Cours et exercices - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne
S3 Maths 2014-2015 Statistique Rappels sur les variables aléatoires réelles
Université de Picardie Jules Verne 2014-2015
UFR des Sciences
Licence mention Mathématiques -Semestre 3
Statistique
Rappels sur les variables aléatoires réelles discrètes et à densité
1.Variables aléatoires réelles discrètes
Considérons une population sur laquelle on définit un caractère quantitatif X.
Xest une application de dans qui, à tout individu , associe un réel xXX
X
ensemble des valeurs du caractère.
Cette application modélise le caractère de façon déterministe en ce sens que, si on connaît l’individu ,
on connaît aussitôt la valeur x. Son étude relève de la statistique descriptive qui conduit, par exemple, au
tableau des couples x
i
,f
i
où x
i
est une valeur observée et f
i
sa fréquence.
Exemple : le nombre d’enfants Xd’une famille d’une population de 1000 familles amiénoises a donné :
Nombre d’enfants x
i
012345678
Nombre de familles n
i
162 240 297 208 62 16 8 5 2
Fréquence f
i
0.162 0.240 0.297 0.208 0.062 0.016 0.008 0.005 0.002
Supposons maintenant que l’on tire au hasard un individu dans cette population pour consigner la
valeur xdu caractère. Ne pouvant pas prévoir quel individu précis sera tiré, on ne peut pas prévoir non plus la
valeur précise de xqui sera consigner. On aimerait donc disposer d’un moyen d’attribuer une probabilité aux
éléments de
X
, ce qui conduit au tableau des couples x
i
,p
i
où x
i
est une valeur observée et p
i
sa
probabilité.
Prenant APet Pl’équiprobabilité sur ,A, on écrira par exemple PX0162
1000 0.162.
De même qu’un caractère quantitatif peut être discret ou continu, on parlera de variable aléatoire discrète
ou continue (dans le deuxième cas, on parlera de variable aléatoire à densité).
1.1.Cas d’un nombre fini de valeurs
Exemple introductif.
Un joueur lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6, et on observe le numéro obtenu. Si le
joueur obtient 1, 3 ou 5, il gagne 1 euro ; s’il obtient 2 ou 4, il gagne 5 euros ; s’il obtient 6, il perd 10 euros.
Prenons 1,2,3,4,5,6,APet Pl’équiprobabilité sur ,A
Soit Xl’application de dans qui à tout associe le gain correspondant.
On a X1X3X51, X2X45 et X610. Ainsi,
X
1,5,10.
On peut s’intéresser à la probabilité de gagner 1 euro, c’est-à-dire d’avoir X1, ce qui se réalise si et
seulement si 1,3,5. La probabilité cherchée est donc égale à P1,3,5 3/6 1/2. On pourra alors
considérer l’événement X11,3,5et écrire PX11/2.
On aura de même PX51/3 et PX101/6.
Définitions.Notations.
On considère une expérience aléatoire et ,A,Pest un espace probabilisé fini adapté.
On appelle variable aléatoire réelle (v.a.r.) toute application Xde dans .
L’ensemble
X
Xdes valeurs prises par Xest appelé univers-image.
X
est alors fini.
Les événements /Xx,/Xxet /aXxsont notés
respectivement Xx,Xxet aXx.
Loi de probabilité.
Si Xest une v.a.r. dont l’univers-image fini est
X
x
1
,...,x
n
, alors Xest appelée v.a.r. discrète finie
et on appelle loi de probabilité de Xla donnée des couples x
i
,p
i
, avec p
i
PXx
i
.
On pourra toujours s’assurer que l’on a bien p
i
0 et
i1
n
p
i
p
1
p
2
p
n
1.
Stéphane Ducay
1
S3 Maths 2014-2015 Statistique Rappels sur les variables aléatoires réelles
Exemple.
Reprenons l’exemple introductif. La loi de probabilité de Xest donnée par x
i
-10 1 5
p
i
1/6 1/2 1/3 1
Fonction de répartition.
Si Xest une v.a.r., alors on appelle fonction de répartition de Xla fonction F
X
de dans 0,1définie par,
pour tout réel x,F
X
xPXx.
Si Xest discrète finie, alors F
X
est une fonction en escalier dont les sauts se présentent aux points x
i
de
X
, chaque saut étant égal à p
i
PXx
i
.
