Corrigé des exercices 7, 8 et 9

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Corrigé des exercices 7, 8 et 9
Série de TD N1
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Exercice 7. Soit n2N. Véri…er que 2 + p3n+2p3nest un entier pair. En
déduire que la partie entière de 2 + p3nest un entier impair.
Calculons S=2 + p3n+2p3nà l’aide de la formule du binôme de Newton. On
trouve
S=
n
X
k=0
Ck
n2nkp3k
+
n
X
k=0
Ck
n2nk(1)kp3k
=
n
X
k=0
Ck
n2nk1+(1)kp3k
Si k= 2pest pair, alors 1+(1)kp3k= 2 3pqui est un entier pair, et si k est impair,
1+(1)kp3k= 0
On en déduit que S est bien un entier pair, comme somme d’entiers pairs.
De plus, on a 0<2p3n<1et donc 2 + p3n< S < 1 + 2 + p3n. On en déduit que
S1<2 + p3n < S
Ce qui prouve que la partie entière de 2 + p3nest S1. C’est donc un entier impair.
Exercice 8
Soient x;ydeux réels et n2N. Prouver que
1:xy)E(x)E(y) :
xy)E(x)xy
Donc E(x) est un entier relatif inférieur ou égal à y, Comme E(y)est le plus grand entier
relatif inférieur ou égal à y, on a E(x)E(y).
2. E(x) + E(y)E(x+y)E(x) + E(y) + 1.
Des inégalités E(x)x<E(x)+1 et E(y)y < E(y)+1, on déduit que E(x) + E(y)
x+y < E(x) + E(y)+2.
Or E(x+y)est le plus grand entier n tel que nx+y. Puisque E(x) + E(y)x+y; on
déduit que E(x) + E(y)E(x+y):
De même, E(x+y)+1 est le plus petit entier m tel que m>x+y. Puisque E(x)+E(y)+2 >
x+y, on en déduit
E(x) + E(y)+2> E(x+y)+1, ce qui donne E(x+y)< E(x) + E(y)+1.
1

3. 8a2Z;E(x+a) = E(x) + a:
On traite d’abords le cas a= 1
E(x)x<E(x)+1)E(x)+1x+ 1 <(E(x)+1)+1
Donc E(x+ 1) = E(x)+1
Si a2N;E(x+a) = E(x+ (a1) + 1) = E((x+ (a1)) + 1
Ainsi
E(x+a) = E((x+ (a1)) + 1 = E((x+ (a2)) + 2
=:::: =E((x+ (aa)) + a=E(x) + a
Si a < 0;E(x) = E((x+a)a) = E(x+a)a( puisque a > 0)
d’où E(x) + a=E(x+a):
Par conséquent 8a2Z;E(x+a) = E(x) + a:
4. EE(nx)
n=E(x).
On a
E(x)x<E(x)+1)nE(x)nx < nE(x) + n
)E(nE(x)) E(nx)< E (nE(x) + n)
nE(x)et nE(x)+nsont des entiers, donc E(nE(x)) = nE(x)et E(nE(x) + n) = nE(x)+n.
D’où
nE(x)E(nx)< nE(x) + n
Par conséquent
E(x)E(nx)
n< E(x)+1
Soit EE(nx)
n=E(x)
Exercice 9. Montrer que fr3;r2Qgest dense dans R.
Soient x un réel et "un réel strictement positif. On a 3
px < 3 px+". Puisque Qest dense
dans R, il existe un rationnel rtel que 3
px < r < 3
px+"
Comme la fonction t7! t3est croissante, on a donc x<r3< x +". On a ainsi montré que
fr3;r2Qgest dense dans R.
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