DEA Méthodes Algébriques (2005

DEA M´ethodes Alg´ebriques (2005-2006)
cours de Laszlo ‘G´eom´etrie alg´ebrique’
Feuille de TD 3
1) Application de l’image sh´ematique. Soit π:X→Sun morphisme des sch´emas. Soit K
un corps et Run anneau de valuation dans K(voir Hartshorn, Algebraic geometry pour la
definition d’un anneau de valuation). Consid´erons un diagramme commutatif
Spec K→X
↓ ↓ π
Spec Rα →S
(1)
Montrer les crit`eres valuatifs suivants.
•π:X→Sest separ´e ssi il existe au plus un morphisme Spec R→Xqui compl`ete (1) en
un diagramme commutatif.
•π:X→Sest propre ssi il existe un et un seul morphisme Spec R→Xqui compl`ete (1)
en un diagramme commutatif.
2) Montrer que la propri´et´e d’un morphisme f:X→Ydes sch´emas d’ˆetre affine (s´epar´e,
fini, propre, de type fini, une immersion ouverte, une immersion ferm´e) est preserv´e par un
changement de base.
Diviseurs
La partie th´eorique sur les diviseurs et morphismes projectifs, qui n’est pas dans le poly du
cours, est `a regarder dans ([1], chapitre 2, 2.6 et 2.7). On note Cl(X) le groupe des classes
des diviseurs de Weil d’un sch´ema X(quand il est defini), CaCl(X) le groupe des classes des
diviseurs de Cartier de X.
1) Soit kun corps et Y⊂P2
kune conique (sous-sch´ema ferm´e donn´e par une ´equation homog`ene
de degr´e 2), qui admet un k-point. Si Yest lisse alors Yf→P1
k.
2) Soit S=⊕d≥0Sdun anneau gradu´e avec S0=A. Soit Mun A-module et F=˜ Mle
faisceau quasi-coh´erent associ´e sur Spec A. Soit f: Proj S→Spec Ala projection. Montrer que
˜
Nf→f∗F, o`u N=⊕
d≥0Sd⊗AMest le S-module gradu´e correspondant.
3) Lemme de Chow. Soit Xun sch´ema propre sur un sch´ema noetherien S. On suppose X
irr´eductible. Alors, il existe un morphisme g:X0→Xtel que X0est projectif sur Set il existe
un ouvert dense U⊂Xtel que g:g−1(U)→Uest un isomorphisme.
4) Soit f:X→Yun morphisme dominant de type fini, Xet Ydes sch´emas entiers, on suppose
Xnormal (pour simplifier, on peut s’en passer). On suppose que f−1(η) est un ensemble fini,
1

o`u ηest le point g´en´erique de Y. Alors, il existe un ouvert U⊂Ytel que f−1(U)f →Uest un
morphisme fini.
5) Soit Sun sch´ema noetherien et Eun OS-module localement libre de rang n. Soit π:P(E)→S
la projection.
a) Construire un isomorphisme gradu´e de OS-alg`ebres Sym Ef→ ⊕d≥0π∗O(d).
b) Montrer que pour un morphisme donn´e Yg →S, HomS(Y, P(E)) est un bijection avec les
classes d’isomorphisme des couples (L, h), o`u Lest un OY-module inversible et h:g∗E→ L est
une surjection.
6) Th´eor`eme de Bezout dans le plan. Soient D1, D2des diviseurs effectifs dans P2
ksans com-
posante commune. Montrer que D1∩D2est de longeur finie ´egale aux d1d2, o`u di= deg Di.
7) Soit Xun sch´ema propre sur un corps k,Dun diviseur de Cartier effectif sur X. Alors,
O(D)f→ O ssi D= 0.
8) Soit f:Z→West un morphisme dominant des S-sch´emas, Zpropre sur S,Ws´epar´e et de
type fini sur S,Snoetherien. Alors, f(Z) = W,fest propre et West propre sur S.
9) L’immersion ouverte (ferm´ee) est s´epar´ee. Le compos´e de deux morphismes s´epar´es est s´epar´e.
Le compos´e de deux morphismes propres est propre.
10) Soit Xun schema qui satisfait `a
(*) noetherien, s´epar´e, entier et r´egulier en codimension 1.
Alors, X×A1satisfait `a (*) et Cl(X)f→Cl(X×A1).
11) Soit S=⊕d≥0Sdet T=⊕d≥0Tddeux anneaux gradu´es avec S0=T0=A. On note
S×AT=⊕d≥0Sd⊗ATd,
c’est un anneau gradu´e. Pour X= Proj Set Y= Proj Tconstruire un isomorphisme
Proj(S×AT)f→X×Spec AY
Montrer que O(1) s’identifie `a p∗
1OX(1) ⊗p∗ 2OY(1) pour les deux projection pi.
12) Soit Xun sch´ema r´egulier; noetherien, s´epar´e et entier. Soit Eun OX-module localement
libre de rang n+ 1. On note P(E) = Proj(S) avec S=⊕d≥0Symd(E) l’alg`ebre symmetrique de
E. Construire un isomorphisme Pic(P(E)) f→Pic X×Z.
13) Soit E, E0deux faisceaux localement libre de rang n+ 1 sur un schema Xet n≥1. On
suppose que P(E)f→P(E0) sur X. Montrer qu’il existe un OX-module inversible Atel que
Ef→E0⊗ A.
14) Si f∈k[x1, . . . , xn] ne contient pas de carr´es, alors A=k[x1, . . . , xn, z]/(z2−f) est normal.
15) Soit A=k[x, y, z]/(xy −z2) et X= Spec Ale cone quadratique (kest un corps). Montrer
que Cl(X)f→Z/2Zet CaCl(X) = 0.
2

