Travaux Dirigés de Mathématiques pour l`Assurance

Travaux Dirigés de Mathématiques pour l’Assurance
Assurance-Vie
Exercice 1 – On suppose que les probabilités de survie d’une tête d’âge actuel 60 ans est à 63
ans 3 p60 = 0, 932 et 5 p60 = 0, 879 à 65 ans.
1. Quelle est la probabilité pour qu’une tête de 63 ans survive à 65 ans ?
Si une personne doit décéder entre 60 et 65 ans, quelle est la probabilité pour qu’elle meure
avant 63 ans ?
2. On observe 24 personnes âgées de 60 ans. Quelle est l’espérance mathématique du nombre
de décès qui doivent intervenir entre 60 et 65 ans ?
Calculer les probabilités pour que dans le groupe interviennent 0, 1, 2, 3 ou 4 décès entre
60 et 65 ans ? Quel est le nombre le plus vraisemblable ?
Exercice 2 – On suppose que t px = eax +bx t pour tout t dans [0, τ ], avec ax et bx des paramètres
ne dépendant que de x.
1. Vérifier que pour avoir 0 px = 1 et pour vérifier l’identité
ax = 0 et bx = b, une constante.
t+t′ px
= t px
t′ px+t ,
il faut que
2. Dans ces conditions, quelle est une forme possible de ℓx ?
3. La distribution de la durée de vie Tx est d’après ce qui précède indépendante de x.
Montrer que l’espérance mathématique de Tx est égale à −1/b.
Exercice 3 – Une loi de survie est caractérisée par un âge maximum ω et par un taux instantané
de mortalité : µx = k/(ω − x) où k est un réel positif.
1. Montrer qu’une forme possible des nombres probables de vivants est : ℓx = (ω − x)k .
◦
2. Quelle est, en fonction de k, de x et de ω, la valeur de ex ?
Exercice 4 – On suppose que : t px = [S(x)]t , où 0 < S(x) < 1.
1. Vérifier que, si on veut que l’identité :
égal à une constante S.
t+t′ px
=t px t′ px+t soit vérifiée, il faut que S(x) soit
2. On suppose que si une tête décède entre les âges x + k et x + k + 1, son âge au décès
est en moyenne x + k + 1/2. Dans ces conditions, quelle est l’espérance mathématique
approximative de la durée de vie Tx ?
Exercice 5 – Dans certaine situation, le risque de décès est “aggravé”, ce qui se traduit par une
augmentation proportionnelle du taux instantané de mortalité, soit :
µ∗x = µx · (1 + α)
µ∗x etant le taux instantané de mortalité à l’âge x au risque “aggravé” et µx le taux standard,
sans risque “aggravé”.
1. Etablir une relation entre la probabilité de survie t p∗x relative au risque “aggravé” et la
probabilité t px relative à un risque normal.
1
2. Si la loi de survie ordinaire est une loi de Gompertz, de la forme ℓx = k · g (c ) , montrer
qu’on peut représenter la loi de survie aggravé, en vieillissant simplement d’un nombre
d’année δ un individu d’âge x, c’est-à-dire en posant ℓ∗x = ℓx+δ .
Exprimer δ en fonction de α et de c.
x
3. Application :
(a) On considère que la table TD 88-90 est ajustable par une loi de Gompertz à partir de
l’âge x = 50 ans. Déterminer le coefficient c à partir de la connaissance de ℓ50 , ℓ60 et
ℓ70 .
(b) Quelle est la valeur de α qui correspond à l’augmentation de 70% du taux annuel de
la table TD 88-90 ?
Compte tenu de l’hypothèse précédente et de la valeur de c, quel est le vieillissement
δ à retenir ?
Exercice 6 – Déterminer le coefficient c de la formule de Makeham à partir des valeurs suivantes :
x
Lx
30
964820
45
942091
60
869412
75
611483
Exercice 7 – Des individus sont soumis à 2 causes d’élimination indépendantes caractérisées
par des taux instantanés constants µ1 et µ2 .
1. Calculer les expressions théoriques de :
(a) la probabilité P de maintien dans le groupe au bout d’un an,
(b) les probabilités annuelles d’élimination par les causes 1 et 2, respectivement notées
Q1 et Q2 .
2. L’effectif initial observé étant de 2500 personnes, on observe en un an 80 éliminations du
1er type et 24 du second.
Donner des estimations de Q1 et Q2 . En déduire des estimations de µ1 et µ2 . Calculer les
probabilités indépendantes P1 et P2 .
Exercice 8 ([2],p.260)– On considère les données d’expérience suivantes :
Âge
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
Nombres d’individus observé
675,9
599,9
501
410,7
382,7
421,3
441,9
494,2
532,2
505,8
488,8
463,3
422,1
392,5
363,5
Nombre de décès
8
6
2
10
5
8
9
6
24
24
21
20
23
21
25
1. (a) Pour chaque âge x, donner l’estimation classique, q̂x de la fréquence probable de décès
qx .
2
(b) Quelles critiques soulèverait la tarification obtenbue en choisissant q̂x ?
(c) Pour chaque âge x, construire un intervalle de confiance de niveau 95%.
2. (a) Afin de pallier les critiques précédentes, procéder à un ajustement en considérant les
modèles suivants :
– q1 (x) = b + cx
– q2 (x) = b cx
(b) Vérifier graphiquement, puis par un test du χ2 , que le second ajustement est de
meilleure qualité.
(c) Effectuer un ajustement avec la table TPRV
q3 (x) =
ℓx+δ − ℓx+δ+1
.
ℓx+δ
(d) Comparer les avantages de ce troisième ajustement, assimilable à une loi dite de
Gompertz, et un ajustement assimilable à une loi dite de Makeham :
q4 (x) = a + b cx .
Exercice 9 – Un contrat d’assurance de 3 ans prévoit en cas de décès de l’assuré d’âge x le
versement en fin d’année d’assurance un capital C égal à 8000 e si le décès intervient en
première année, de 16000 e s’il intervient en deuxième année et de 24000 e s’il se produit
en troisième année. Une prime P est payable en début de chaque année d’assurance, tant que
l’assuré survit.
Dans la suite on supposera qu’il n’y a pas de frais de commercialisation et de gestion et on
utilisera un taux d’actualisation i = 3%.
1. Appréciée à la souscription la valeur actuelle du résultat pour un contrat qui peut prendre
4 valeurs suivant que le décès intervienne en 1re , 2e ou 3e année, ou que l’assuré survive en
fin de contrat.
Déterminer ces 4 valeurs, sous forme d’expressions linéaires de P .
2. Avec l’extrait de la table suivante, calculer l’espérance mathématique du résultat actualisé
pour un contrat.
x
ℓx
60
61
62
63
818884
80602
79243
77807
Pour quelle valeur de P cette espérance mathématique est-elle nulle ?
3. Calculer pour P = 290 e et P = 305 e l’espérance mathématique du résultat actualisé
pour un contrat, ainsi que sa variance.
4. On suppose que l’assureur gère en même temps 2000 contrats identiques et qu’il cherche à
ce que la probabilité d’un résultat global déficitaire soit limitée à 10 %.
En supposant que le résultat global suit une variable normale, déterminer le montant
minimal de la prime unitaire. On procèdera à un calcul par interpolation linéaire.
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