contrôle continu

Universit´e Joseph Fourier Phy242 : Physique quantique
contrˆole continu
dur´ee : 1h avril 2008
Sans documents, calculatrice autoris´ee.
Pour toutes les questions, donner le r´esultat sous forme de formule litt´erale avant de
faire l’application num´erique.
On donne: constante de Planck h= 6.6×10−34 Js; ~c= 197 eV.nm
charge de l’´electron −e=−1.6×10−19 C; masse d’un ´electron me= 9 ×10−31 kg; mec2= 0.511 MeV.
Exercice 1 - Courant dans un pont m´etallique
En poussant `a ses limites les techniques de la micro´electronique, on sait aujourd’hui fabriquer des
ponts m´etalliques de taille nanom´etrique. En calculant l’action caract´eristique, ´evaluer si les effets
quantiques sont importants pour des ´electrons traversant un tel pont avec une vitesse v= 5×105ms−1.
w= 1 nm
électrons
Exercice 2 - Cellule photo´electrique
Une cellule photo´electrique poss`ede une cathode en cuivre, dont le travail d’extraction Weest ´egal `a
4.7 eV. On envoie sur cette cellule un flux de photons monochromatiques de longueur d’onde λ.
1. Quelle est la longueur d’onde maximale λ0pour que ces photons puissent extraire des ´electrons
de la cathode par effet photo´electrique ?
2. On utilise des photons de longueur d’onde λ= 200 nm. Quelle est l’´energie cin´etique des
´electrons ´emis lorsqu’ils quittent la cathode ?
3. On collecte les ´electrons ´emis en appliquant entre l’anode et la cathode une diff´erence de potentiel
U. Donner la d´efinition du potentiel d’arrˆet U0et calculer sa valeur.
4. On mesure un courant de saturation de 2 µA. Le rendement quantique de la cellule, d´efini comme
le rapport entre le nombre d’´electrons ´emis et le nombre de photons re¸cus, vaut R= 0.2. Quelle
est la puissance lumineuse re¸cue?
5. Comment sont modifi´es le courant de saturation et le potentiel d’arrˆet lorsqu’on passe de λ`a
λ0=λ/2 sans changer la puissance lumineuse (le rendement quantique est suppos´e constant)?
t.s.v.p.
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Exercice 3 - Boˆıte quantique
On consid`ere une particule enferm´ee dans une boˆıte uni-dimensionelle. Ce syst`eme est d´ecrit par le
potentiel suivant :
V(x) = 0 si 0< x < L ;V(x) = +∞sinon.
1. Etant donn´e la nature du potentiel, d´eterminer l’intervalle sur lequel on doit r´esoudre l’´equation
de Schr¨odinger:
−~2
2m
d2ψ(x)
dx2+V(x)ψ(x) = Eψ(x)
et d´eterminer les conditions limites de la fonction d’onde.
2. En sachant que:
ψ(x) = Aeikx +Be−ikx
est la solution g´en´erale de cette ´equation sur l’intervalle int´eressant, donner l’expression de k.
3. En utilisant les conditions limites, d´eterminer Ben fonction de A. Puis montrer que l’´energie
Ede la particule ne peut prendre que certaines valeurs et peut s’´ecrire En=n2E0o`u nest un
entier et E0est la plus petite valeur possible de Eque l’on d´eterminera.
4. En utilisant le fait que la particule se trouve forc´ement entre 0 et L, d´eterminer compl`etement
l’expression de ψ(x). On rappelle que la probabilit´e dP de trouver la particule entre xet x+dx
est :
dP =|ψ(x)|2dx
et que 2 sin2α= 1 −cos(2α).
Exercice 4 - Atome d’hydrog`ene et principe d’incertitude
Dans cet exercice, on d´emontre que le principe d’incertitude de Heisenberg place une borne inf´erieure
`a la distance moyenne de l’´electron au proton dans un atome d’hydrog`ene et explique ainsi la stabilit´e
de la mati`ere.
1. Exprimer, dans le cadre de la m´ecanique classique, l’´energie totale Ede l’´electron d’un atome
d’hydrog`ene en fonction de sa distance rau noyau et du module de sa quantit´e de mouvement
p. Pour une ´ecriture concise, utiliser l’abr´eviation a=e2/4π²0.
2. Admettons que cette expression est valable dans le cadre de la m´ecanique quantique `a condi-
tion que le principe d’incertitude d’Heisenberg soit respect´e. Dans ce cadre, rrepr´esente alors
la distance moyenne entre l’´electron et le proton et pla quantit´e de mouvement moyenne de
l’´electron.
Dans l’atome, les incertitudes sur ret psont du mˆeme ordre de grandeur que leurs modules,
c’est `a dire ∆r≈ret ∆p≈p. D´eduire du principe d’incertitude d’Heisenberg ∆r∆p&~et de
l’expression de E que:
E&~2
2mer2−a r.
3. Cette expression admet un minimum. Chercher la valeur r0pour laquelle on obtient ce minimum
et calculer la valeur de l’´energie minimale Emin correspondante.
4. Applications num´eriques pour r0et Emin en utilisant α=a
~c≈1 137 . Conclusion?
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