Programme de khôlles no 25

Programme de khôlles no 25
semaine du 2 au 6 mai
Mots-clefs
— Variables aléatoires finies : définition, notation des événements, système complet d’événements élémentaires
associé, loi de probabilité, propriété des lois de probabilité, construction de loi de probabilités finies, fonction
de répartition, propriété des fonctions de répartition, variable aléatoire composée, loi de probabilité d’une
composée, espérance, propriétés de l’espérance, théorème de transfert, variables aléatoires centrées, moments
d’ordre k, variance, formule de Koenig-Huygens, propriétés de la variance, variables aléatoires réduites, écarttype, inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, construction d’intervalle de confiance. (Note
aux khôlleurs : seulement du cours cette semaine, pas encore d’exercices sur les variables aléatoires.)
— Lois de probabilité usuelles : loi certaine, loi uniforme U(n), loi de Bernoulli B(p), loi binomiale B(n, p),
loi hypergéométrique H(N, n, p), approximation d’une loi hypergéométrique par une loi binomiale.
— Développements limités : manipulation des petits o, définition d’un DLn (a), si f admet un DLn+k (a) alors
f admet un DLn (a), cas des DL0 (a) et DL1 (a), unicité du DLn (a), DLn (0) d’une fonction paire ou impaire,
DLn (0) de x 7→ 1/(1 − x) et x 7→ 1/(1 + x), équivalent d’un DLn (a), étude locale de courbe représentative à
l’aide d’un DLn (a), théorème de Taylor-Young, DLn (0) de exp, DLn (1) de ln, DLn (0) de cos et sin, DLn (1) de
x 7→ xα , DL3 (0) de tan. (Note aux khôlleurs : seulement du cours cette semaine, pas encore d’exercices sur
les développements limités.)
Savoir-faire
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Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire.
Reconnaître et utiliser les lois de probabilité usuelles.
Calculer une espérance (à l’aide de la loi de probabilité ou du théorème de transfert).
Calculer une variance (à l’aide de la formule de Koenig-Huygens).
Utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Exemples de questions de cours
Calculer l’espérance et la variance de la loi uniforme U(n).
Rappeler la loi de probabilité de la loi binomiale B(n, p) et calculer son espérance.
Rappeler la loi de probabilité de la loi hypergéométrique H(N, n, p) et calculer son espérance.
Montrer qu’on peut approcher une loi hypergéométrique H(N, n, p) par une loi binomiale B(n, p) si N
n → +∞.
Démontrer l’unicité du DLn (a).
Rappeler et démontrer le DLn (0) de x 7→ 1/(1 − x) et x 7→ 1/(1 + x) à l’aide de la somme des termes d’une
suite géométrique.
— Rappeler et démontrer le DLn (0) de exp, x 7→ ln(1 + x), cos, sin ou x 7→ (1 + x)α à l’aide de la formule de
Taylor-Young et d’une récurrence pour l’expression des dérivées successives en 0.
— Rappeler la formule de Taylor-Young et déterminer sur un exemple le DLn (a) d’une fonction de classe C n au
voisinage de a pour une petite valeur de n (par exemple le DL3 (0) de tan).
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BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017
Sébastien Godillon