Département de Mathématiques Maıtrise de Math. Pures Université

D´ epartement de Math´ ematiques Maˆıtrise de Math. Pures
Universit´ e d’Orl´ eans Premier semestre, ann´ee 2002/2003
Module Ma7.01 Analyse r´eelle et complexe
Feuille 7 : S´eries de Fourier 2, partiels des ann´ees pr´ec´edentes.
1. Partiel 1999: sous-espaces invariants de L2(T)
On dit qu’un sous-espace vectoriel Hde E=L2(T) est stable par translations si, pour tout f∈H
et tout θ∈R,on a τθf∈Ho`u τθf:x7→ f(x−θ).
Pour Iun sous-ensemble de Zon note HI={f∈E:ˆ f(n) = 0, n /∈I}.
1. Montrer que HIest un sous-espace ferm´e de E, stable par translations. Trouver une base
hilbertienne de HIet d´eterminer son orthogonal dans E.
2. Soit maintenant Hun sous-espace ferm´e de E, stable par translation, f∈Het g∈H⊥. On
pose an=ˆ f(n), bn= ˆg(n), n∈Z.
(a) Montrer que la s´erie X
n∈Z
anbnest absolument convergente.
(b) Montrer que pour tout θ∈R,X
n∈Z
anbneinθ = 0.
(c) En d´eduire quepour tout n∈Z,anbn= 0.
(d) Montrer qu’il existe I⊂Ztel que H=HI.
3. On suppose dans cette partie que Iest tel que toutes les fonctions HIappartiennent `a L∞(T)
et on se propose de montrer que Iest fini.
(a) Pour n > 0, f∈HI, on pose Mn(f) = n
2Z1
n
−1
n
f(x)dx.
Montrer que les Mnsont des formes lin´eaires continues sur HI.
(b) En appliquant le th´eor`eme de Banach-Steinhaus, montrer qu’il existe une constante CI>0
telle que pour tout n∈N,kMnk ≤ CI.
(c) Soient n1, n2, . . . , nN∈Ideux `a deux distincts et f(x) =
N
X
k=1
einkx.
Montrer que la suite Mn(f)converge. En d´eduire que N≤CI√N. Conclure.
2. Partiel 2000
Soit ω= (ωn)n≥0une suite de r´eels ≥1. On d´efinit
Hω={f∈L2(T) : X
n∈Z
ω|n|b f(n)
2<+∞}.
1. Montrer qu’il s’agit d’un espace vectoriel.
2. Soient f, g ∈Hω; on pose :
hf, giω=X
n∈Z
ω|n|b f(n)bg(n).
(a) Montrer qu’il s’agit d’un produit scalaire sur Hω
(b) Montrer qu’il munit Hωd’une structure d’espace de Hilbert.
(c) Montrer que l’ensemble des polynˆomes trigonom´etriques est dense dans Hω.
3. On suppose que X
n≥0
1
ωn
<+∞.
(a) Montrer que si f∈Hωalors X
n∈Zb
f(n)<+∞.
(b) En d´eduire que l’espace Hωest form´e de fonctions continues.
1

