9 Probabilités - Mathématiques pour le Bac

9 Probabilités
9.1 Variable aléatoire
Définition : Soit E l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. E est muni d’une loi de probabilité P . On définit une variable aléatoire X sur E quand on associe à chaque issue de E un nombre
réel. L’ensemble de ces réels est l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X.
Exemple : Lancer d’un dé cubique équilibré : E = {1,2,3,4,5,6}.
On définit la variable aléatoire X par la règle suivante : on gagne 2 points si la face du dé porte un
nombre pair et 3 points lorsque c’est un multiple de 3, on perd 5 points dans les autres cas. La variable
aléatoire ainsi définie associe −5 à l’issue « 1 », 2 à l’issue « 2 », 3 à l’issue « 3 », 2 à l’issue « 4 », −5 à l’issue « 5 » et 5 à l’issue « 6 ». L’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X est E ′ = {−5,2,3,5}.
Remarque : Une variable aléatoire est une fonction de E dans R puisqu’à chaque issue on associe un réel
unique.
On aurait pu parler de « fonction aléatoire », mais c’est cependant l’expression variable aléatoire qui est
utilisée en probabilité.
De la même manière que l’on définit des événements composés de plusieurs issues de E (par exemple
l’événement « nombre pair » est composé de trois issues ou événements élémentaires de E : {2; 4; 6}), on
définit des événements liés à la variable aléatoire. L’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire
est noté E ′ = {x1 ,x2 , . . . ,xp } (à distinguer de l’ensemble E des issues de l’expérience aléatoire, puisque
chaque valeur xi ∈ E ′ de la variable aléatoire peut être associée à plusieurs issues, ou événements élémentaires, de E.
Définition : • L’événement « X = xi » est l’ensemble des issues de E auxquelles on associe le réel xi
• L’événement « X > xi » est l’ensemble des issues de E auxquelles on associe un réel supérieur ou
égal à xi
Exemple : Dans l’exemple précédent, avec la variable aléatoire X définie, l’événement « X = 2 » est
constitué des issues « 2 » et « 4 » : c’est l’événement {2,4} de E ; l’événement « X > 2 » est constitué
de issues « 2 », « 3 », « 4 » et « 6 » : c’est l’événement {2,3,4,6} de E.
9.2 Probabilité d’un événement lié à une variable aléatoire
Définition : La probabilité de l’événement « X = xi » de la variable aléatoire X est la probabilité
de l’événement formé de toutes les issues de E auxquelles on associe le nombre xi .
Exemple : Dans l’exemple précédent, l’ensemble de valeurs prises par la variable aléatoire X est E ′ =
1
1
1
2
{−5,2,3,5} et P (X = −5) = P ({1,5}) = = ; P (X = 2) = P ({2,4}) = ; P (X = 3) = P ({3}) =
6
3
3
6
1
et P (X = 5) = P ({6}) =
6
Théorème : Soit X une variable aléatoire définie sur E et E ′ l’ensemble des valeurs prises par X. E
étant muni d’une loi de probabilité P , E ′ est également muni d’une loi de probabilité P (X = xi ),
où xi ∈ E ′ .
Preuve : Pour tout xi ∈ E ′ , l’événement « X = xi » est constitué d’issues de E et E étant muni de la loi de probabilité P
on a bien 0 6 P (X = xi ) 6 1.
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De plus les événements « X = x1 », « X = x2 », . . . , « X = xn » étant incompatibles deux à deux, car le réel associé à une
issue de E est unique (deux événements « X = xi » et « X = xj » ne peuvent pas contenir la même issue lorsque i 6= j) et
comme la variable X associe un réel xi ∈ E ′ à toute issue de E, on en déduit que : P (X = x1 ) + P (X = x2 ) + . . . + P (X =
xn ) =
n
X
P (X = xi ) = 1 ce qui prouve que la loi de probabilité P de E est aussi une loi de probabilité pour E ′ . i=1
9.3 Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire
Si on connaît E ′ c’est-à-dire toutes les valeurs de la variable aléatoire et la probabilité de chacune de
ces valeurs, c’est-à-dire « sa fréquence probable de réalisation » lors de l’expérience aléatoire, on peut
calculer « la moyenne probable » de cette variable aléatoire.
En d’autres termes, la connaissance des xi ∈ E ′ et de leurs probabilités P (X = xi ) est similaire à la
donnée des fréquences d’une série statistique :
X = xi
pi = P (X = xi )
x1
p1 = P (X = x1 )
x2
p2 = P (X = x2 )
...
...
xp
pn = P (X = xn )
La « moyenne probable » de cette variable aléatoire s’appelle l’espérance mathématique de la variable
aléatoire. On définit de même la variance et l’écart-type de la variable aléatoire.
Définition : Pour une variable aléatoire X prenant les valeurs x1 , x2 , . . . , xn avec les probabilités
respectives pi = P (X = xi ) :
• l’espérance de la variable aléatoire est le réel noté E(X) défini par :
E(X) = p1 x1 + p2 x2 + . . . + pp xp =
n
X
pi xi
i=1
• la variance de la variable aléatoire est le réel noté V (X) défini par :
V (X) =
=
p1 (x1 − E(X))2 + p2 (x2 − E(X))2 + . . . + pn (xn − E(X))2
n
X
pi (xi − E(X))2
i=1
• l’écart-type de la variable aléatoire est le réel noté σ(X) défini par :
»
σ(X) = V (X)
Interprétation : L’espérance mathématique de la variable aléatoire X est la valeur moyenne des valeurs
prises par X si on répète l’expérience aléatoire un très grande nombre de fois.
