Examen d`Analyse 2006.

1
Examen d’Analyse 2006.
MD1, cours d’analyse 1 .
La durée est de 2h. Documents et calculatrice sont interdits.
Une copie mal rédigée ou mal présentée pourra être pénalisée
Le barème est donné à titre indicatif, et peut être changé
Exercice I) sur 6 points
On considère les suites (un )n∈IN et (vn )n∈IN définies par:
√
u0 , v0 > 0, ∀n ∈ IN, un+1 = un vn et ∀n ∈ IN , vn+1 = (un + vn )/2.
1) Montrer que pour tout n ∈ IN un > 0 et vn > 0.
2) a) Montrer que pour tout x, y ∈ IR
x2 + y 2 ≥ 2 ∗ xy
b) En déduire que pour tout n ≥ 1, un ≤ vn .
3) Montrer que les suites (un )n≥1 et (vn )n≥1 sont monotones.
4)
a) Montrer qu’elles sont convergentes.
b) Soient l1 et l2 leurs limites respectives. Montrer que l1 et l2 vérifient
q
( l2 −
q
l1 )2 = 2 ∗ (l2 − l1 )
En déduire que l1 = l2
Exercice II) sur 9 points
Nous admettrons que le nombre π n’est pas rationnel.
Posons E = {x ∈ IR; ∃n, p ∈ ZZ, x = n + 2pπ}.
1) Soient x et y des éléments de E. Montrer que l’on a x + y ∈ E, et que pour tout entier
n ∈ ZZ, on a nx ∈ E.
2) Pour tout entier k ∈ IN , posons xk = 2kπ − E(2kπ).
a) Montrer que pour tout k ∈ IN ∗ , on a xk ∈]0, 1[ et xk ∈ E.
b) Soit un entier naturel n ≥ 1. Montrer qu’il existe au moins un intervalle de la
forme ]i/n, (i + 1)/n[ i ∈ {0, ..., n − 1}, contenant une infinité d’élements de la suite (xk )k≥1 .
En déduire qu’il existe des entiers k, l, k 6= l tels que |xk − xl | ≤ 1/n.
c) En déduire que pour tout nombre α > 0, il existe un nombre u ∈ E tel que
0 < u < α.
3) Soient x et α deux nombres réels strictement positifs et soit u un nombre appartenant
à E et tel que 0 < u < α.
a) Notons p le plus grand entier tel que pu ≤ x. Montrer que l’on a 0 ≤ x−pu < α.
b) En déduire qu’il existe un nombre v ∈ E tel que |x − v| < α.
2
4) Soit un nombre t ∈ [−1, 1] et soit un nombre x tel que cos(x) = t.
a) Montrer qu’il existe une suite (xn )n telle que xn ∈ E quel que soit n et
limn→∞ xn = x.
b) En déduire qu’il existe une suite (an )n telle que an ∈ IN quelque soit n ∈ IN et
limn cos an = t
Exercice III) sur 8 points
Soit f : [a, b] → IR une fonction continue qui vérifie f ([a, b]) ⊂ [a, b]. On définit une suite
par u0 ∈ [a, b] et un+1 = f (un ) pour tout n ∈ IN .
1) Montrer que si la suite est convergente, alors sa limite l vérifie l’égalité : f (l) = l.
2) Montrer que si f est croissante alors la suite (un )n est monotone et convergente.
3) Application : Etudier la suite définie par u0 ∈ [0, 2] et un+1 = 1 + u2n /4.
4) Montrer que si f est décroissante, alors les deux sous-suites (u2n )n et (u2n+1 )n sont
monotones et convergentes et que leurs limites vérifient l’équation f ◦ f (x) = x. (On
montrera d’abord que f ◦ f est croissante).
5) Application : Etudier la suite u0 = 0, un+1 = cosun . On montrera au préalable que
un ∈ [0, 1] pour tout n ∈ IN .
Question de cours : sur 4 points
Soit f une fonction continue sur IR. Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses.
(Justifier votre réponse)
a) L’image par f d’un intervalle ouvert est un intervalle ouvert.
b) L’image par f d’un segment est un segment
c) L’image par f d’une partie bornée de IR est un partie bornée.