’expression de k.
3. En utilisant les conditions limites, déterminer B en fonction de A. Puis montrer que l’énergie
E de la particule ne peut prendre que certaines valeurs et peut s’écrire En = n2 E0 où n est un
entier et E0 est la plus petite valeur possible de E que l’on déterminera.
4. En utilisant le fait que la particule se trouve forcément entre 0 et L, déterminer complètement
l’expression de ψ(x). On rappelle que la probabilité dP de trouver la particule entre x et x + dx
est :
dP = |ψ(x)|2 dx
et que 2 sin2 α = 1 − cos(2α).
Exercice 4 - Atome d’hydrogène et principe d’incertitude
Dans cet exercice, on démontre que le principe d’incertitude de Heisenberg place une borne inférieure
à la distance moyenne de l’électron au proton dans un atome d’hydrogène et explique ainsi la stabilité
de la matière.
1. Exprimer, dans le cadre de la mécanique classique, l’énergie totale E de l’électron d’un atome
d’hydrogène en fonction de sa distance r au noyau et du module de sa quantité de mouvement
p. Pour une écriture concise, utiliser l’abréviation a = e2 /4π²0 .
2. Admettons que cette expression est valable dans le cadre de la mécanique quantique à condition que le principe d’incertitude d’Heisenberg soit respecté. Dans ce cadre, r représente alors
la distance moyenne entre l’électron et le proton et p la quantité de mouvement moyenne de
l’électron.
Dans l’atome, les incertitudes sur r et p sont du même ordre de grandeur que leurs modules,
c’est à dire ∆r ≈ r et ∆p ≈ p. Déduire du principe d’incertitude d’Heisenberg ∆r∆p & ~ et de
l’expression de E que:
~2
a
E&
− .
2
2me r
r
3. Cette expression admet un minimum. Chercher la valeur r0 pour laquelle on obtient ce minimum
et calculer la valeur de l’énergie minimale Emin correspondante.
4. Applications numériques pour r0 et Emin en utilisant α =
2
a
~c
≈
1
137 .
Conclusion?