16) Soit Xun sch´ema qui satisfait `a (*) (exo 10). Soit Z⊂Xun ferm´e et U=X−Z. Alors,
on a une surjection Cl(X)→Cl(U). Si codim(Z, X)≥2, alors c’est un isomorphisme. Si Z
est irreductible de codimension 1 alors on a une suite exacte Z→Cl(X)→Cl(U)→0, o`u la
premiere fl`eche envoit 1 sur Z.
17) Soit Xune courbe lisse projective connexe sur un corps k. Montrer que Xf→P1
kssi ils
existent deux point distincts p, q ∈X(k) tel que pet qsont lin´eairement equivalent.
18) Soit X⊂P2
kla cubique y2z=x3−xz2, o`u P2 k= Proj k[x, y, z] et kest un corps alg´ebriquement
clˆos. Soit Cl0(X) le noyeau de deg : Cl(X)→Z. Montrer qu’on a une bijection X(k)f→Cl0(X).
19) Soit kun corps alg´ebriquement clˆos de charact´eristique 6= 2. Soit X⊂P2
kla courbe y2z=x3.
Soit p= (0,0,1) son (seul) k-point singulier. Construire une bijection X(k)−pf→CaCl0(X),
o`u CaCl0(X) est le noyeau de deg : CaCl(X)→Z.
20) Soit Qla quadrique xy =zw dans P3
k. Montrer que Cl(Q)f→Z⊕Z. Soit C⊂Qla cubique
tordue x=t3, y =u3, z =t2u, w =tu2. Montrer qu’il n’existe pas d’hypersurface M⊂P3
kne
contenant pas Qtel que M∩Q=C.
21) Soit Aun anneau, Mun A-module de pr´esentation finie, Nun A-module et Lun A-module
plat. Alors, HomA(M, N ⊗L)f→Hom(M, N )⊗AL. En d´eduire que pour X= Spec Aet deux
A-modules M, N on a HomA(M, N )
˜f→ HomOX(˜
M, ˜ N). Ici ˜ est une notation pour le faisceau
quasi-coh´erent associ´e `a un module.
22 a) Xun sch´ema noetherien, Fun OX-module coh´erent. Montrer que la fonction
φ(x) = dimk(x)Fx⊗Oxk(x)
est semi-continue. C¸ a veut dire que pour tout n∈Zl’ensemble {x∈X|φ(x)≥n}est ferm´e
dans X. Montrer que {x∈X|la tige Fxest un OX−module libre}est un ouvert de X.
b) Si Xest connexe et Flocalement libre alors φest constante. Si Xest r´eduit et φest
constante alors Fest localement libre.
c) Aest un anneau noetherien, Mun A-module de type fini. Alors ˜ Mest localement libre
sur Spec Assi Mest un A-module projectif.
References
[1] R. Hartshorne, Algebraic geometry (graduate Texts in Math. 52), Springer (1977)
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