4. On suppose maintenant que X
n≥0
1
ωn
= +∞. Si n≥1 on note Kn(f) la n-i`eme somme de Fejer
de fet l’on pose, pour f∈Hω,Tn(f) = Kn(f)(0).
(a) Montrer qu’il existe une unique fonction ϕn∈Hωtelle que, pour tout f∈Hω,Tn(f) =
hf, ϕniω.
(b) D´eterminer ϕnet montrer que kϕnkω→+∞.
(c) En d´eduire la norme de la forme lin´eaire Tnet en d´eduire que Hωcontient des fonctions
non continues.
3. Partiel 2001
Pour f∈L1(T) on notera ˆ f= ( ˆ f(n))n∈Zla suite de ses coefficients de Fourier.
Le but de ce probl`eme est d’examiner pour quelles valeurs de α > 0 la propri´et´e (Pα) suivante est
vraie :
Si C > 0 et si a= (an)n∈Z∈CZest une suite v´erifiant pour tout n∈Z,|an| ≤
C
(1 + |n|)αalors il existe une fonction f∈L1(T) telle que ˆ
f=a.
En d’autres termes, on cherche `a savoir si cette condition de d´ecroissance sur (an) est suffisante pour
garantir qu’elle est la suite des coefficients de Fourier d’une fonction f∈L1(T).
I.
1. Montrer que (Pα) est v´erifi´ee si α > 1
2.
2. On d´efinit pour α > 0
Bα={a∈CZ;kakBα:= sup
n∈Z
(1 + |n|)α|an|<+∞}.
Montrer que (Bα,k.kBα) est un espace de Banach.
3. On d´efinit alors Aα={f∈L1(T); ˆ f∈Bα}. Montrer que, muni de la norme
kfkα=kfk1+kˆ fkBα
c’est un espace de Banach et que F:f7−→ ˆ fest une application lin´eaire continue de Aαdans
Bα.
4. Montrer que si (Pα) est v´erifi´ee, il existe une constante Ctelle que pour tout f∈Aα,kfk1≤
Ckˆ fkBα.
5. (a) Montrer que pour f∈L1(T) et gpolynˆomes trigonom´etriques de degr´e N,
1
2πZπ
−π
f(t)g(t)dt =
N
X
−N
ˆ
f(n)ˆg(n).
(b) En d´eduire que si (Pα) est v´erifi´e, alors il existe une constante Ctelle que pour tout polynˆome
gon a : X
n∈Z
|ˆg(n)|
(1 + |n|)α≤Ckgk∞
II. On construit deux suites de polynˆomes trigonom´etriques par la r`egle de r´ecurrence P0=Q0= 1,
Pm+1(t) = Pm(t) + ei2mtQm(t) et Qm+1(t) = Pm(t)−ei2mtQm(t).
1. D´eterminer P4. Montrer que Pm, Qmsont des polynˆomes trigonom´etriques de degr´e 2m−1 dont
les coefficients non nuls valent +1 ou −1.
2. Calculer |Pm+1(t)|2+|Qm+1(t)|2en fonction de |Pm(t)|2+|Qm(t)|2et en d´eduire que kPmk∞≤
2(m+1)/2.
3. Montrer que si α < 1
2, la propri´et´e (Pα) n’est pas v´erifi´ee.

4. Partiel 2002
On note ωla fonction d´efinie sur ] −1,1[ par ω(x) = 2
π
1
√1−x2et µla mesure sur ] −1,1[ donn´ee
par µ=ωdx.
On consid`ere les deux espaces
•L2(µ) = L2([−1,1], dµ) muni de la norme kfkL2(µ)= 2
πZ1
−1
|f(x)|2
√1−x2dx!1
2
. On note h., .iL2(µ)
le produit scalaire associ´e.
•L2([0, π]) muni de la norme kfk2=1
πZπ
0|f|21/2
. On note h., .i2le produit scalaire associ´e.
I. Soit fune fonction de L2([0, π]) et gla fonction de L2([−π, π]) d´efinie par g(t) = f(|t|).
(i) Montrer que pour tout n∈Z,
bg(n) = 1
πZπ
0
f(t) cos ntdt.
(ii) On pose pour n≥0ξn(t) = cos nt: montrer que la famille (ξn)n≥0est totale dans L2([0, π]).
(iii) Soit maintenant Φ l’application f7−→ Φ(f) o`u Φ(f)(t) = √2f(cos t).
Montrer que Φ est un isomorphisme isom´etrique de L2(µ) sur L2([0, π]).
II. (i) Soit Hl’espace des polynˆomes. Montrer que H⊂L2(µ).
(ii) Montrer que, pour tout n≥0, il existe un polynˆome Tnde degr´e ntel que pour tout t∈R,
Tn(cos t) = cos nt.
(iii) Montrer que la famille (Tn)n≥0est orthonormale dans L2(µ).
(iv) Soit f∈H⊥(l’orthogonal ´etant pris dans L2(µ)). Montrer que Φ(f) = 0 et en d´eduire que
Hest dense.
(v) Quelle est la projection orthogonale Pn(f) de f∈L2(µ) sur l’espace Hndes polynˆomes de
degr´e ≤n?
(vi) Que peut on dire de la suite (Pn(f))n≥0de L2(µ) ?
(vii) On consid`ere Pn:C([−1,1]) →Rd´efinie par f7→ P4n(f)(0). Montrer que Pnest une
forme lin´eaire continue sur C([−1,1]).
(viii) D´eterminer Anpour que Pn=hΦ(f), Ani2et en d´eduire que kPnk=kAnk1.
(ix) Montrer que kPnk → +∞.
(x) En d´eduire qu’il existe f∈ C([−1,1]) telle que la suite (Pn(f)(0)) diverge.