Remarque : Dans un jeu de hasard, l’espérance mathématique exprime l’espoir de gain du joueur ou,
inversement, de l’organisateur du jeu. Le jeu est équitable si l’espérance est nulle.
Théorème : Pour une variable aléatoire X prenant les valeurs x1 , x2 , . . . , xn avec les probabilités
respectives pi = P (X = xi ) :
!
n
X
2
2
V (X) =
pi xi − (E(X)) , que l’on écrit aussi : V (X) = E(X 2 ) − E 2 (X)
i=1
Preuve : Par définition : V (X) =
n
X
pi (xi − E(X))2 , alors
i=1
n
n
V (X)
=
X
i=1
n
=
X
i=1
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pi x2i −
X
i=1
2pi xi E(X) +
n
X
pi (E(X))2 =
i=1
pi x2i − 2E(X) × E(X) + (E(X))2 =
n
X
n
X
i=1
pi x2i − 2E(X)
n
X
pi xi + (E(X))2
i=1
n
X
pi
i=1
pi x2i − (E(X))2 = E(X 2 ) − E 2 (X) . i=1
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Exemple : Dans l’exemple précédent la loi de probabilité de la variable aléatoire X est :
xi
pi
−5
2/6
2
2/6
3
1/6
5
1/6
alors l’espérance de X est :
E(X) = −5 ×
2
2
1
1
2
1
+2× +3× +5× = =
6
6
6
6
6
3
la variance et l’écart-type sont :
√
Å
ã
Å
ã
Å
ã
Å
ã
137
2
822
137
1 2 2
1 2 1
1 2 1
1 2
V (X) =
+
+
+
=
=
≈ 15,22 et σ(X) =
≈ 3,9
−5 −
2−
3−
5−
6
3
6
3
6
3
6
3
54
9
3
et en utilisant le théorème sur la variance :
V (X) =
2
1
1
2
× (−5)2 + × 22 + × 32 + × 52 −
6
6
6
6
Å ã2
1
92 1
137
=
− =
3
6
9
9
1
1
signifie que l’espérance de gain est ou encore que la moyenne des gains si le jeu
3
3
1
est répété un très grand nombre de fois est de .
3
Si on associe le gain −6 au lieu de −5 aux issues 1 et 5 on obtient une espérance mathématique égale à
0:
2
2
1
1
0
E(X) = −6 × + 2 × + 3 × + 5 × = = 0
6
6
6
6
6
Remarque : E(X) =
Théorème : X étant une variable aléatoire, pour tous réels a et b on a :
E(aX + b) = aE(X) + b et V (aX + b) = a2 V (X)
Preuve : E(aX + b) =
n
X
pi (axi + b) = a
i=1
V (aX + b)
=
=
Ç
n
X
i=1
p i xi
å
+b
Ç
n
X
i=1
pi
å
= aE(X) + b
E (aX + b)2 − (E(aX + b))2 = E a2 X 2 + 2abX + b2 − (aE(X) + b)2
a2 E X
2
+ 2abE(X) + b2 − a2 (E(X))2 + 2abE(X) + b2 = a2 E X 2 − a2 E 2 (X) = a2 V (X) . Conséquence : σ(aX + b) = |a| σ(X).
√
137
1
137
et σ(X) =
.
Exemple : Pour l’exemple précédent et la variable aléatoire X : E(X) = , V (X) =
3
9
3
Alors pour a = 3 et b = 15, la variable aléatoire Y définie par Y = aX + b = 3X + 15 on obtient :
E(Y ) = 3 ×
√
1
137
+ 15 = 16 , V (Y ) = 32 ×
= 137 et σ = 137.
3
9
9.4 Répétition d’une expérience aléatoire à deux ou trois issues
On peut modéliser une expérience aléatoire par un arbre pondéré. Les différentes issues sont représentées
aux extrémités des branches d’un arbre, la probabilité de chaque issue est inscrite sur la branche relative.
p
A
p
fig.1
fig.2
q
q
A
B
r
C
A
Expérience à deux issues A et A : P (A) +
P (A) = p + q = 1
Expérience à trois issues A, B et C : P (A) +
P (B) + P (C) = p + q + r = 1
Définition : Deux expériences sont dites indépendantes si le résultat de l’une n’a aucune influence
sur le résultat de l’autre.
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Exemple : • Lancer plusieurs fois un dé constitue la répétition d’autant d’expériences identiques et indépendantes.
• De même pour une pièce de monnaie lancée plusieurs fois.
• Dans une urne contenant des boules indiscernables au toucher on tire une boule au hasard. Si on tire
une seconde boule sans avoir remis la première ces deux expériences successives ne sont pas indépendantes puisque le tirage de la seconde dépend du premier tirage. Si au contraire on remet chaque boule
après son tirage, alors les expériences sont identiques et indépendantes.
Propriété : Dans un arbre pondéré représentant la répétition d’expériences identiques et indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.
Exemple : Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher : 3 blanches et 2 noires. On tire une
boule et on note sa couleur avant de la remettre. Pour cette expérience expérience aléatoire, on note
3
2
p = P (B) = = 0,6 et q = P (N ) = P (B) = = 0,4. On a bien p + q = 1.
5
5
La répétition de cette expérience peut-être schématisée par un arbre ayant, par exemple, trois niveaux
correspondant à trois tirages successifs avec remise. Alors l’événement « tirer une seule boule blanche »
est formé des trois issues BB B, BBB et B BB et sa probabilité est : P (BB B) + P (BBB) + P (B BB) =
3 2 2 2 3 2 2 2 3
12
36
× × + × × + × × =3×
=
5 5 5 5 5 5 5 5 5
125
125
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