Exemple. Reprenons l’exemple introductif. On a :
- pour tout x10, F
X
xPXxP0 ;
- pour tout 10 x1, F
X
xPXxPX101/6 ;
- pour tout 1 x5,
F
X
xPXxPX10X1 PX10PX11/6 1/2 2/3 ;
- pour tout x5, F
X
xPXxP1.
Remarque. On a donc Fx
i
PXx
i
k1
i
p
k
p
1
p
2
p
i
, probabilité que Xprenne une
valeur inférieure ou égale à x
i
.
En statistique descriptive des variables quantitatives discrètes, les fréquences cumulées étaient données
par : F
i
k1
i
f
k
f
1
f
2
f
i
, et représentaient la fréquence des valeurs inférieures ou égales à x
i
.
Interprétant les probabilités p
i
comme les limites des fréquences f
i
sur un échantillon, on observe que les
formules et leur interprétation sont analogues.
Espérance mathématique.Variance.Ecart-type.
Soit Xune v.a.r. discrète dont l’univers-image fini est
X
x
1
,...,x
n
.
On appelle espérance mathématique de Xle réel EX
i1
n
p
i
x
i
p
1
x
1
p
2
x
2
p
n
x
n
. Ce nombre
représente la valeur moyenne de X.
On appelle variance de Xle réel VX
i1
n
p
i
x
i
EX
2
.
On a VXEX
2
EX
2
i1
n
p
i
x
i
2
EX
2
.
On appelle écart-type de Xle réel XVX.
On appelle intervalle moyen de Xl’intervalle EXX,EXX.
Exemple. Reprenons l’exemple introductif.
On a EX1
6101
211
353
61
2.
On a EX
2
1
610
2
1
21
2
1
35
2
153
651
2,
d’où VXEX
2
EX
2
51
21
2
2
101
4et XVX101
25,025.
Remarque.
En statistique descriptive des variables quantitatives discrètes, nous avions les formules suivantes.
Moyenne : x1
n
n
i
x
i
n
i
nx
i
f
i
x
i
Variance : s
x
2
1
n
n
i
x
i
2
x
2
f
i
x
i
2
x
2
. Ecart-type : s
x
s
x
2
.
Interprétant les p
i
comme les limites des f
i
, les formules et leur interprétation sont analogues.
Changement d’origine et d’échelle
Il arrive souvent que l’on effectue une transformation affine XaX bsur une variable aléatoire X,a
étant le paramètre de changement d’échelle, et ble paramètre de changement d’origine. On a :
EaX baEXb;VaraX ba
2
VarX;aX b|a|X.
Stéphane Ducay
2
S3 Maths 2014-2015 Statistique Rappels sur les variables aléatoires réelles
Lois classiques :Binomiale et Hypergéométrique.
Répétition d’expériences.
On répète nfois dans les mêmes conditions une même expérience aléatoire (les répétitions étant
indépendantes entre elles) au cours de laquelle un événement Aa une probabilité pd’être réalisé.
La variable aléatoire X, égale au nombre de fois où l’événement Aest réalisé, suit la loi Binomiale
Bn,p, ce qui signifie que :
Xest à valeurs dans
X
0,1,...,net, pour tout k0,1,...,n,PXkC
n
k
p
k
1p
nk
.
On a de plus : EXnp et VXnp1p.
Tirages dans une population à 2 catégories.
On considère une population de Nindividus à deux catégories, avec N
1
individus de catégorie 1 et N
2
individus de catégorie 2 (on a N
1
N
2
N).
On effectue ntirages d’un individu dans la population et on désigne par Xla variable aléatoire égale au
nombre d’individus de catégorie 1 obtenus.
Si on effectue les tirages avec remise, alors Xsuit la loi Binomiale Bn,N
1
N.
Si on effectue les tirages sans remise ou simultanés (dans ce cas, on doit avoir nN), alors Xsuit la loi
Hypergéométrique HN,n,N
1
N, ce qui signifie que
Xest à valeurs dans
X
max0,nNN
1
,minN
1
,n
et pour tout k0,1,...,n,PXkC
N
1
k
C
NN
1
nk
C
N
n
.
On a de plus : EXnp et VXnp1pNn
N1en posant pN
1
N.
Exemples.
1) On lance 10 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 fois
(exactement) Pile ?
