le rotationnel d`un

CPGE PSI 2011-2012 E. SAUDRAIS
Mathématiques et physique Analyse vectorielle
1. Champ d’une grandeur
Le champ d’une grandeur physique gdans un domaine Dde l’espace à un instant test
défini par la donnée de g(M,t) en tout point Mde D.
Nature du champ
Champ scalaire : champ d’une grandeur scalaire G(M,t). Exemples : champ de température, de pres-
sion, de potentiel électrostatique.
Champ vectoriel : champ d’une grandeur vectorielle #» A(M,t). Exemples : champ des vitesses d’un so-
lide, champ électrique.
Propriétés du champ
Champ uniforme : sa valeur à un instant test la même en tout point du domaine D. Elle ne dépend
donc que du temps : G(M,t)=G(t) ou #» A(M,t)=
#»
A(t).
Champ permanent (ou stationnaire) : sa valeur en tout point Mne dépend pas du temps. Elle ne
dépend donc que des coordonnées d’espace : G(M,t)=G(M) ou #» A(M,t)=
#»
A(M).
Champ constant : champ à la fois uniforme et permanent. Sa valeur et la même en tout point et à
chaque instant : G(M,t)=G0ou #» A(M,t)=
#»
A0.
On peut définir les lignes de champ et des tubes de champ pour un champ vectoriel :
Ligne de champ d’un champ vectoriel #» A(M,t) : c’est la courbe tangente en chacun de ses points au
champ #» A(M,t) à l’instant t.
Tube de champ : c’est l’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur un contour.
2. Circulation d’un champ vectoriel
Γ
Σ1
d#» S1
Σ2d#»
S2
Un contour Γest une courbe fermée orientée. On l’oriente ar-
bitrairement en lui associant un sens de parcours. L’orienta-
tion du contour défini l’orientation de toute surface Σs’ap-
puyant sur Γselon la règle de Maxwell, appelée familièrement
« règle du tire-bouchon » : un tire-bouchon dont le manche
tourne dans le sens de l’orientation du contour avance dans
le sens de l’orientation de la surface.
äLe choix de l’orientation du contour ou de la surface est arbi-
traire, mais on ne peut pas orienter indépendamment le con-
tour et la surface.
äPar convention, une surface fermée est orientée vers l’extérieur.
La circulation d’un champ vectoriel #» A(M,t) d’un point Pà un point Qle long d’une courbe Γorientée
est définie par
CPQ (t)=ˆQ
P,Γ
#»
A(M,t)·d#» lM.
6. L’OPÉRATEUR GRADIENT
äLa circulation est une grandeur algébrique dont le signe dépend du choix d’orientation de la
courbe.
äLa circulation du champ le long d’un contour orienté est notée C(t)=˛M∈Γ
#»
A(M,t)·d#» lM.
äLa circulation élémentaire d’un champ vectoriel est une forme différentielle :
δC(t)=
#»
A(M,t)·d#» lP.
äExemple de circulation en physique : le travail d’une force δW=
#»
F·d#» l.
3. Champ à circulation conservative
Un champ vectoriel #» A(M,t) est dit à circulation conservative si ˛M∈Γ
#»
A(M,t)·d#» lM=0, ∀Γ.
äLa circulation d’un champ à circulation conservative entre deux point est indépendante du che-
min suivi entre ces deux points.
4. Flux d’un champ vectoriel
Le flux d’un champ vectoriel #» A(M,t) à travers une surface orientée Σest défini par
Φ(t)=M∈Σ
#»
A(M,t)·d#» SM.
äLe flux est une grandeur algébrique dont le signe dépend du choix d’orientation de la surface.
äLe flux à travers une surface fermée est noté Φ(t)=M∈Σ
#»
A(M,t)·d#» S.
äExemple de flux en physique : l’intensité électrique est le flux du vecteur densité de courant
électrique I=Σ
#»
ȷ·d#» S.
5. Champ à ux conservatif
Un champ vectoriel #» A(M,t) est à flux conservatif si M∈Σ
#»
A(M,t)·d#» SM=0 , ∀Σ.
äLe flux d’un champ à flux conservatif à travers une surface s’appuyant sur un contour orienté
ne dépend pas du choix de cette surface ; on peut alors parler du flux du champ à travers un
contour.
äLe flux d’un champ à flux conservatif est constant à travers toute section d’un tube de champ. Le
champ est donc plus intense lorsque les lignes de champ se resserrent.
6. L’opérateur gradient
Soit un champ scalaire G(M,t). Sa variation dGentraînée par un déplacement élémentaire d#» lde
Mest, par définition de l’opérateur gradient :
dG=
# »
gradG(M,t)·d#» lM
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8. THÉORÈME D’OSTROGRADSKI
äM′se déduit de Mpar une variation élémentaire de chacune de ses coordonnées.
