Maı̂trise de Math. Pures Premier semestre, année 2002/2003 Analyse réelle et complexe Département de Mathématiques Université d’Orléans Module Ma7.01 Feuille 7 : Séries de Fourier 2, partiels des années précédentes. 1. Partiel 1999: sous-espaces invariants de L2 (T) On dit qu’un sous-espace vectoriel H de E = L2 (T) est stable par translations si, pour tout f ∈ H et tout θ ∈ R ,on a τθ f ∈ H où τθ f : x 7→ f (x − θ). Pour I un sous-ensemble de Z on note HI = {f ∈ E : fˆ(n) = 0, n ∈ / I}. 1. Montrer que HI est un sous-espace fermé de E, stable par translations. Trouver une base hilbertienne de HI et déterminer son orthogonal dans E. 2. Soit maintenant H un sous-espace fermé de E, stable par translation, f ∈ H et g ∈ H ⊥ . On pose an = fˆ(n), bn = ĝ(n), Xn ∈ Z. an bn est absolument convergente. (a) Montrer que la série n∈Z (b) Montrer que pour tout θ ∈ R, X an bn einθ = 0. n∈Z (c) En déduire quepour tout n ∈ Z, an bn = 0. (d) Montrer qu’il existe I ⊂ Z tel que H = HI . 3. On suppose dans cette partie que I est tel que toutes les fonctions HI appartiennent à L∞ (T) et on se propose de montrer que I est fini. Z 1 n n (a) Pour n > 0, f ∈ HI , on pose Mn (f ) = f (x)dx. 2 − n1 Montrer que les Mn sont des formes linéaires continues sur HI . (b) En appliquant le théorème de Banach-Steinhaus, montrer qu’il existe une constante CI > 0 telle que pour tout n ∈ N, kMn k ≤ CI . N X (c) Soient n1 , n2 , . . . , nN ∈ I deux à deux distincts et f (x) = eink x . k=1 √ Montrer que la suite Mn (f ) converge. En déduire que N ≤ CI N . Conclure. 2. Partiel 2000 Soit ω = (ωn )n≥0 une suite de réels ≥ 1. On définit 2 X H ω = {f ∈ L2 (T) : ω|n| fb(n) < +∞}. n∈Z 1. Montrer qu’il s’agit d’un espace vectoriel. 2. Soient f, g ∈ H ω ; on pose : X g (n). hf, giω = ω|n| fb(n)b n∈Z (a) Montrer qu’il s’agit d’un produit scalaire sur H ω (b) Montrer qu’il munit H ω d’une structure d’espace de Hilbert. (c) Montrer que l’ensemble des polynômes trigonométriques est dense dans H ω . X 1 3. On suppose que < +∞. ωn n≥0 X (a) Montrer que si f ∈ H ω alors fb(n) < +∞. n∈Z (b) En déduire que l’espace H ω est formé de fonctions continues. 1 4. On suppose maintenant que X 1 = +∞. Si n ≥ 1 on note Kn (f ) la n-ième somme de Fejer ωn n≥0 de f et l’on pose, pour f ∈ H ω , Tn (f ) = Kn (f )(0). (a) Montrer qu’il existe une unique fonction ϕn ∈ H ω telle que, pour tout f ∈ H ω , Tn (f ) = hf, ϕn iω . (b) Déterminer ϕn et montrer que kϕn kω → +∞. (c) En déduire la norme de la forme linéaire Tn et en déduire que H ω contient des fonctions non continues. 3. Partiel 2001 Pour f ∈ L1 (T) on notera fˆ = (fˆ(n))n∈Z la suite de ses coefficients de Fourier. Le but de ce problème est d’examiner pour quelles valeurs de α > 0 la propriété (Pα ) suivante est vraie : Si C > 0 et si a = (an )n∈Z ∈ CZ est une suite vérifiant pour tout n ∈ Z, |an | ≤ C alors il existe une fonction f ∈ L1 (T) telle que fˆ = a. (1 + |n|)α En d’autres termes, on cherche à savoir si cette condition de décroissance sur (an ) est suffisante pour garantir qu’elle est la suite des coefficients de Fourier d’une fonction f ∈ L1 (T). I. 1. Montrer que (Pα ) est vérifiée si α > 12 . 