On peut considérer que l’on répète n10 fois dans les mêmes conditions l’expérience aléatoire
"lancer la pièce" (les répétitions étant indépendantes entre elles) au cours de laquelle l’événement A"obtenir
Pile" a la probabilité p1
2d’être réalisé. La variable aléatoire X, égale au nombre de fois où l’événement A
est réalisé, i.e. au nombre de Pile obtenus, suit la loi Binomiale Bn,pB10, 1
2, ce qui signifie que :
-Xest à valeurs dans
X
0,1,...,n0,1,...,10;
- pour tout k0,1,...,10,PXkC
n
k
p
k
1p
nk
C
10
k
1
2
k
1
2
10k
C
10
k
1
2
10
.
On en déduit que la probabilité d’obtenir 3 fois Pile est PX3C
10
3
1
2
10
0,1172.
2) On tire successivement 4 boules d’une urne contenant 3 boules blanches et 7 boules noires. Quelle est
la probabilité d’obtenir (exactement) 2 boules blanches ?
On peut considérer que l’on effectue n4 tirages d’un individu dans la population des N10 boules,
avec N
1
3 boules blanches et N
2
7 boules noires (on a N
1
N
2
N). Si on désigne par Xla variable
aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues, alors :
- dans le cas de tirages avec remise, Xsuit la loi Binomiale Bn,N
1
NB4, 3
10 ; ainsi, Xest à
valeurs dans
X
0,1,...,n0,1,...,4et pour tout k0,1,...,4,
PXkC
n
k
p
k
1p
nk
C
4
k
3
10
k
7
10
4k
; on a donc PX2C
4
2
3
10
2
7
10
2
0,2646.
- dans le cas de tirages sans remise, Xsuit la loi Hypergéométrique HN,n,N
1
NH10,4, 3
10 ;
ainsi, Xest à valeurs dans
X
max0,nNN
1
,minN
1
,n 0,1,2,3et pour tout
k0,1,2,3,PXkC
N
1
k
C
NN
1
nk
C
N
n
C
3
k
C
7
4k
C
10
4
; on a donc PX2C
3
2
C
7
2
C
10
4
0,3.
Remarque.
Lorsque Nest très grand devant n(en pratique N10n), on peut approcher la loi Hypergéométrique
HN,n,N
1
Npar la loi Binomiale Bn,N
1
N. Cela signifie que C
N
1
k
C
NN
1
nk
C
N
n
C
n
k
N
1
N
k
1N
1
N
nk
.
Stéphane Ducay
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S3 Maths 2014-2015 Statistique Rappels sur les variables aléatoires réelles
1.2.Cas d’un nombre infini de valeurs
Définitions.
On appelle variable aléatoire réelle discrète infinie toute v.a.r. dont l’univers-image
X
(ensemble des
valeurs prises par X) est infini dénombrable. Dans ce cours, on se limitera à
X
k/kou
X
.
On appelle loi de probabilité de Xla donnée des couples k,p
k
, avec p
k
PXk, pour k
X
.
On pourra toujours s’assurer que l’on a bien p
k
0 et
k
X
p
k
1.
Attention ! Cette dernière somme contient une infinité de termes ! Il s’agit de la somme d’une série
numérique, qui peut être infinie ou ne pas exister. Nous n’aborderons pas dans ce cours les problèmes liés à
cette notion.
Espérance mathématique.Variance.Ecart-type.
Soit Xune v.a.r. discrète dont l’univers-image infini est
X
. Sous reserve d’existence des sommes
indiquées ci-dessous, on a :
- espérance mathématique de X:EX
k
X
kp
k
.
- variance de X:VX
k
X
kEX
2
p
k
et VXEX
2
EX
2
k
X
k
2
p
k
EX
2
.
- écart-type de X:XVX- intervalle moyen de X:EXX,EXX.
Lois classiques :Poisson et Géométrique.
Loi de Poisson.
Une variable aléatoire Xsuit la loi de Poisson Pde paramètre 0 si et seulement si :
Xest à valeurs dans
X
et, pour tout k,PXke
k
k!.
On a de plus : EXet VX.
Loi Géométrique.
On répète dans les mêmes conditions une même expérience aléatoire (les répétitions étant indépendantes
entre elles) au cours de laquelle un événement Aa une probabilité pd’être réalisé.