äOn peut écrire dG(t)=G(M′,t)−G(M,t) avec # » M M ′=d#» l; on peut considérer ce terme comme
la variation de Gquand Mse déplace de d#» l.
äOn retiendra l’expression du gradient en coordonnées cartésiennes :
# »
gradG=∂G
∂x
#»
ex+∂G
∂y
#»
ey+∂G
∂z
#»
ez.
äL’opérateur gradient s’applique à un champ scalaire, qu’il transforme en un champ vectoriel.
äL’opérateur gradient est linéaire : ∀(λ,µ)∈R2,# » grad(λG1+µG2)=λ
# »
gradG1+µ
# »
gradG2.
äL’ensemble des points Mtels que G(M,t)=cte définit une surface.
äEn tout point Md’une surface G(M,t)=cte, le vecteur # » gradG(M,t) est normal à cette surface, et
dirigé dans le sens des Gcroissants.
äUn champ uniforme a un gradient nul. Réciproquement, un champ de gradient nul dans un
domaine de l’espace est uniforme dans ce domaine.
Tout champ de gradient est à circulation conservative :
∃G(M,t), #» A(M,t)=
# »
gradG(M,t)⇐⇒ ˛M∈Γ
#»
A(M,t)·d#» lM=0 ;∀Γ
äD’après la définition du gradient : ˛M∈Γ
# »
gradG(M,t)·d#» l=˛dG=0
äSi #» A=
# »
gradG, sa circulation élémentaire est une différentielle exacte : δC=
#»
A·d#» l=dG.
äExemple de champ à circulation conservative : un force conservative. Ce champ de force dérive
alors d’un potentiel : #» F= −
# »
gradEp.
7. L’opérateur divergence
Soit un champ scalaire #» A(M,t). Son flux dΦà travers la surface délimitant le volume élémentaire
dτentourant le point Mest, par définition de l’opérateur divergence :
dΦ(t)=div #» A(M,t)dτM
äOn retiendra son expression en coordonnées cartésiennes
div #» A=∂Ax
∂x
+∂Ay
∂y
+∂Az
∂z
avec #» A=Ax(M,t)#» ex+Ay(M,t)#» ey+Az(M,t)#» ez.
äL’opérateur divergence s’applique à un champ vectoriel, qu’il transforme en un champ scalaire.
äL’opérateur divergence est linéaire : ∀(λ,µ)∈R2, div(λ
#»
A1+µ
#»
A2)=λdiv #» A1+µdiv #» A2.
8. Théorème d’Ostrogradski
Soit un champ vectoriel #» A(M,t) défini en tout point d’un volume Vdélimité par une surface Σ:
P∈Σ
#»
A(P,t)·d#» SP=M∈V div #» A(M,t)dτM.
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10. THÉORÈME DE STOKES
äS’il existe un point de singularité (où le champ n’est pas défini) à l’intérieur du volume V, le
théorème d’Ostrogradski ne s’applique pas.
Une conséquence de ce théorème est :
Tout champ à divergence identiquement nulle est à flux conservatif, et réciproquement :
P∈Σ
#»
A(P,t)·d#» SP=0 , ∀Σ⇐⇒ div #» A(M,t)=0∀M.
9. L’opérateur rotationnel
Soient un champ vectoriel #» A(M,t). Sa circulation dCà travers un contour élémentaire orienté dΓ
entourant le point Mest, par définition de l’opérateur rotationnel :
dC(t)=
# »
rot #» A(M,t)·d#» SM
où d#» Sest une surface élémentaire orientée s’appuyant sur dΓ.
äCette définition est indépendante du choix de la surface d#» Ss’appuyant sur Γ:un rotationnel
est à flux conservatif.
äL’opérateur rotationnel s’applique à un champ vectoriel, qu’il transforme en un champ vectoriel.
äL’opérateur rotationnel est linéaire : ∀(λ,µ)∈R2,# » rot(λ
#»
A1+µ
#»
A2)=λ# » rot #» A1+µ# » rot #» A2.
äLe rotationnel d’un vecteur polaire est un vecteur axial; le rotationnel d’un vecteur axial est un
vecteur polaire.
10. Théorème de Stokes
Soit un champ vectoriel #» A(M,t) défini en tout point d’une surface Σs’appuyant sur un contour
orienté Γ:˛P∈Γ
#»
A(P,t)·d#» lP=M∈Σ
# »
rot #» A(M,t)d#» SM.
äCe résultats est vrai pour toute surface Σs’appuyant sur Γ.
