Fibr\`es principaux sur les corps valu\`es hens\`eliens

arXiv:1309.6430v3 [math.AG] 23 Jul 2014
Fibr´es principaux sur les corps valu´es
hens´eliens
Ofer Gabber∗
Philippe Gille† ‡
Laurent Moret-Bailly§
Accept´e pour publication dans Algebraic Geometry le 4 juin 2014.
R´esum´e. Soit Kle corps des fractions d’un anneau de valuation hens´elien A.
On suppose que le compl´et´e b Kest une extension s´eparable de K. Soient Yune
K-vari´et´e, Gun K-groupe alg´ebrique et f:X→Yun G-torseur au-dessus
de Y. On consid`ere l’application induite X(K)→Y(K), continue pour les
topologies d´eduites de la valuation. Si Id´esigne son image, nous montrons que
Iest localement ferm´ee dans Y(K) ; de plus la surjection induite X(K)→I
est un fibr´e principal sous le groupe topologique G(K).
Abstract: Let Kbe the fraction field of a henselian valuation ring A. As-
sume that the completion b Kis a separable extension of K. Let Ybe a
K-variety, Gan algebraic group over K, and f:X→YaG-torsor over Y.
We consider the induced map X(K)→Y(K), which is continuous for the
topologies deduced from the valuation. If Idenotes the image of this map,
we prove that Iis locally closed in Y(K); moreover, the induced surjection
X(K)→Iis a principal bundle with group G(K) (also topologized by the
valuation).
∗C.N.R.S. et I.H.´
E.S., Le Bois-Marie, 35 route de Chartres, F-91440 Bures sur Yvette.
gabb[email protected]
†UMR 5208 du CNRS - Institut Camille Jordan - Universit´e Claude Bernard Lyon 1,
43 boulevard du 11 novembre 1918, F-69622 Villeurbanne cedex. [email protected]
‡L’auteur a b´en´efici´e du soutien du projet ANR Gatho, ANR-12-BS01-0005.
§IRMAR, Universit´e de Rennes 1, Campus de Beaulieu, F-35042 Rennes Cedex.
[e-mail]
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Keywords: Local fields, valuation fields, algebraic groups, homogeneous
spaces, torsors, compactifications.
MSC: 20G25, 14L30, 11D88.
Table des mati`eres
0 Introduction 3
0.1 Notations ............................. 3
0.3 Plan de la d´emonstration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.4 Application aux espaces homog`enes. . . . . . . . . . . . . . . 5
0.5 Application aux orbites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.6 Plan de l’article. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.7 Conventions ............................ 7
1 Actions de groupes alg´ebriques : rappels et compl´ements 8
1.1 Orbites dans un espace alg´ebrique `a groupe d’op´erateurs . . . 8
1.2 Quotient par une action libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Produit contract´e d’un torseur et d’un espace `a op´erateurs . . 12
1.4 Le plus grand sous-groupe lisse d’un groupe alg´ebrique . . . . 13
1.5 Compactifications partielles dans les sch´emas de Hilbert ponc-
tuels................................ 16
2 Corps topologiquement hens´eliens ; le cas des torseurs sous
un groupe lisse 19
2.1 Vari´et´es sur un corps topologique ; corps topologiquement hen-
s´eliens............................... 19
2.2 Extension aux espaces alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Corps valu´es hens´eliens : utilisation de mod`eles entiers . . . . 25
2.4 Torseurs sous un groupe lisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Corps valu´es hens´eliens : approximation faible et applications . 30
3 Corps valu´es admissibles ; le cas d’un groupe Gtel que G◦
red
soit lisse 34
3.1 Corps valu´es admissibles : g´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Le th´eor`eme d’approximation fort ; applications . . . . . . . . 35
3.3 Groupes Gtels que G◦
red soit lisse . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2

4 Un th´eor`eme de compactification 40
4.3 D´emonstration du th´eor`eme 4.2 : d´evissage . . . . . . . . . . . 41
4.4 D´emonstration du th´eor`eme 4.2 : construction et fin . . . . . . 44
5 D´emonstration du th´eor`eme 0.2 46
6 Exemples et compl´ements 48
6.1 Un exemple d’orbite topologique non ferm´ee . . . . . . . . . . 48
6.2 Contre-exemples sur un corps valu´e hens´elien non admissible . 49
6.3 Espaces non localement s´epar´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.4 Cas d’un sch´ema en groupes non constant . . . . . . . . . . . 53
0 Introduction
0.1 Notations
Soit Kle corps des fractions d’un anneau de valuation A; on notera vla
valuation associ´ee et Γ son groupe. La donn´ee de vd´etermine une structure
de corps topologique s´epar´e sur K; nous supposerons toujours qu’il n’est pas
discret, c’est-`a-dire que Γ 6= 0. On notera b Kle compl´et´e de K.
Dans cette introduction, nous supposerons (K, v)admissible, au sens sui-
vant :
0.1.1 D´efinition. – Avec les notations ci-dessus, on dit que (K, v)(ou A)
est admissible si Aest hens´elien et si l’extension b K/K est s´eparable.
Pour toute K-vari´et´e (c’est-`a-dire tout K-sch´ema de type fini) X, on
note Xtop l’ensemble X(K) muni de la topologie d´eduite de la topologie de
K. Tout K-morphisme f:X→Yde K-vari´et´es induit une application
continue ftop :Xtop →Ytop.
Nous nous int´eressons dans cet article au cas o`u un K-groupe alg´ebrique
Gagit `a droite sur Xet o`u f:X→Yest un G-torseur pour cette action.
Noter qu’alors le groupe topologique Gtop agit librement et continˆument sur
Xtop et que l’on a une bijection continue ftop :Xtop/G(K)−→ I:= Im(ftop).
L’objet de ce travail est l’´etude topologique des applications ftop et ftop.
Il est en fait naturel (et `a certains ´egards plus simple) de consid´erer la
situation plus g´en´erale o`u Xet Ysont des espaces alg´ebriques de type fini (et
3

