Cours d`analyse - EQUIVALENTS ET DL —— 2015/2016

Cours d’analyse - EQUIVALENTS
ET DL
——
2015/2016
CPUS
Ce cours est un résumé très succinct des notions sur le comportement local des fonc-
tions. Il doit s’accompagner d’un cours plus complet sur le sujet, notamment le cours de
HLMA202.
I. Equivalents
Définition.Soient fet gdeux fonctions définie au voisinage de x0. On dit que
fet gsont équivalentes au voisinage de x0lorsqu’il existe une fonction εtelle que
lim
x→x0
ε(x) = 0 et f(x) = (1 + ε(x0))g(x). On note alors f(x)∼
x0
g(x)
Proposition.On a :
lim
x→x0
f(x) = ℓ⇔f(x)∼
x0
ℓ.
Théorème.L’équivalence est conservée par le produit, le quotient (lorsque le déno-
minateur ne s’annule pas) et l’élévation à une puissance indépendante de la variable)
Démonstration.✎✎✎ 
ATTENTION : l’équivalence n’est pas toujours conservée par l’addition ou la compo-
sition.
Exemple.x+x2∼
0xet −x∼ 0xmais x2n’est pas équivalent à −x.
Proposition.Au voisinage de ∞:
•Une fonction polynôme est équivalente à son terme de plus haut degré
•Une fraction rationnelle est équivalente au quotient de ses termes de plus haut
degré
Théorème.Si f−−−→
x→x0
Let si f∼
x0
galors g−−−→
x→x0
L
Démonstration.✎✎✎ 
II. Développements limités
1

II.1. Définition.
Définition.On dit qu’une fonction fadmet un développement limité au voisinage
de aà l’ordre ns’il existe des réels a0,...,antels que :
f(x) = a0+a1(x−a) + a2(x−a)2+···+an(x−a)n+o((x−a)n).
Proposition.Si fadmet un DLn(a), alors ce DLnest unique.
Exemple.Une fonction polynômiale admet un DLn(a)pour tout n∈Net pour tout
a∈R.
Proposition.Si fest de classe Cn+1(I), alors fadmet un DLn(a)pour tout a∈I.
Démonstration.On utilise Taylor avec reste intégral. 
II.2. DL et régularité.
Proposition.Pour toute fonction fdéfinie sur un voisinage de a,fadmet un
DL0(a)si et seulement si fest continue en a. Dans ce cas, a0=f(a).
Démonstration.Supposons fcontinue en a. Alors, f(x)→f(a)donc f(x) = f(a) + o(1).
Réciproquement, s’il existe a0tel que f(x) = a0+o(1), alors lim
x→af(x) = a0et donc f
est continue en aet f(a) = a0.
Remarque.Si aest adhérent à l’ensemble de définition de f, et si fadmet un DL1(a),
alors fest prolongeable par continuité en a.
Proposition.fadmet un DL1(a)si et seulement si fest dérivable en a. Dans ce
cas, a1=f′(a).
Démonstration.✎✎✎ 
Remarque.Cela ne marche plus pour les DLn, avec n>2.
✎✎✎ Vérifier que la fonction fdéfinie par f(x) = x+x3+ sin( 1
x2)si x6= 0, et
f(0) = 0 possède un DL2(0) mais n’est pas 2 fois dérivable.
II.3. Existence de DL.
Théorème.Si fest de classe Cn, alors fpossède un DLn(a)donné par
f(x) = f(a) + (x−a)f′(a) + ···+(x−a)n
n!f(n)(a) + o((x−a)n).
Démonstration.Traitons le cas a= 0.
•Si n= 0, il suffit de remarquer que f−f(0) tend vers 0, donc que f(x) = f(0)+o(1).
•Si n>1, on définie la fonction εsur Ipar ε(0) = 0 et pour x6= 0,
ε(x) =
f(x)−
n
X
k=0
xk
k!fk(0)
xn.
Montrons que εtend vers 0.

