Exercices sur les premières notions de topologie, premier

Exercices sur les premières notions de
topologie, premier cycle universitaire
F.Gaudon
18 août 2005
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Énoncés
Exercice 1:
On considère sur Rn les trois applications suivantes définies pour tout
x = (x1 ; . . . ; xn ) ∈ Rn par :
N1 (x) =
n
X
|xi |
i=1
n
X
1
N2 (x) = (
|xi |2 ) 2
i=1
N∞ (x) = sup{|xi |, i ∈ {1; . . . ; n}}
1. Montrer qu’elles définissent trois normes.
2. Montrer que ces normes sont équivalentes.
Exercice 2:
On considère sur l’espace vectoriel R[X] des polynômes
dans R,
Pà coefficients
k
les trois applications suivantes définies pour tout P = k∈N ak X par :
X
N1 (P ) =
|ak |
k∈N
X
1
N2 (P ) = (
|ak |2 ) 2
k∈N
N3 (P ) = sup{|ak |, k ∈ N}
1
1. Montrer que ces applications définissent des normes.
2. Ces normes sont-elles équivalentes ?
Exercice 3:
Soient E un espace vectoriel normé et A une partie non vide de E. Pour x ∈ E,
on pose :
d(x; A) = inf{kx − ak , a ∈ A}
1. Montrer que l’application d(.; A) est 1-lipshitzienne c’est à dire
∀(x; y) ∈ E, |d(x; A) − d(y; A)| ≤ kx − yk
2. En déduire que l’application d(.; A) est continue sur E.
Exercice 4:
Soit E un espace vectoriel normé réel et A un sous espace vectoriel.
1. Montrer que Ā est un sous espace vectoriel de E.
2. Montrer que si A est ouvert, alors A = E.
◦
3. Montrer que si A6= ∅ alors A = E.
4. Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0; 1] muni de la
norme k k∞ . On considère l’ensemble A = {f ∈ E, f (0) = 0}. Montrer
◦
que A est un sous espace fermé et A= ∅.
Exercice 5:
oient (E; N ) un espace vectoriel normé et H un hyperplan de E. Montrer que H
est fermé ou dense.
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2
Indications
Exercice 1 :
1. A montrer pour chacune des normes N et pour tout x, y ∈ Rn , tout λ ∈ R :
N (x) = 0 ⇔ x = 0
N (λx) = |λ|N (x)
N (x + y) ≤ N (x) + n(y)
Pour N2 , utiliser l’inégalité de Minkowski.
2. Montrer d’abord que :
∀x ∈ Rn , N∞ (x) ≤ N1 (x) ≤ nN∞ (x)
√
∀x ∈ Rn , N∞ (x) ≤ N2 (x) ≤ nN∞ (x)
Exercice 2 :
1. Même méthode que précédemment.
2. Considérer pour tout N ∈ N le polynôme PN défini par :
X
P (x) =
kX k
k≥N
et montrer que la suite de polynôme ainsi définie met la suite la définition
de la relation d’équivalence en défaut.
Exercice 3 :
Écrire l’inégalité sans valeur absolue et utiliser le fait que
d(x; A) = sup{kx − zk , z ∈ A}.
Exercice 4 :
1. Utiliser la caractérisation des points adhérents par les suites pour vérifier la
définition d’un sous espace vectoriel.
2. Considérer après avoir justifié leur existence, un point x de A, une boule
ouverte B(x; ) incluse dans A et pour tout point y de E le point
y−x
y 0 = x + 2ky−xk
qui appartient à B(x; ) qui permet d’exprimer y comme
combinaison linéaire de x et y 0 .
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3. Si l’intérieur est non vide, il contient une boule ouverte. Raisonner comme
précédemment.
4. Si (fn )n est une suite de A ayant une limite f , montrer d’abord que f est
dans E, c’est à dire est continue en tout x0 , en utilisant le fait que
∀x ∈ [0; 1], kf (x) − f (x0 )k ≤ kf (x) − fn (x)k+kfn (x) − fn (x0 )k+fn (x0 ) − f( x0 )
et en utilisant la convergence uniforme pour majorer le premier et le
troisième terme, la continuité d’un (fn )n pour le deuxième terme.
Montrer ensuite que kf (0)k peut-être rendu aussi petit que l’on veut.
◦
En supposant que A6= ∅, justifier l’existence d’une application f0 et d’une
◦
boule ouverte de rayon dans A. Il existe donc n tel que n1 < . Considérer
g définie par g = f0 + n1 et obtenir une contradiction.
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