Le sujet - BibM@th

A 2001 Math MP 2
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI).
CONCOURS D’ADMISSION 2001
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIÈME ÉPREUVE
Filière MP
(Durée de l’épreuve :4 heures)
(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES 2-Filière MP.
Cet énoncé comporte 7 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amené à prendre.
Soit Cl’espace vectoriel normé des fonctions réelles, définies sur le segment I=Ä?1,1Å,
continues ; la norme de cet espace est la norme de la convergence uniforme, définie pour une
fonction fde Cparlarelation:
qfq=
x I
sup |fÂxÃ|.
Pour tout entier naturel n, l’espace vectoriel des fonctions polynomiales réelles de degré
inférieurouégalàn, est notée En. Par abus de langage, la locution “ fonction polynomiale” est
remplacée par polynôme.
Première partie
Il est admis que, pour une fonction fdonnée continue sur le segment Iet un entier naturel
donné n, il existe un polynôme Pn,dedegréinférieurouégalàn, tel que :
qf?Pnq=A
nÂfÃ=infÆqf?PqPP5EnÇ.
Le but de cette partie est d’étudier l’erreur commise lors de la meilleure approximation d’une
fonction continue par une fonction polynomiale et de montrer le résultat : si fest une fonction
k-fois continûment dérivable sur I=Ä?1,1Å, la meilleure approximation de la fonction fpar un
polynôme de degré inférieur ou égal à nest telle que :
AnÂfÃ=o1
nk.
Soit june fonction réelle définie sur l’intervalle I, bornée (il existe une constante Mtelle
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que, pour tout réel xde I,|jÂxÃ|M). À cette fonction jest associée la fonction g, dite
“module de continuité de j”. Elle est définie sur la demi-droite ouverte Å0,KÄde la manière
suivante :
Étant donné un réel hstrictement positif, gÂhÃest égal à la borne supérieure des réels
|jÂxÃ?jÂyÃ|sachant que xet ysont deux réels de l’intervalle Idont la valeur absolue de la
différence est majorée par h:
gÂhÃ=sup |jÂxÃ?jÂyÃ|;x,y5I2,|x?y|h.
I-1.Propriétés du module de continuité :
Soit june fonction réelle définie et bornée sur le segment I.
a. Démontrer que le module de continuité de cette fonction jest une fonction croissante
définie sur la demi-droite ouverte Å0,KÄ.
b. Soient het h´ deux réels strictement positifs, démontrer la propriété :
gÂh+h´ÃgÂhÃ+gÂh´Ã.
Soient het Vdeux réels strictement positifs, nun entier supérieur ou égal à 1 ; démontrer les
relations suivantes :
gnh ngÂhÃ;gVhÂ1+VÃgÂhÃ.
c. Démontrer que la fonction jest uniformément continue sur le segment Isi et seulement si
la limite du module de continuité gen0estnulle:
jest uniformément continue sur IÎh0
lim gÂhÃ=0.
d. Démontrer que, si la fonction jest continûment dérivable sur le segment I, il vient pour
tout réel positif h:
gÂhÃhqj´q.
I-2.Noyaux de Dirichlet et de Fejer :
Étant donné un entier nsupérieur ou égal à 1 Ân1Ã, soient Dnet Fnles fonctions définies
pour tout réel Spar les relations suivantes :
DnÂSÃ=>
k n
neik ;FnÂSÃ=1
n>
k0
nDkÂSÃ.
Il est admis que la fonction Fnvérifie les relations suivantes :
pour tout Sdifférent de 2k^,kentier relatif, FnÂSÃ=>
k n 1
n11?|k|
neik =1
nsin nS/2
sinÂS/2Ã
2
.
Soit Knla fonction définie dans l’ensemble RC2^Zpar la relation suivante :
KnÂSÃ=1
Vn
sin nS/2
sinÂS/2Ã
4
,
où le réel Vnest défini par la condition :
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1
2^X0
2KnÂSÃdS=1.
a. Calculer le réel Vnet déterminer une constante Ctelle que ce réel soit équivalent à l’infini
àCn
3. Rappel :
>
k1
nk2=1
6nÂn+1ÃÂ2n+1Ã.
b. Soit Jla fonction définie sur l’intervalle semi-ouvert Å0,^/2Åpar la relation suivante :
JÂtÃ=1
sin4t?1
t4.
Démontrer qu’il existe une constante A1telle que la fonction Jsoit équivalente en 0 à A1t2.
En déduire que la fonction tÐt3JÂtÃest bornée sur l’intervalle Å0,^/2Å. Soit A2un majorant de
cette fonction sur l’intervalle Å0,^/2Å.
Soient Inet Jnles deux intégrales suivantes :
In=X0
/2 sin4ÂntÃ
t3dt ;Jn=X0
/2 tJÂtÃsin4ÂntÃdt.
Démontrer les deux propriétés suivantes :
lorsque l’entier ntend vers l’infini, Inin2.X0sin4t
t3dt ;
pour tout entier naturel n,Ân1Ã,JnA2nX0sin4t
t2dt.
c. Démontrer l’existence d’une constante M0telle que, pour tout entier nsupérieur ou égal à
1, il vienne :
01
^X01+nt KnÂtÃdt M0.
