Chapitre dernier : Probabilités : probabilités conditionnelles T STG 1

Chapitre dernier : Probabilités : probabilités conditionnelles
T STG
I. Test sur les probabilités en première
Tableau à double entrée  : Une administration emploie 250 salariés classés en trois catégories : A, B
et C. Il y a 32% d'hommes et 20% de salariés en catégorie C. Le tableau ci-dessous décrit la répartition
du personnel. Les pourcentages sont calculés par rapport au nombre total d'employés.
A
C
Total
38
Femmes
Hommes
B
30
10
250
Total
A
B
C
D
1. Le nombre de salariés « hommes » est
32
80
40
8
2. Le nombre d'hommes appartenant à B est
76
80
40
15
3. Le nombre de femmes appartenant à C est
40
50
20
16
4. Le nombre de salariés appartenant à A est
92
32
50
122
5. Le pourcentage de salariés appartenant à B est environ
76%
31%
80%
15%
6. Le pourcentage de femmes appartenant à A est environ
50%
54%
37%
75%
Probabilités vues en première  : On lance deux dés cubiques parfaitement équilibrés. L'un des dés est
noir, l'autre est rouge. Un résultat possible est le couple formé par le numéro porté par le dé noir et le
numéro porté par le dé rouge.
A
B
C
D
7. Le nombre de résultats possibles est
6
12
21
36
8. La probabilité d'obtenir deux numéros identiques est
1
6
5
6
1
2
1
36
9. La probabilité d'obtenir deux numéros pairs est
1
6
1
4
1
3
1
2
10. La probabilité d'obtenir deux numéros différents est
35
36
5
6
1
6
1
2
11. La probabilité pour que la somme des numéros soit
égale à 6 est
1
6
1
4
5
36
7
36
12. La probabilité pour que la somme des numéros soit
paire est
1
2
1
4
1
6
1
3
II. Vocabulaire et propriétés de la classe de première
a. Définitions
1. Expérience aléatoire  Expérience dont on ne peut pas prévoir l'issue à l'avance
( liée au hasard )
2. Univers
 Une expérience aléatoire étant fixée, l'univers est l'ensemble des issues possibles.
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3. Événement élémentaire  C'est une issue possible de l'univers.
4. Événement  C'est une issue composée de plusieurs évènements élémentaires.
5. Probabilité  Soit un univers fini  lié à une expérience aléatoire.
A , on associe un nombre, noté
A tout événement
0 p  A1 .
p  A appelé probabilité de A tel que
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le
composent.
P() = 1.  est l'événement certain
b. Exemples:
On lance un dé truqué. Les probabilités d'apparition de chaque numéro sont regroupées dans le tableau
suivant :
Numéro
1
2
3
4
5
6
probabilité
0,2
0,18
0,16
0,18
0,16
0,12
Déterminer la probabilité des événements suivants :
A : « Obtenir un numéro pair »
(quelle relation pouvez-vous obtenir entre p  A et p  A
?)
B : « obtenir un numéro strictement supérieur à 3 »
C : « obtenir un numéro pair et 3 »
D : « obtenir le numéro 3 »
E : « obtenir un numéro pair ou le numéro 3 ».
6. Équiprobabilité  Cette situation correspond au cas où les évènements élémentaires de
l'univers ont tous la même probabilité.
Reprendre les questions de l'exercice précédent avec des probabilités identiques pour chaque face du
dé ( dé équilibré )
Théorème
 En situation d'équiprobabilité, si l'on appelle cardinal de  ( noté card(  ) ) le nombre
d'évènements élémentaires de l'univers, on a :
 La probabilité d'un événement élémentaire est :
 La probabilité d'un événement est :
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1
card  Ω
card  A
card  Ω
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Exemple :
Une roue de loterie est divisée en six secteurs égaux ayant
chacun la même probabilité de s'arrêter devant un repère.
2 secteurs sont jaunes ;
3 secterus sont rouges ;
1 secteur est bleu.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A: « Le secteur gagnant est rouge. »
B: « Le secteur gagant n'est pas bleu. »
C: Le secteur gagant est jaune ou bleu. »
p  A ∪B= p A p B − p  A ∩B
7. Propriétés  A et B deux évènements,
 A et B incompatibles ( ne peuvent pas se réaliser en même temps )
p  A ∪B= p A p B  ( p  A ∩B=0 )

p  A=1− p A (
A événement contraire )
III. Probabilités conditionnelles
1. Activité :
A l'épreuve pratique du permis de conduire, on a observé les résultats suivants sur un
échantillon de 503 candidats se présentant pour la première fois.
Candidats
Ayant pratiqué la
conduite accompagnée.
N'ayant pas pratiqué la
conduite accompagnée.
Tota
l
Ayant réussi à la
première présentation
68
205
273
Ayant échoué à la
première présentation
19
211
230
Total
87
416
503
On choisit au hasard un candidat dans cet échantillon.
On considère les événements C : « le candidat a pratiqué la conduite accompagnée »;
R : « le candidat a réussi à la première présentation ».
On donnera les résultats sous forme de fractions.
1.
Calculer les probabilités p C  , p  R et p C ∩R .
2.
Le candidat déclare qu'il a pratiqué la conduite accompagnée.
Déterminer la probabilité qu'il ait obtenu son permis à la première présentation. A quelle fréquence
conditionnelle correspond ce résultat ?
Remarquer que le quotient
p C ∩R
donne le même résultat.
p C 
3.
Le candidat déclare qu'il a obtenu son permis à la première présentation.
Déterminer la probabilité qu'il ait pratiqué la conduite accompagnée..
A quelle fréquence conditionnelle correspond ce résultat ?
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Remarquer que le quotient
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p C ∩R
donne le même résultat.
p R
Définition : A et B sont deux évènements avec
La probabilité sachant B de l'évènement A , notée
P B  A=
p  B≠0
P B  A , est définie par :
p  A∩B
p  B
C'est une nouvelle probabilité est dite probabilité conditionnelle de A sachant B.
Remarque : « Sachant B » signifie que l'événement B est réalisé.
Exercices :
1) Un institut de sondage a interrogé 800 personnes qui résudent soit en zone rurale R , soit en zone
urbaine U  . Ce sondage a lieu par téléphone T  ou par un entretien E . Le tableau ci-dessous
donne la répartition obtenue. On choisit une personne au hasard parmi les 800 personnes.
R
U
Total
T
150
330
480
E
50
270
320
Total
200
600
800
1.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
U: « La personne habite en zone urbaine. »
E: « La personne a été sondée par entretien. »
2.
Quelle est la probabilité pour qu'une personne habite en zone urbaine sachant qu'elle a été
sondée par entretien ?
3.
On choisit une personne habitant en zone urbaine. Quelle est la probabilité pour qu'elle ait été
sondée par téléphone ?
2) Un sondage réalisé parmi les élèves d'un lycée a montré que 40% d'entre eux pratiquent un sport et
30% sont fumeurs. En outre, 21% des élèves sont fumeurs et ne pratiquent pas de sport. On choisit un
élève au hasard.
1. Calculer la probabilité qu'il soit fumeur sachant qu'il pratique un sport.
2. Calculer la probabilité qu'il soit non fumeur sachant qu'il pratique un sport.
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