MORPHISMES ENTRE ENSEMBLES ALGÉBRIQUES AFFINES ET

MHT 833 2010-2011 T.D.2: MORPHISMES ENTRE ENSEMBLES ALG´ EBRIQUES
AFFINES ET APPLICATIONS RATIONNELLES
Comme toujours, kd´esigne un corps alg´ebriquement clos.
Exercice 1: Soit f:V→Wun morphisme d’ensembles alg´ebriques affines. Montrer que f:V→W
induit un isomorphisme sur un sous-ensemble alg´ebrique f(W)⊂Wsi et seulement si le morphisme
de k-alg`ebres:
− ◦ f:k[W]→k[V]
est surjectif.
Exercice 2: Soit f, g :V→Wdeux morphismes d’ensembles alg´ebriques affines. Montrer que
l’ensemble:
{x∈V|f(x) = g(x)}
est un sous-ensemble alg´ebrique de V.
Exercice 3:
(1) On suppose que kest de caract´eristique p > 0. Montrer que le morphisme de Frobenius
φ:A1
k→A1 k,t7→ tpest un hom´eomorphisme mais pas un isomorphisme.
(2) Dans chacun des cas suivants, montrer que le morphisme φ:A1
k→An ka pour image un sous-
ensemble alg´ebrique ferm´e irr´eductible Vφ⊂An
k, pour lequel on d´eterminera I(Vφ). Montrer
que φ:A1
k→An kinduit un hom´eomorphisme φ:A1 k→Vφmais pas un isomorphisme. Montrer
par contre que φ:A1
k→Vφest birationnelle. Donnez l’inverse de φ:A1 k→Vφet son domaine
de d´efinition.
(a) φ:A1
k→A2
k,t7→ (t2, t3);
(b) (D.S. 2007-2008) φ:A1
k→A3 k,t7→ (t2, t2(t2−1), t3).
Exercice 4:
(1) Soit Vun ensemble alg´ebrique affine. Montrer que pour tout f∈k[V], l’ensemble:
D(f) := {x∈V|f(x)6= 0}
est un ensemble alg´ebrique affine, que l’inclusion D(f)֒→Vest un morphisme d’ensembles
alg´ebriques affines correspondant au morphisme de localisation:
k[V]→K[V]f.
GLn(k) est-il un ensemble alg´ebrique affine?
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(2) On consi`ere U:= A2
k\ {(0,0)}. Montrer que l’anneau des fonctions f∈k(X, Y ) r´eguli`eres sur
A2
k\ {(0,0)}est k[X, Y ] et en d´eduire que U⊂A2
kn’est pas un ensemble alg´ebrique affine.
Exercice 5:
(1) Soit Aun anneau commutatif unitaire et S⊂Aun sous-ensemble multiplicatif. D´ecrire les
id´eaux, les id´eaux premiers et les id´eaux maximaux de S−1Aen fonction de ceux de A
(2) Soit Vun ensemble alg´ebrique affine.
(a) Montrer que pour tout x∈V(correspondant `a un id´eal maximal Pxde k[V]), l’anneau
K[V]Pxest int`egre si et seulement si il ne passe qu’une seule composante irr´eductible par x.
(b) En d´eduire que si Vest connexe et si pour tout x∈V, l’anneau K[V]Pxest int`egre alors
Vest irr´eductible.