Exercices de Théorie Quantique des Champs II Séance 3

Exercices de Th´ eorie Quantique des Champs II
S´ eance 3 : Int´ egrales fonctionnelles en physique statistique
Rappels :
Les int´egrales de chemin ne sont pas confin´ees `a la m´ecanique quantique et `a la th´eorie des
champs. Au contraire, leur champ d’applications est remarquablement large, puisqu’elles
peuvent s’utiliser d`es que des variables ´evoluent de mani`ere al´eatoire dans le temps et/ou
dans l’espace. En m´ecanique quantique, ces variables sont les variables de Lagrange ;
mais les processus stochastiques, la physique statistique et la finance sont autant de
domaines o`u les int´egrales de chemin jouent un rˆole important. Le but de cette s´eance est
de vous montrer quelques applications amusantes des int´egrales de chemin en physique
statistique. Ceci sera utile, d’une part, pour vous apporter un nouveau regard vis-`a-
vis de la physique statistique, o`u les fluctuations thermiques deviennent l’analogue des
fluctuations quantiques ; d’autre part, cela d´eveloppera votre intuition des ph´enom`enes
quantiques comme ´etant des ph´enom`enes statistiques dont la “temp´erature” est d’ordre
~.
I. Mouvement brownien et ´equation de la chaleur
1. On consid`ere une particule se mouvant de mani`ere al´eatoire le long de la droite
r´eelle R. La particule change de position par pas de temps ∆tdiscrets ; si elle
se trouvait `a la position xjau temps tj, alors on demande que la distribution
de probabilit´e pour la position xj+1 adopt´ee au temps tj+ ∆t≡tj+1 soit une
gaussienne centr´ee en xjet d’´ecart-type σ:
p(xj+1, xj) = 1
√2πσ2exp "−(xj+1 −xj)2
2σ2#.(1)
On supposera que x0= 0, c’est-`a-dire que la position initiale de la particule est
l’origine. On se demande alors quelle est la densit´e de probabilit´e p(x, N) pour que
la particule se trouve `a une position xau temps N∆t.
(a) Montrez que cette densit´e de probabilit´e peut s’´ecrire comme l’int´egrale sui-
vante :
p(x, N) = 1
√2πσ2ZN−1
Y
j=1
dxj
√2πσ2exp "−
N−1
X
k=0
(xk+1 −xk)2
2σ2#,(2)
o`u x0≡0 et xN≡x.
(b) Montrez, par r´ecurrence, que l’int´egrale (2) vaut
p(x, N) = 1
√2πσ2Nexp −x2
2σ2N.(3)
Ainsi, p(x, N) est une gaussienne centr´ee en 0, d’´ecart-type σ√N.
(c) D´eduisez-en l’esp´erance du carr´e de la distance parcourue par la particule en
un temps N∆t.
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(d) Supposons qu’on veuille prendre la limite N→+∞de l’expression (3). Mon-
trez que cette limite n’a de sens qu’`a condition de prendre en mˆeme temps
σ2→0 en gardant fixe le produit σ2N. Ainsi, la limite N→+∞n’a de sens
que si les gaussiennes individuelles (1) sont parfaitement localis´ees.
(e) Cette propri´et´e de la limite N→+∞vous rappelle-t-elle une propri´et´e ana-
logue en m´ecanique quantique ? Quel ´etait, en m´ecanique quantique, “l’´ecart-
type” qu’on faisait tendre vers z´ero pour avoir un r´esultat fini ?
2. On ´etudie maintenant l’´equation de la chaleur sur la droite r´eelle :
∂T
∂t (x, t) = κ∂2T ∂x2(x, t), κ > 0.
(a) Introduisez la transform´ee de Fourier
˜
T(p, t)≡Zdxeipx T(x, t)
du champ de temp´erature T. Quel est l’inverse de cette transformation ? (C’est-
`a-dire : comment ´ecrire T(x, t) comme une int´egrale de ˜ T(p, t) ?)
(b) Montrez que, pour ∆ttr`es petit, l’´equation de la chaleur permet d’´ecrire
T(x0, t + ∆t)'Zdx Zdp
2πeip(x−x0)−κp2∆tT(x, t).(4)
(c) En adaptant un argument du type “discr´etisation du temps” (comme celui
utilis´e dans la s´eance pr´ec´edente pour les int´egrales de chemin), g´en´eraliser
le r´esultat (4) au cas d’un intervalle de temps fini. Montrer que la solution
T(x0, t0) de l’´equation de la chaleur pour une condition initiale T(x, t) peut
s’´ecrire comme
T(x0, t0) = ZdxD(x0, t0;x, t)T(x, t)
avec le “propagateur”
D(x0, t0;x, t)≡lim
N→+∞ZN
Y
j=1
dxjZN
Y
k=0
dpk
2πexp "∆t
N
X
k=0 ipk
xk+1 −xk
∆t−κp2
k#,
o`u ∆t≡(t0−t)/(N+ 1), x0≡xet xN+1 ≡x0.
(d) Calculer explicitement ce propagateur et l’´ecrire comme une fonction de x0,t0,
xet t.
(e) En d´eduire la solution de l’´equation de la chaleur pour une configuration initiale
gaussienne. Montrer que l’´ecart-type de la solution croˆıt comme la racine carr´ee
du temps ´ecoul´e depuis le temps initial.
(f) Ceci vous rappelle-t-il quelque chose que vous avez vu en m´ecanique quantique ?
(Pensez `a la particule libre sur une droite.) Comment croissait l’´ecart-type de
la distribution de probabilit´e quantique associ´ee `a une fonction d’onde initiale
gaussienne ? Est-ce le mˆeme type de croissance que pour l’´equation de la cha-
leur ?
