Examen d`Analyse 2006.

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Examen d’Analyse 2006.
MD1, cours d’analyse 1 .
La dur´ee est de 2h. Documents et calculatrice sont interdits.
Une copie mal r´edig´ee ou mal pr´esent´ee pourra ˆetre p´enalis´ee
Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif, et peut ˆetre chang´e
Exercice I) sur 6 points
On consid`ere les suites (un)n∈IN et (vn)n∈IN d´efinies par:
u0, v0>0,∀n∈IN, un+1 =√unvnet ∀n∈IN,vn+1 = (un+vn)/2.
1) Montrer que pour tout n∈IN un>0 et vn>0.
2) a) Montrer que pour tout x, y ∈IR
x2+y2≥2∗xy
b) En d´eduire que pour tout n≥1, un≤vn.
3) Montrer que les suites (un)n≥1et (vn)n≥1sont monotones.
4)
a) Montrer qu’elles sont convergentes.
b) Soient l1et l2leurs limites respectives. Montrer que l1et l2v´erifient
(ql2−ql1)2= 2 ∗(l2−l1)
En d´eduire que l1=l2
Exercice II) sur 9 points
Nous admettrons que le nombre πn’est pas rationnel.
Posons E={x∈IR;∃n, p ∈ZZ, x =n+ 2pπ}.
1) Soient xet ydes ´el´ements de E. Montrer que l’on a x+y∈E, et que pour tout entier
n∈ZZ, on a nx ∈E.
2) Pour tout entier k∈IN, posons xk= 2kπ −E(2kπ).
a) Montrer que pour tout k∈IN∗, on a xk∈]0,1[ et xk∈E.
b) Soit un entier naturel n≥1. Montrer qu’il existe au moins un intervalle de la
forme ]i/n, (i+ 1)/n[i∈ {0, ..., n −1}, contenant une infinit´e d’´elements de la suite (xk)k≥1.
En d´eduire qu’il existe des entiers k, l,k6=ltels que |xk−xl| ≤ 1/n.
c) En d´eduire que pour tout nombre α > 0, il existe un nombre u∈Etel que
0< u < α.
3) Soient xet αdeux nombres r´eels strictement positifs et soit uun nombre appartenant
`a Eet tel que 0 < u < α.
a) Notons ple plus grand entier tel que pu ≤x. Montrer que l’on a 0 ≤x−pu < α.
b) En d´eduire qu’il existe un nombre v∈Etel que |x−v|< α.

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4) Soit un nombre t∈[−1,1] et soit un nombre xtel que cos(x) = t.
a) Montrer qu’il existe une suite (xn)ntelle que xn∈Equel que soit net
limn→∞ xn=x.
b) En d´eduire qu’il existe une suite (an)ntelle que an∈IN quelque soit n∈IN et
limncos an=t
Exercice III) sur 8 points
Soit f: [a, b]→IR une fonction continue qui v´erifie f([a, b]) ⊂[a, b]. On d´efinit une suite
par u0∈[a, b] et un+1 =f(un) pour tout n∈IN.
1) Montrer que si la suite est convergente, alors sa limite lv´erifie l’´egalit´e : f(l) = l.
2) Montrer que si fest croissante alors la suite (un)nest monotone et convergente.
3) Application : Etudier la suite d´efinie par u0∈[0,2] et un+1 = 1 + u2
n/4.
4) Montrer que si fest d´ecroissante, alors les deux sous-suites (u2n)net (u2n+1)nsont
monotones et convergentes et que leurs limites v´erifient l’´equation f◦f(x) = x. (On
montrera d’abord que f◦fest croissante).
5) Application : Etudier la suite u0= 0, un+1 =cosun. On montrera au pr´ealable que
un∈[0,1] pour tout n∈IN.
Question de cours : sur 4 points
Soit fune fonction continue sur IR. Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses.
(Justifier votre r´eponse)
a) L’image par fd’un intervalle ouvert est un intervalle ouvert.
b) L’image par fd’un segment est un segment
c) L’image par fd’une partie born´ee de IR est un partie born´ee.