2. On définit pour α > 0 Bα = {a ∈ CZ ; kakBα := sup(1 + |n|)α |an | < +∞}. n∈Z Montrer que (Bα , k.kBα ) est un espace de Banach. 3. On définit alors Aα = {f ∈ L1 (T); fˆ ∈ Bα }. Montrer que, muni de la norme kf kα = kf k1 + kfˆkBα c’est un espace de Banach et que F : f 7−→ fˆ est une application linéaire continue de Aα dans Bα . 4. Montrer que si (Pα ) est vérifiée, il existe une constante C telle que pour tout f ∈ Aα , kf k1 ≤ CkfˆkBα . 5. (a) Montrer que pour f ∈ L1 (T) et g polynômes trigonométriques de degré N , Z π N X 1 f (t)g(t)dt = fˆ(n)ĝ(n). 2π −π −N (b) En déduire que si (Pα ) est vérifié, alors il existe une constante C telle que pour tout polynôme g on a : X |ĝ(n)| ≤ Ckgk∞ (1 + |n|)α n∈Z II. On construit deux suites de polynômes trigonométriques par la règle de récurrence P0 = Q0 = 1, Pm+1 (t) = Pm (t) + ei2 m t Qm (t) et Qm+1 (t) = Pm (t) − ei2 m t Qm (t). 1. Déterminer P4 . Montrer que Pm , Qm sont des polynômes trigonométriques de degré 2m − 1 dont les coefficients non nuls valent +1 ou −1. 2 2 2 2 2. Calculer |Pm+1 (t)| + |Qm+1 (t)| en fonction de |Pm (t)| + |Qm (t)| et en déduire que kPm k∞ ≤ (m+1)/2 2 . 3. Montrer que si α < 12 , la propriété (Pα ) n’est pas vérifiée. 4. Partiel 2002 On note ω la fonction définie sur ] − 1, 1[ par ω(x) = par µ = ωdx. On considère les deux espaces 2 √ 1 π 1−x2 • L2 (µ) = L2 ([−1, 1], dµ) muni de la norme kf kL2 (µ) = 2 π Z et µ la mesure sur ] − 1, 1[ donnée 1 −1 ! 12 2 |f (x)| √ dx . On note h., .iL2 (µ) 1 − x2 le produit scalaire associé. 1/2 Z 1 π 2 • L ([0, π]) muni de la norme kf k2 = |f | . On note h., .i2 le produit scalaire associé. π 0 I. Soit f une fonction de L2 ([0, π]) et g la fonction de L2 ([−π, π]) définie par g(t) = f (|t|). (i) Montrer que pour tout n ∈ Z, Z 1 π gb(n) = f (t) cos ntdt. π 0 2 (ii) On pose pour n ≥ 0 ξn (t) = cos nt: montrer que la famille √ (ξn )n≥0 est totale dans L2 ([0, π]). (iii) Soit maintenant Φ l’application f 7−→ Φ(f ) où Φ(f )(t) = 2f (cos t). Montrer que Φ est un isomorphisme isométrique de L2 (µ) sur L2 ([0, π]). II. (i) Soit H l’espace des polynômes. Montrer que H ⊂ L2 (µ). (ii) Montrer que, pour tout n ≥ 0, il existe un polynôme Tn de degré n tel que pour tout t ∈ R, Tn (cos t) = cos nt. (iii) Montrer que la famille (Tn )n≥0 est orthonormale dans L2 (µ). (iv) Soit f ∈ H ⊥ (l’orthogonal étant pris dans L2 (µ)). Montrer que Φ(f ) = 0 et en déduire que H est dense. (v) Quelle est la projection orthogonale Pn (f ) de f ∈ L2 (µ) sur l’espace Hn des polynômes de degré ≤ n ? (vi) Que peut on dire de la suite (Pn (f ))n≥0 de L2 (µ) ? (vii) On considère Pn : C([−1, 1]) → R définie par f 7→ P4n (f )(0). Montrer que Pn est une forme linéaire continue sur C([−1, 1]). (viii) Déterminer An pour que Pn = hΦ(f ), An i2 et en déduire que kPn k = kAn k1 . (ix) Montrer que kPn k → +∞. (x) En déduire qu’il existe f ∈ C([−1, 1]) telle que la suite (Pn (f )(0)) diverge.