Cours d`analyse - EQUIVALENTS ET DL —— 2015/2016

Cours d’analyse - EQUIVALENTS
ET DL
——
2015/2016
CPUS
Ce cours est un résumé très succinct des notions sur le comportement local des fonctions. Il doit s’accompagner d’un cours plus complet sur le sujet, notamment le cours de
HLMA202.
I. Equivalents
Définition. Soient f et g deux fonctions définie au voisinage de x0 . On dit que
f et g sont équivalentes au voisinage de x0 lorsqu’il existe une fonction ε telle que
lim ε(x) = 0 et f (x) = (1 + ε(x0 ))g(x). On note alors f (x) ∼ g(x)
x→x0
x0
Proposition. On a :
lim f (x) = ℓ ⇔ f (x) ∼ ℓ.
x→x0
x0
Théorème. L’équivalence est conservée par le produit, le quotient (lorsque le dénominateur ne s’annule pas) et l’élévation à une puissance indépendante de la variable)
Démonstration. ✎✎✎
ATTENTION : l’équivalence n’est pas toujours conservée par l’addition ou la composition.
Exemple. x + x2 ∼ x et −x ∼ x mais x2 n’est pas équivalent à −x.
0
0
Proposition. Au voisinage de ∞ :
• Une fonction polynôme est équivalente à son terme de plus haut degré
• Une fraction rationnelle est équivalente au quotient de ses termes de plus haut
degré
Théorème. Si f −−−→ L et si f ∼ g alors g −−−→ L
x→x0
x0
x→x0
Démonstration. ✎✎✎
II. Développements limités
1
II.1. Définition.
Définition. On dit qu’une fonction f admet un développement limité au voisinage
de a à l’ordre n s’il existe des réels a0 , . . . , an tels que :
f (x) = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + · · · + an (x − a)n + o((x − a)n ).
Proposition. Si f admet un DLn (a), alors ce DLn est unique.
Exemple. Une fonction polynômiale admet un DLn (a) pour tout n ∈ N et pour tout
a ∈ R.
Proposition. Si f est de classe C n+1 (I), alors f admet un DLn (a) pour tout a ∈ I.
Démonstration. On utilise Taylor avec reste intégral.
II.2. DL et régularité.
Proposition. Pour toute fonction f définie sur un voisinage de a, f admet un
DL0 (a) si et seulement si f est continue en a. Dans ce cas, a0 = f (a).
Démonstration. Supposons f continue en a. Alors, f (x) → f (a) donc f (x) = f (a) + o(1).
Réciproquement, s’il existe a0 tel que f (x) = a0 + o(1), alors lim f (x) = a0 et donc f
x→a
est continue en a et f (a) = a0 .
Remarque. Si a est adhérent à l’ensemble de définition de f , et si f admet un DL1 (a),
alors f est prolongeable par continuité en a.
Proposition. f admet un DL1 (a) si et seulement si f est dérivable en a. Dans ce
cas, a1 = f ′ (a).
Démonstration. ✎✎✎
Remarque. Cela ne marche plus pour les DLn , avec n > 2.
✎✎✎ Vérifier que la fonction f définie par f (x) = x + x3 + sin( x12 ) si x 6= 0, et
f (0) = 0 possède un DL2 (0) mais n’est pas 2 fois dérivable.
II.3. Existence de DL.
Théorème. Si f est de classe C n , alors f possède un DLn (a) donné par
(x − a)n (n)
f (a) + o((x − a)n ).
f (x) = f (a) + (x − a)f ′ (a) + · · · +
n!
Démonstration. Traitons le cas a = 0.
• Si n = 0, il suffit de remarquer que f −f (0) tend vers 0, donc que f (x) = f (0)+o(1).
• Si n > 1, on définie la fonction ε sur I par ε(0) = 0 et pour x 6= 0,
n
X
xk k
f (0)
f (x) −
k!
k=0
.
ε(x) =
xn
Montrons que ε tend vers 0.
xn
qui a les mêmes dérivées
Quitte à remplacer f par g définie par g(x) = f (x) − f (0)
n!
(n)
en a que f , sauf la nème qui est nulle, on peut supposer que f (0) = 0. f est de classe
C n donc d’après la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre n − 1, on a
Z x
(x − t)n−1 (n)
n
x ε(x) =
f (t)dt.
(n − 1)!
0
(n)
Soit α > 0. La fonction f (n) est continue en 0, donc il existe un réel η > 0 tel que
∀u ∈, |u| 6 η ⇒ |f (n) (u)| 6 (n − 1)!α.
Si x ∈ I est tel que |x| 6 η, alors pour tout t ∈ [0, x], f (n) (t) 6 α, et (x − t)n−1 6 xn−1 .
Alors, |xn ε(x)| < xn α et finalement, |ε(x)| 6 α.
II.4. Opérations sur les DL.
(1) Intégration et dérivation des DL
• Si f est dérivable sur un voisinage de a, le DLn (0) de f ′ est obtenu en
dérivant terme à terme le DLn+1 de f .
• Si f est dérivable sur un voisinage de a, alors le DLn (a) de f est obtenu en
intégrant terme à terme le DLn−1 de f ′ .