quasi-s´epar´es) sur K, que nous appellerons dor´enavant ≪K-espaces ≫. Tout
d’abord, un G-torseur sur une K-vari´et´e Y— d´efini, comme il se doit, comme
faisceau fppf sur Y— n’est pas n´ecessairement un sch´ema (en-dehors du cas
important o`u Gest affine), alors que c’est automatiquement un K-espace,
selon un th´eor`eme d’Artin ; `a partir de l`a, il devient ´egalement judicieux
d’envisager des G-torseurs X→Yo`u Xet Ysont des K-espaces, afin de
travailler dans une cat´egorie stable par les op´erations usuelles, produits fibr´es
notamment.
D’autre part, si un K-groupe alg´ebrique Gop`ere librement `a droite sur
une K-vari´et´e X, le faisceau fppf quotient X/G est toujours un K-espace
(voir 1.2) mais, de nouveau, n’est pas n´ecessairement une K-vari´et´e.
Ces consid´erations nous ont conduits `a formuler syst´ematiquement nos
r´esultats dans le cadre des K-espaces ; si le plan g´en´eral des d´emonstrations
n’en est pas affect´e, il nous a fallu revenir sur des r´esultats bien connus pour
les sch´emas mais dont l’extension aux espaces alg´ebriques n’est pas suffisam-
ment document´ee : voir par exemple 2.2 pour la d´efinition et les propri´et´es de
Xtop lorsque Xest un K-espace. (En ce qui concerne G, rappelons qu’un es-
pace alg´ebrique en groupes quasi-s´epar´e de type fini sur un corps est toujours
un sch´ema [Art69, Lemma 4.2]).
Notre r´esultat principal est le suivant :
0.2 Th´eor`eme. – Soient (K, v)un corps valu´e admissible, Gun K-groupe
alg´ebrique (c’est-`a-dire un K-sch´ema en groupes de type fini),Yun K-
espace, f:X→Yun G-torseur au-dessus de Y. D´efinissons ftop :Xtop →
Ytop et ftop :Xtop/G(K)−→ I:= Im(ftop)comme ci-dessus. Alors :
(1) en tant que sous-espace de Ytop,Iest :
(a) localement ferm´e (dans tous les cas) ;
(b) ouvert et ferm´e si Gest lisse ou si Kest parfait ;
(c) ferm´e si Gsatisfait la condition (∗) (voir 1.4.3), et en particulier si G◦
red
est lisse, ou si G◦est commutatif, ou si Gest de rang r´eductif nul (i.e.
si GKn’a pas de sous-tore non trivial) ;
(2) L’application ftop est ouverte sur son image I; en particulier, la bijection
ftop est un hom´eomorphisme.
(3) Si Yest localement s´epar´e (par exemple une vari´et´e, cf. 0.7), alors ftop
fait de Xtop un Gtop-fibr´e principal au-dessus de I.
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0.3 Plan de la d´emonstration.
Pour ne pas alourdir l’introduction, nous supposons ici que Yest locale-
ment s´epar´e, par exemple une K-vari´et´e.
Le cas, sans doute bien connu, o`u le groupe Gest lisse est trait´e au §2.
Dans le cas g´en´eral, on note G♮le plus grand K-sous-groupe lisse de G(§1.4).
On d´ecompose alors le G-torseur f:X→Yen
X
f
''
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π
Z:= X/G♮h//Y.
Le morphisme πest un G♮-torseur et h:Z→Yest une ≪fibration en G/G♮≫.
Les propri´et´es de G♮impliquent que l’application hK:Z(K)→Y(K) est
injective. D’un point de vue topologique, on a donc le diagramme
Xtop
ftop
&&
▼
▼
▼
▼
▼
▼
▼
▼
▼
▼
▼
πtop
Ztop htop //Ytop.
D’apr`es le cas lisse (§2.4), πtop fait de Xtop un G♮
top-fibr´e principal sur l’image
de πtop, qui est ouverte et ferm´ee dans Ztop.
L’application htop est nettement plus d´elicate `a analyser. Les deux outils
cl´es pour cette ´etude sont :
– le th´eor`eme d’approximation de Greenberg (g´en´eralis´e aux corps valu´es
admissibles dans [MB12b]) ;
– la ≪bonne compactification ≫(§4) de G/G♮, et la compactification
relative de hqui s’en d´eduit.
On montre ainsi que htop est un hom´eomorphisme sur son image, et que
celle-ci s’´ecrit F1rF2pour des ferm´es remarquables F1,F2de Ytop (lemme
5.1).
0.4 Application aux espaces homog`enes.
Un cas particulier important est celui o`u X=Hest un K-groupe alg´e-
brique contenant Gcomme sous-groupe, et o`u f:H→Y:= H/G est le
morphisme de passage au quotient. L’image Iest alors l’orbite sous H(K)
5