9 Probabilités - Mathématiques pour le Bac

9 Probabilités
9.1 Variable aléatoire
Définition : Soit El’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Eest muni d’une loi de proba-
bilité P. On définit une variable aléatoire Xsur Equand on associe à chaque issue de Eun nombre
réel. L’ensemble de ces réels est l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X.
Exemple : Lancer d’un dé cubique équilibré : E={1,2,3,4,5,6}.
On définit la variable aléatoire Xpar la règle suivante : on gagne 2 points si la face du dé porte un
nombre pair et 3 points lorsque c’est un multiple de 3, on perd 5 points dans les autres cas. La variable
aléatoire ainsi définie associe −5 à l’issue « 1 », 2 à l’issue « 2 », 3 à l’issue « 3 », 2 à l’issue « 4 », −5 à l’is-
sue « 5 » et 5 à l’issue « 6 ». L’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire Xest E′={−5,2,3,5}.
Remarque : Une variable aléatoire est une fonction de Edans Rpuisqu’à chaque issue on associe un réel
unique.
On aurait pu parler de « fonction aléatoire », mais c’est cependant l’expression variable aléatoire qui est
utilisée en probabilité.
De la même manière que l’on définit des événements composés de plusieurs issues de E(par exemple
l’événement « nombre pair » est composé de trois issues ou événements élémentaires de E:{2; 4; 6}), on
définit des événements liés à la variable aléatoire. L’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire
est noté E′={x1,x2,...,xp}(à distinguer de l’ensemble Edes issues de l’expérience aléatoire, puisque
chaque valeur xi∈E′de la variable aléatoire peut être associée à plusieurs issues, ou événements élé-
mentaires, de E.
Définition :•L’événement « X=xi» est l’ensemble des issues de Eauxquelles on associe le réel xi
•L’événement « X>xi» est l’ensemble des issues de Eauxquelles on associe un réel supérieur ou
égal à xi
Exemple : Dans l’exemple précédent, avec la variable aléatoire Xdéfinie, l’événement « X= 2 » est
constitué des issues « 2 » et « 4 » : c’est l’événement {2,4}de E; l’événement « X>2 » est constitué
de issues « 2 », « 3 », « 4 » et « 6 » : c’est l’événement {2,3,4,6}de E.
9.2 Probabilité d’un événement lié à une variable aléatoire
Définition : La probabilité de l’événement « X=xi» de la variable aléatoire Xest la probabilité
de l’événement formé de toutes les issues de Eauxquelles on associe le nombre xi.
Exemple : Dans l’exemple précédent, l’ensemble de valeurs prises par la variable aléatoire Xest E′=
{−5,2,3,5}et P(X=−5) = P({1,5}) = 2
6=1 3;P(X= 2) = P({2,4}) = 1 3;P(X= 3) = P({3}) = 1 6
et P(X= 5) = P({6}) = 1
6
Théorème : Soit Xune variable aléatoire définie sur Eet E′l’ensemble des valeurs prises par X.E
étant muni d’une loi de probabilité P,E′est également muni d’une loi de probabilité P(X=xi),
où xi∈E′.
Preuve : Pour tout xi∈E′, l’événement « X=xi» est constitué d’issues de Eet Eétant muni de la loi de probabilité P
on a bien 0 6P(X=xi)61.
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Maths 1s 9. Probabilités prog 2010
De plus les événements « X=x1», « X=x2», . . . , « X=xn» étant incompatibles deux à deux, car le réel associé à une
issue de Eest unique (deux événements « X=xi» et « X=xj» ne peuvent pas contenir la même issue lorsque i6=j) et
comme la variable Xassocie un réel xi∈E′à toute issue de E, on en déduit que : P(X=x1) + P(X=x2) + . . . +P(X=
xn) =
n
X
i=1
P(X=xi) = 1 ce qui prouve que la loi de probabilité Pde Eest aussi une loi de probabilité pour E′.
9.3 Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire
Si on connaît E′c’est-à-dire toutes les valeurs de la variable aléatoire et la probabilité de chacune de
ces valeurs, c’est-à-dire « sa fréquence probable de réalisation » lors de l’expérience aléatoire, on peut
calculer « la moyenne probable » de cette variable aléatoire.
En d’autres termes, la connaissance des xi∈E′et de leurs probabilités P(X=xi) est similaire à la
donnée des fréquences d’une série statistique :
X=xix1x2... xp
pi=P(X=xi)p1=P(X=x1)p2=P(X=x2) . . . pn=P(X=xn)
La « moyenne probable » de cette variable aléatoire s’appelle l’espérance mathématique de la variable
aléatoire. On définit de même la variance et l’écart-type de la variable aléatoire.
Définition : Pour une variable aléatoire Xprenant les valeurs x1,x2, ..., xnavec les probabilités
respectives pi=P(X=xi) :
•l’espérance de la variable aléatoire est le réel noté E(X) défini par :
E(X) = p1x1+p2x2+...+ppxp=
n
X
i=1
pixi
•la variance de la variable aléatoire est le réel noté V(X) défini par :
V(X) = p1(x1−E(X))2+p2(x2−E(X))2+...+pn(xn−E(X))2
=
n
X
i=1
pi(xi−E(X))2
•l’écart-type de la variable aléatoire est le réel noté σ(X) défini par :
σ(X) = »V(X)
Interprétation : L’espérance mathématique de la variable aléatoire Xest la valeur moyenne des valeurs
prises par Xsi on répète l’expérience aléatoire un très grande nombre de fois.