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II. Physique statistique
Soit Hl’espace d’´etats d’un syst`eme quantique, muni d’un hamiltonien ˆ H. On rappelle
que la fonction de partition de ce syst`eme est la quantit´e
Z(β)≡Tr ne−βˆ
Ho,(5)
o`u la trace est prise sur Het o`u β≡1/kBTest l’inverse de la temp´erature T, `a la
constante de Boltzmann kBpr`es.
1. G´en´eralit´es :
(a) Supposons que les valeurs propres de ˆ Hsont discr`etes ; notons-les En(n∈N) et
notons ∆nla d´eg´en´erescence de la valeur propre En. Que vaut alors la fonction
de partition (5) en termes des Enet des ∆n?
(b) Supposons maintenant que Hest l’espace d’´etats d’une particule se mouvant
le long de la droite r´eelle Ret que ˆ Hest une fonction des op´erateurs ˆ Pet
ˆ
Q. Montrez que la fonction de partition (5) peut s’´ecrire comme l’int´egrale de
chemin discr´etis´ee
Z(β) = lim
N→+∞ ZN
Y
j=0
dqj! ZN
Y
k=0
dpk
2π~!×
×exp "−∆tE
~
N
X
k=0 −ipk
qk+1 −qk
∆tE
+H(qk+1, pk)#,(6)
o`u ∆tE≡β~/(N+ 1) et qN+1 ≡q0;H(q, p) d´esigne le symbole q−pde
l’hamiltonien.
(c) Soit τune coordonn´ee temporelle ; on introduit le temps euclidien correspon-
dant, τE≡iτ. Soit aussi H(q, p) l’hamiltonien (classique) d’un syst`eme ; on
d´efinit l’action hamiltonienne euclidienne associ´ee par
SH,E [q, p]≡ZdτE−ip dq
dτE
+H(q, p).
Montrez (en admettant que cette limite a un sens) que la limite continue de
(6) s’´ecrit
Z(β) = IDqDpexp h−SH,E [q, p]/~i,
o`u l’int´egrale de chemin est prise sur les chemins (q(τE), p(τE)) p´eriodiques, de
p´eriode β~. Les mesures Dqet Dpsont les mˆemes que celles introduites dans
la s´eance pr´ec´edente, sauf que maintenant il y a autant d’int´egrales sur qque
sur p.
(d) Supposons que l’hamiltonien est de la forme
ˆ
H=1
2mˆ
P2+V(ˆ Q).
Montrez, en int´egrant sur les impulsions, que l’expression (6) se r´eduit alors `a
Z(β) = lim
N→+∞m
2π~∆tE(N+1)/2 ZN
Y
j=0
dqj!×
×exp "−∆tE
~
N
X
k=0 m
2qk+1 −qk ∆tE2
+V(qk+1)!#.(7)
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(e) Quelle est la limite continue de l’expression (7) ? (En admettant que cette limite
a un sens...)
(f) Si hq0, t0|q, tirepr´esente l’amplitude de propagation quantique consid´er´ee dans
la s´eance pr´ec´edente, montrez que
Z(β) = Zdqhq, −iβ~|q, 0i,(8)
o`u hq, −iβ~|q, 0irepr´esente l’amplitude hq, t|q, 0i´evalu´ee en t=−iβ~.
2. A la s´eance pr´ec´edente, nous avons d´eriv´e l’expression du propagateur d’une par-
ticule libre `a une dimension :
hq0, t0|q, ti=me−iπ/2
2π~(t0−t)1/2
exp im(q0−q)2
2~(t0−t).
On admettra que la g´en´eralisation de cette expression au cas d’une particule libre
`a trois dimensions (d´ecrite par un vecteur position ~q ) est
h~q 0, t0|~q, ti=me−iπ/2
2π~(t0−t)3/2
exp "im k~q 0−~q k2
2~(t0−t)#.
(a) Utilisez la formule (8) (g´en´eralis´ee au cas d’une particule se mouvant en trois
dimensions) pour calculer la fonction de partition pour une particule libre en
trois dimensions, confin´ee `a un volume V.
(b) D´eduisez-en l’expression de la fonction de partition ZN(β) pour un syst`eme de
Nparticules libres indiscernables `a trois dimensions.
(c) Pour un syst`eme statistique d´ecrit par une fonction de partition Z, l’´energie
libre de Helmholtz est d´efinie comme
F≡ −kBTln(Z),
et la pression du syst`eme est donn´ee par
p≡ −∂F/∂V,
o`u Vest le volume du syst`eme. Montrez que, pour Nparticules libres indis-
cernables `a trois dimensions,
pV =NkBT.
3. Dans la s´eance pr´ec´edente, nous avons d´eriv´e le propagateur d’un oscillateur har-
monique `a une dimension :
hq0, t|q, 0i=mω
2πi~sin(ωt)1/2
exp imω
2~sin(ωt)q02+q2cos(ωt)−2qq0.
(a) Soit x∈R. Montrez que sin(−ix) = −isinh(x) et que cos(−ix) = cosh(x).
(b) Utilisez la formule (8) pour calculer la fonction de partition d’un oscillateur
harmonique `a une dimension.
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(c) Soit {En|n∈N}le spectre de l’hamiltonien de l’oscillateur harmonique. Eva-
luez la somme +∞
X
n=0
e−βEn.
Ceci devrait confirmer le r´esultat du point pr´ec´edent.
(d) On rappelle que l’´energie moyenne d’un syst`eme d´ecrit par une fonction de
partition Z(β) est
hEi=−∂ln(Z)
∂β .
Montrez que l’´energie moyenne d’un oscillateur harmonique de temp´erature T
est
hEi=~ω
2cotanh ~ω 2kBT.
D´eduisez-en que hEi ' ~ω/2 `a basse temp´erature. Sens physique de ce r´esultat ?
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