La variable aléatoire X, égale au nombre d’expériences nécessaires pour avoir la première réalisation de A
(i.e. au temps d’attente de l’événement A), suit la loi Géométrique Gp, ce qui signifie que :
Xest à valeurs dans
X
et, pour tout k
,PXkp1p
k1
.
On a de plus : EX1
pet VX1p
p
2
.
Remarque.
Lorsque nest grand et passez petit (en pratique n30, p0,1 et np 10), on peut approcher la loi
Binomiale Bn,ppar la loi de Poisson Pnp. Cela signifie que C
n
k
p
k
1p
nk
e
np
np
k
k!.
2.Variables aléatoires réelles à densité
2.1.Généralités et premiers exemples
On considère une expérience aléatoire, ,A,Pun espace probabilisé adapté et Xune variable aléatoire
réelle.
On a traité dans le paragraphe 1 le cas où l’univers-image
X
(et donc l’univers ) était fini ou infini
dénombrable. La loi de probabilité de Xétait alors donnée par les quantités PXx
i
pour tout x
i
de
X
.
Lorsque
X
(et donc ) est infini non-dénombrable (par exemple
X
a,bou ), la théorie montre
que PXx0 pour tout xde . On est alors amené à donner la loi de probabilité de Xpar sa fonction de
répartition F
X
définie sur par F
X
xPXx.
Stéphane Ducay
4
S3 Maths 2014-2015 Statistique Rappels sur les variables aléatoires réelles
Définition.
On appelle densité ou densité de probabilité sur toute fonction fde dans vérifiant :
-fest positive ;
-fest continue sur sauf éventuellement en un nombre fini ou dénombrable de points ;
- l’intégrale
fxdx est convergente et
fxdx 1.
Définition.
Une variable aléatoire Xest dite continue s’il existe une densité f
X
telle que pour tout x,
F
X
x
x
f
X
tdt.
f
X
est alors appelée densité de X. On dit aussi que Xest une variable aléatoire réelle à densité.
Propriétés.
Soit Xune variable aléatoire continue dont f
X
est une densité, et soit F
X
sa fonction de répartition.
Alors F
X
est une fonction de dans 0,1, continue et croissante sur , dérivable sur , sauf
éventuellement en un nombre fini ou dénombrable de points, de dérivée f
X
, et telle que lim
x
Fx0 et
lim
x
Fx1. De plus, pour tous réels x,aet btels que ab, on a :
PXx0 ; PXxPXx;PaXbPaXbF
X
bF
X
a
a
b
f
X
tdt.
Espérance mathématique.Variance.Ecart-type.
Sous les mêmes hypothèses que ci-dessus, et sous réserve que les intégrales suivantes existent, on a :
-EX
xf
X
xdx (ce nombre représente la valeur moyenne de X) ;
-VX
xEX
2
f
X
xdx ;VXEX
2
EX
2
x
2
f
X
xdx EX
2
;
-XVX; intervalle moyen de X:EXX,EXX.
Lois classiques :Uniforme,Exponentielle et Normale
Loi Uniforme sur a,b.
X
a,b,f
X
x1
basi xa,b
0 si xa,bF
X
x
0 si xa
xa
basi xa,b
1 si xb
EXab
2et VXba
2
12 .
Loi Exponentielle de paramètre ,avec 0.
X
0,,f
X
xe
x
si x0
0 si x0,F
X
x1e
x
si x0
0 si x0,EX1
et VX1
2
.
Loi Normale de paramètres et ,avec et 0. Voir le paragraphe suivant.
2.2.Loi Normale N,.
2.2.1.Cas de la loi N0,1(loi normale centrée réduite).
On a
X
et f
X
x1
2e
x2
2
pour tout x. On a de plus EX0 et VX1.
La fonction de répartition de Xest donnée par xF
X
x
x
f
X
tdt
x
1
2e
t2
2
dt pour tout
x. Cette fonction n’étant pas exprimable par des fonctions usuelles, on utilise généralement une valeur
approchée de cette fonction. Ses valeurs sont tabulées pour les x0 (table 1). Pour les x0, on peut utiliser
la formule x1x(formule valable pour tout réel x)
La table ne donne des valeurs approchées de xque pour des xcompris entre 0 et 3. On pourra admettre
que x1 pour tout x3.
On peut démontrer que est une bijection strictement croissante de sur 0;1. Ainsi, pour tous réels xet
y, on a : xyxyet xyxy.
Stéphane Ducay
5
6
7
8
9
1
/
9
100%