Remarque : Dans un jeu de hasard, l’espérance mathématique exprime l’espoir de gain du joueur ou,
inversement, de l’organisateur du jeu. Le jeu est équitable si l’espérance est nulle.
Théorème : Pour une variable aléatoire Xprenant les valeurs x1,x2, ..., xnavec les probabilités
respectives pi=P(X=xi) :
V(X) = n
X
i=1
pix2
i!−(E(X))2, que l’on écrit aussi : V(X) = E(X2)−E2(X)
Preuve : Par définition : V(X) =
n
X
i=1
pi(xi−E(X))2, alors
V(X) =
n
X
i=1
pix2
i−
n
X
i=1
2pixiE(X) +
n
X
i=1
pi(E(X))2=
n
X
i=1
pix2
i−2E(X)
n
X
i=1
pixi+ (E(X))2
n
X
i=1
pi
=
n
X
i=1
pix2
i−2E(X)×E(X) + (E(X))2=
n
X
i=1
pix2
i−(E(X))2=E(X2)−E2(X).
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Exemple : Dans l’exemple précédent la loi de probabilité de la variable aléatoire Xest :
xi−5 2 3 5
pi2/6 2/6 1/6 1/6
alors l’espérance de Xest :
E(X) = −5×2
6+ 2 ×2 6+ 3 ×1 6+ 5 ×1 6=2 6=1 3
la variance et l’écart-type sont :
V(X) = 2
6Å−5−1 3ã2
+2
6Å2−1 3ã2
+1
6Å3−1 3ã2
+1
6Å5−1 3ã2
=822
54 =137 9≈15,22 et σ(X) = √137 3≈3,9
et en utilisant le théorème sur la variance :
V(X) = 2
6×(−5)2+2 6×22+1 6×32+1 6×52−Å1 3ã2
=92
6−1 9=137 9
Remarque :E(X) = 1
3signifie que l’espérance de gain est 1 3ou encore que la moyenne des gains si le jeu
est répété un très grand nombre de fois est de 1
3.
Si on associe le gain −6 au lieu de −5 aux issues 1 et 5 on obtient une espérance mathématique égale à
0 :
E(X) = −6×2
6+ 2 ×2 6+ 3 ×1 6+ 5 ×1 6=0 6= 0
Théorème :Xétant une variable aléatoire, pour tous réels aet bon a :
E(aX +b) = aE(X) + bet V(aX +b) = a2V(X)
Preuve :E(aX +b) =
n
X
i=1
pi(axi+b) = aÇn
X
i=1
pixiå+bÇn
X
i=1
piå=aE(X) + b
V(aX +b) = E(aX +b)2−(E(aX +b))2=Ea2X2+ 2abX +b2−(aE(X) + b)2
=a2EX2+ 2abE(X) + b2−a2(E(X))2+ 2abE(X) + b2=a2EX2−a2E2(X) = a2V(X).
Conséquence :σ(aX +b) = |a|σ(X).
Exemple : Pour l’exemple précédent et la variable aléatoire X:E(X) = 1
3,V(X) = 137 9et σ(X) = √137 3.
Alors pour a= 3 et b= 15, la variable aléatoire Ydéfinie par Y=aX +b= 3X+ 15 on obtient :
E(Y) = 3 ×1
3+ 15 = 16 , V(Y) = 32×137 9= 137 et σ=√137.
9.4 Répétition d’une expérience aléatoire à deux ou trois issues
On peut modéliser une expérience aléatoire par un arbre pondéré. Les différentes issues sont représentées
aux extrémités des branches d’un arbre, la probabilité de chaque issue est inscrite sur la branche relative.
fig.1
pA
q
A
Expérience à deux issues Aet A:P(A) +
P(A) = p+q= 1
fig.2
pA
qB
r
C
Expérience à trois issues A,Bet C:P(A) +
P(B) + P(C) = p+q+r= 1
Définition : Deux expériences sont dites indépendantes si le résultat de l’une n’a aucune influence
sur le résultat de l’autre.
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Exemple :•Lancer plusieurs fois un dé constitue la répétition d’autant d’expériences identiques et indé-
pendantes.
•De même pour une pièce de monnaie lancée plusieurs fois.
•Dans une urne contenant des boules indiscernables au toucher on tire une boule au hasard. Si on tire
une seconde boule sans avoir remis la première ces deux expériences successives ne sont pas indépen-
dantes puisque le tirage de la seconde dépend du premier tirage. Si au contraire on remet chaque boule
après son tirage, alors les expériences sont identiques et indépendantes.
Propriété : Dans un arbre pondéré représentant la répétition d’expériences identiques et indépen-
dantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.
Exemple : Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher : 3 blanches et 2 noires. On tire une
boule et on note sa couleur avant de la remettre. Pour cette expérience expérience aléatoire, on note
p=P(B) = 3
5= 0,6 et q=P(N) = P(B) = 2 5= 0,4. On a bien p+q= 1.
La répétition de cette expérience peut-être schématisée par un arbre ayant, par exemple, trois niveaux
correspondant à trois tirages successifs avec remise. Alors l’événement « tirer une seule boule blanche »
est formé des trois issues BB B,BBB et B BB et sa probabilité est : P(BB B) +P(BBB)+P(B BB) =
3
5×2 5×2 5+2 5×3 5×2 5+2 5×2 5×3 5= 3 ×12 125 =36 125
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