I-3.Polynôme jnÄgÅ:
Soit gune fonction paire définie sur la droite réelle périodique et de période 2^; étant donné
un entier nsupérieur ou égal à 1, soit jnÄgÅla fonction définie par la relation suivante :
jnÄgÅÂSÃ=1
2^XgÂS?tÃKnÂtÃdt.
a. Démontrer que la fonction jnÄgÅest paire et est un polynôme de degré au plus égal à
2n?2.
b. Vérifier les inégalités suivantes :
|gÂSÃ?gÂS?tÃ|ggÂ|t|Ã1+n|t|gg1
n,
puis, en utilisant les résultats des questions précédentes, démontrer la majoration :
|gÂSÃ?jnÄgÅÂSÃ|M0gg1
n.
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Dans la suite l’entier nest supposé supérieur ou égal à 3 ; à l’entier nest associé l’entier pégal à
la partie entière du réel n/2. L’entier vérifie les inégalités :
pn/2 <p+1.
I-4.Polynôme associé à une fonction de l’espace C :
Soit fune fonction de l’espace C. À cette fonction fest associée la fonction gpériodique de
période 2^, définie, pour tout réel S, par la relation :
gÂSÃ=fÂcosSÃ.
Soit Pnla fonction définie sur l’intervalle I=Ä?1,1Åpar la relation : pour tout réel xde I,
PnÂxÃ=jp1ÄgÅÂArccosxÃ.
L’entier pest la partie entière de n/2 définie ci-dessus.
a. Démontrer que la fonction Pnest un polynôme (une fonction polynomiale) de degré au
plus égal à n. Il est admis que, pour tout entier naturel k, la fonction xÐcos kArccosxest un
polynôme de degré k.
b. Démontrer, pour toute fonction fde l’espace Cet tout entier nÂn3Ã, la relation suivante
:
AnÂfÃ2M0gf1
n.
La constante M0a été introduite à la question I-2.c et AnÂfÃdans l’introduction de la partie I.
c. Établir le résultat préliminaire : soit fune fonction de l’espace C; pour tout polynôme Q
de degré inférieur ou égal à n, il vient :
AnÂfÃ=A
nÂf?QÃ.
Démontrer, pour toute fonction fcontinûment dérivable sur le segment I=Ä?1,1Ået tout entier
n, la relation ci-dessous entre AnÂfÃet An1f´ :
AnÂfÃ2M0
nAn1f´ .
d. Étant donné un entier ksupérieur ou égal à 1 Âk1Ã, soit fune fonction k-fois
continûment dérivable ; déduire du résultat précédent une majoration, pour tout entier n
supérieur strictement à kÂn>kÃ,deAnÂfÃen fonction de An k fk.
En déduire que, si fest une fonction k-fois continûment dérivable et nun entier croissant
indéfiniment, l’expression AnÂfÃest un infiniment petit d’ordre supérieur à 1/nk.
AnÂfÃ=o1
nk.
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SECONDE PARTIE
Le but de cette partie est, pour une fonction fdonnée dans C, de construire une suite de
polynômes InÄfÅ, qui, lorsque la fonction fest continûment dérivable, converge uniformément
vers la fonction f.
Dans cette partie, l’entier nestfixéetestsupérieurouégalà3Ân3Ã. Soit En
0le
sous-espace de Enconstitué des polynômes (fonctions polynomiales) nulles en ?1eten1.
II-1.L’espace préhilbertien En
0:
a. Quelle est la dimension de l’espace vectoriel En
0? Soit ÂekÃ2k n la suite de polynômes
définie par la relation :
pour tout entier k,2kn,ekÂxÃ=xk?xk2.
Démontrer que la suite de ces polynômes est une base Bde l’espace vectoriel En
0.
b. Soit nl’endomorphisme de l’espace vectoriel En
0défini par la relation suivante :
pour tout polynôme Pde En
0,nÂPÃÂxÃ=Â1?x2ÃP´´ÂxÃ.
Démontrer que la matrice Mnassociée à l’endomorphisme ndans la base Best une matrice
triangulaire supérieure ; déterminer les éléments de la diagonale de cette matrice.
En déduire l’existence d’une base B´ définie par une suite de polynômes ÂQkÃ2k n qui
vérifient les relations suivantes :
pour tout entier k,2kn,Â1?x2ÃQk´´ÂxÃ=WkQk.
Ces polynômes sont supposés unitaires (le coefficient du terme de plus haut degré est égal à
1). Préciser les coefficients Wk,2knet le degré des polynômes Qk.
c. À deux polynômes quelconques Pet Qappartenant à l’espace vectoriel En
0est associée
l’intégrale JÂP,QÃdéfinie par la relation suivante :
JÂP,QÃ=X1
1PÂxÃQÂxÃ
1?x2dx.
Démontrer que cette intégrale existe ; à quelle condition sur le polynôme Pl’expression
JÂP,PÃest-elle nulle ?
Il est admis dans la suite que l’application ÂP,QÃÐJÂP,QÃde En
0¼En 0dans Rest un
produit scalaire. Dans la suite le produit scalaire est noté Â.P.Ã:
ÂPPQÃ=X1
1PÂxÃQÂxÃ
1?x2dx.
d. Démontrer que la base B´=ÂQkÃ2k n est orthogonale dans l’espace préhilbertien
ÂEn
0,Â.P.ÃÃ.
II-2.Racines du polynôme Qn:
a. Un résultat préliminaire : démontrer que le polynôme Qnpossède la propriété : pour tout
polynôme Pde degré inférieur ou égal à n?3, l’intégrale Kci-dessous est nulle :
K=X1
1PÂxÃQnÂxÃdx =0.
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