(2) Troncature : Si m 6 n, le DLm de f est obtenu à partir du DLn en ne gardant
que les puissances de x inférieures ou égales à m.
(3) Opérations sur les DL :
• Le DLn de f + g est obtenu en sommant le DLn de f avec celui de g.
• Le DLn de f g est obtenu en multipliant les DLn de f et g et en tronquant
le résultat obtenu à l’ordre n.
• Si le DLn (0) de f est f (x) = a0 + a1 x + ...an xn + o(xn ) et si a0 = 0, alors le
DLn (0) de g ◦ f est obtenu en « remplaçant »dans le DLn (0) de g la variable
x par l’expression a0 + a1 x + ...an xn , en tronquant toujours à l’ordre n.
• Si le DLn (0) de f est f (x) = a0 + a1 x + ...an xn + o(xn ) et si a0 6= 0, alors
1
1
le DLn de est obtenu en utilisant le DL de f et celui de
.
f
1+x
II.5. DL de référence.
f
ex
n
X
cos(x)
DL
n
k
X
x
+ o(xn )
k!
k=0
2k
(−1)k
k=0
∞
X
sin(x)
k=0
ch(x)
sh(x)
(1 + x)a
1+
n
X
k=1
(−1)k
x
+ o(x2n+1 )
(2k)!
2k+1
x
+ o(x2n+2 )
(2k + 1)!
n
X
x2n
+ o(x2 n)
(2n)!
n=0
n
X
x2n+1
+ o(x2n+1 )
(2n
+
1)!
n=0
a(a − 1) . . . (a − k + 1) k
x + o(xn )
k!
DL
f
n
X
1
1−x
k=0
n
X
1
1+x
(−1)k xk + o(xn )
k=0
∞
X
ln(1 + x)
(−1)k+1
k=0
ln (1 − x)
arctan(x)
xk + o(xn )
−
n
X
k=0
n
X
xk
k=0
(−1)k
k
xk
+ o(xn )
k
+ o(xn )
2k+1
x
+ o(x2k+1 )
(2k + 1)
II.6. Exemples de calculs.
Déterminer le développement limité des fonctions suivantes au voisinage de 0 à l’ordre
n:
(1) f (x) = cos(x) ln(1 + x), n = 4
1
1
Réponse : f (x) = x − x2 − x3 + x4 ǫ(x)
2
6
(2) g(x) = cos(2x) sin(x), n = 6
Réponse : g(x) = x −
13 3
x + x4 ǫ(x)
6
1
(3) h(x) = (x7 − x6 + 13x5 − x2 + 1)(1 + x) 2 , n = 2
1
9
Réponse : h(x) = 1 + x − x2 + x2 ǫ(x)
2
8
(4) i(x) =
sin(x) − 1
, n=2
cos(x) + 1
1
1 1
Réponse : f (x) = − + x − x2 + x2 ǫ(x)
2 2
8
(5) j(x) = exp(cos(x)), n = 2
e
Réponse : f (x) = e − x2 + x3 ǫ(x)
2
x
(6) k(x) = (1 + arctan(x)) sin(x) , n = 2
Réponse : f (x) = 1 + x + x2 ǫ(x)
III. Applications
III.1. Position relative de courbes et tangentes.
L’existence d’une tangente non verticale au point d’abscisse x0 du graphe d’une fonction
f est équivalente à la dérivabilité de f en x0 , c’est à dire à l’existence d’un DL1 en x0 .
Proposition. Si, en x0 , on dispose d’un développement limité à un ordre p > 2 :
f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + ap (x − x0 )p + o((x − x0 )p )
avec ap 6= 0, alors la tangente à la courbe représentative de f en x0 est la droite
d’équation y = a0 + a1 (x − x0 ) et la position relative de la courbe par rapport à cette
tangente est donnée par le signe de ap (x − x0 )p .
III.2. Développement asymptotique.
Soit f définie au voisinage de l’infini, et telle que lim |f (x)| = +∞. L’existence d’une
x→∞
asymptote au graphe de f est équivalente à l’existence de constante a et b et d’une fonction
ε qui tend vers 0 en l’infinie telles que f (x) = a + bx + ε(x).
Méthode S’il existe un entier p > 1 et des réels a0 , a1 , ap+1 avec ap+1 6= 0 tels que
ap+1
1
f (x) = a0 x + a1 + p + o
x
xp
alors la droite d’équation y = a0 x + a1 est asymptote au graphe de f , et, au voisinage de
∞, la position relative de la courbe par rapport à cette asymptote est donnée par le signe
ap+1
de p .
x
Dans ce cas, on dit que f admet un développement asymptotique au voisinage de l’infini.
f (x)
.
Pour obtenir un tel développement, on calcul un DS à l’ordre p + 1 de
x
Exemple. f (x) =
Alors on a
c’est à dire
r
x3
1
En posant u = , on a
x−1
x
v
u 1
u
u 3
f (x)
u
1
u
√
.
= uu
=
t
1
x
|u| 1 − u
−1
u
f (x)
1
3
1
=1+
+ 2 +o
.
x
2x 8x
x2
3
1
1
.
+o
f (x) = x + +
2 8x
x