Quitte à remplacer fpar gdéfinie par g(x) = f(x)−f(n)(0)xn
n!qui a les mêmes dérivées
en aque f, sauf la nème qui est nulle, on peut supposer que f(n)(0) = 0.fest de classe
Cndonc d’après la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre n−1, on a
xnε(x) = Zx
0
(x−t)n−1
(n−1)! f(n)(t)dt.
Soit α > 0. La fonction f(n)est continue en 0, donc il existe un réel η > 0tel que
∀u∈,|u|6η⇒ |f(n)(u)|6(n−1)!α.
Si x∈Iest tel que |x|6η, alors pour tout t∈[0, x],f(n)(t)6α, et (x−t)n−16xn−1.
Alors, |xnε(x)|< xnαet finalement, |ε(x)|6α.
II.4. Opérations sur les DL.
(1) Intégration et dérivation des DL
•Si fest dérivable sur un voisinage de a, le DLn(0) de f′est obtenu en
dérivant terme à terme le DLn+1 de f.
•Si fest dérivable sur un voisinage de a, alors le DLn(a)de fest obtenu en
intégrant terme à terme le DLn−1de f′.
(2) Troncature : Si m6n, le DLmde fest obtenu à partir du DLnen ne gardant
que les puissances de xinférieures ou égales à m.
(3) Opérations sur les DL :
•Le DLnde f+gest obtenu en sommant le DLnde favec celui de g.
•Le DLnde fg est obtenu en multipliant les DLnde fet get en tronquant
le résultat obtenu à l’ordre n.
•Si le DLn(0) de fest f(x) = a0+a1x+...anxn+o(xn)et si a0= 0, alors le
DLn(0) de g◦fest obtenu en « remplaçant »dans le DLn(0) de gla variable
xpar l’expression a0+a1x+...anxn, en tronquant toujours à l’ordre n.
•Si le DLn(0) de fest f(x) = a0+a1x+...anxn+o(xn)et si a06= 0, alors
le DLnde 1
fest obtenu en utilisant le DL de fet celui de 1 1 + x.
II.5. DL de référence.
fDL
ex
n
X
k=0
xk
k!+o(xn)
cos(x)
n
X
k=0
(−1)kx2k
(2k)! +o(x2n+1)
sin(x)
∞
X
k=0
(−1)kx2k+1
(2k+ 1)! +o(x2n+2)
ch(x)
n
X
n=0
x2n
(2n)! +o(x2n)
sh(x)
n
X
n=0
x2n+1
(2n+ 1)! +o(x2n+1)
(1 + x)a1 +
n
X
k=1
a(a−1) ...(a−k+ 1)
k!xk+o(xn)
fDL
1
1−x
n
X
k=0
xk+o(xn)
1
1 + x
n
X
k=0
(−1)kxk+o(xn)
ln(1 + x)
∞
X
k=0
(−1)k+1 xk
k+o(xn)
ln (1 −x)−
n
X
k=0
xk
k+o(xn)
arctan(x)
n
X
k=0
(−1)kx2k+1
(2k+ 1) +o(x2k+1)

II.6. Exemples de calculs.
Déterminer le développement limité des fonctions suivantes au voisinage de 0 à l’ordre
n:
(1) f(x) = cos(x) ln(1 + x), n = 4
Réponse : f(x) = x−1
2x2−1 6x3+x4ǫ(x)
(2) g(x) = cos(2x) sin(x), n = 6
Réponse : g(x) = x−13
6x3+x4ǫ(x)
(3) h(x) = (x7−x6+ 13x5−x2+ 1)(1 + x)1
2, n = 2
Réponse : h(x) = 1 + 1
2x−9 8x2+x2ǫ(x)
(4) i(x) = sin(x)−1
cos(x) + 1, n = 2
Réponse : f(x) = −1
2+1 2x−1 8x2+x2ǫ(x)
(5) j(x) = exp(cos(x)), n = 2
Réponse : f(x) = e−e
2x2+x3ǫ(x)
(6) k(x) = (1 + arctan(x))
x
sin(x), n = 2
Réponse : f(x) = 1 + x+x2ǫ(x)
III. Applications
III.1. Position relative de courbes et tangentes.
L’existence d’une tangente non verticale au point d’abscisse x0du graphe d’une fonction
fest équivalente à la dérivabilité de fen x0, c’est à dire à l’existence d’un DL1en x0.
Proposition.Si, en x0, on dispose d’un développement limité à un ordre p>2:
f(x) = a0+a1(x−x0) + ap(x−x0)p+o((x−x0)p)
avec ap6= 0, alors la tangente à la courbe représentative de fen x0est la droite
d’équation y=a0+a1(x−x0)et la position relative de la courbe par rapport à cette
tangente est donnée par le signe de ap(x−x0)p.
III.2. Développement asymptotique.
Soit fdéfinie au voisinage de l’infini, et telle que lim
x→∞ |f(x)|= +∞. L’existence d’une
asymptote au graphe de fest équivalente à l’existence de constante aet bet d’une fonction
εqui tend vers 0 en l’infinie telles que f(x) = a+bx +ε(x).
Méthode S’il existe un entier p>1et des réels a0, a1, ap+1 avec ap+1 6= 0 tels que
f(x) = a0x+a1+ap+1
xp+o1 xp
alors la droite d’équation y=a0x+a1est asymptote au graphe de f, et, au voisinage de
∞, la position relative de la courbe par rapport à cette asymptote est donnée par le signe
de ap+1
xp.
Dans ce cas, on dit que fadmet un développement asymptotique au voisinage de l’infini.
Pour obtenir un tel développement, on calcul un DS à l’ordre p+ 1 de f(x)
x.

Exemple.f(x) = rx3
x−1En posant u=1 x, on a
f(x)
x=uv
u
u
u
u
t
1
u3
1
u−1
=u
|u|
1
√1−u.
Alors on a f(x)
x= 1 + 1 2x+3 8x2+o1 x2.
c’est à dire
f(x) = x+1
2+3 8x+o1 x.