äLes orientations du contour Γet de la surface Σne sont pas indépendantes, mais reliées par la
règle de Maxwell.
äS’il existe un point de singularité (où le champ n’est pas défini) à l’intérieur du volume V, le
théorème de Stokes ne s’applique pas.
Une conséquence de ce théorème est :
Tout champ à rotationnel identiquement nul est à circulation conservative, et réciproquement :
˛P∈Γ
#»
A(P,t)·d#» lP=0 , ∀Γ⇐⇒
# »
rot #» A(M,t)=
#»
0∀M.
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13. CHAMP VECTORIEL À CIRCULATION CONSERVATIVE
11. L’opérateur laplacien
1) Laplacien scalaire
Le laplacien d’un champ scalaire G(M,t) est défini par
∆G(M,t)=div# » gradG(M,t)
äL’opérateur laplacien ∆s’applique à un champ scalaire, qu’il transforme en un champ scalaire.
äCet opérateur est linéaire.
äOn retiendra son expression en coordonnés cartésiennes :
∆G=∂2G
∂x2+∂2G ∂y2+∂2G ∂z2
2) Laplacien vectoriel
Le laplacien d’un champ vectoriel #» A(M,t) est défini par
∆
#»
A(M,t)=
# »
grad div #» A(M,t)−
# »
rot # » rot #» A(M,t)
äCet opérateur est parfois noté #» ∆. Il s’applique à un champ vectoriel, qu’il transforme en un
champ vectoriel.
äEn coordonnées cartésiennes uniquement, en notant #» A=Ax(M,t)#» ex+Ay(M,t)#» ey+Az(M,t)#» ez,
il s’exprime en fonction des laplaciens des coordonnées :
∆
#»
A(M,t)=∆Ax(M,t)#» ex+∆Ay(M,t)#» ey+∆Az(M,t)#» ez
où ∆Ax(M,t)=∂2Ax(M,t)
∂x2+∂2Ax(M,t) ∂y2+∂2Ax(M,t) ∂z2, et de même pour les deux autres compo-
santes.
12. Champ vectoriel à ux conservatif
La divergence d’un rotationnel est identiquement nulle : div# » rot #» A(M,t)=0 .
Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ soit à flux conservatif est qu’il soit un
champ de rotationnel :
div #» A(M,t)=0 ;∀M⇐⇒ ∃
#»
R(M,t) , #» A(M,t)=
# »
rot #» R(M,t)
13. Champ vectoriel à circulation conservative
Le rotationnel d’un gradient est identiquement nul : # » rot # » gradG(M,t)=
#»
0 .
Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ soit à circulative conservatif est qu’il soit
un champ de gradient :
# »
rot #» A(M,t)=
#»
0 ;∀M⇐⇒ ∃G(M,t) , #» A(M,t)=
# »
gradG(M,t)
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14. L’OPÉRATEUR NABLA
14. L’opérateur nabla
L’opérateur nabla, noté #» ∇, est appelé aussi opérateur de dérivation spatiale. Il permet d’exprimer les
opérateurs vectoriels :
# »
gradG=
#»
∇G; div #» A=
#»
∇ ·
#»
A;# » rot #» A=
#»
∇ ∧
#»
A
Expression de l’opérateur nabla dans les divers systèmes de coordonnées :
Coordonnées cartésiennes :
#»
∇ = ∂
∂x
#»
ex+∂
∂y
#»
ey+∂
∂z
#»
ez
Coordonnées cylindriques :
#»
∇ = ∂
∂r
#»
er+1
r
∂
∂θ
#»
eθ+∂
∂z
#»
ez
Coordonnées sphériques :
#»
∇ = ∂
∂r
#»
er+1
r
∂
∂θ
#»
eθ+1
rsinθ
∂
∂φ
#»
eφ
äL’opérateur laplacien s’écrit comme le carré scalaire de l’opérateur nable : ∆=
#»
∇ ·
#»
∇.
Mais qui étaient-ils ?
Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradski (1801-1862), mathématicien et physi-
cien russe. Il fut étudiant à la Sorbonne puis au Collège de France à Paris, de
1822 à 1826. Il rentra en Russie en 1828 et fut élu à l’académie des sciences de
Saint-Pétersbourg. Il démontra en 1831 le théorème de flux-divergence, ini-
tialement découvert par Lagrange en 1762, puis redécouvert indépendam-
ment par Gauss en 1813 et par Green en 1825. Ses travaux ont porté sur le
calcul des variations, l’intégration des fonctions algébriques, la théorie des
nombres, l’algèbre, la géométrie, les probabilités et la mécanique classique,
apportant des contributions importantes dans l’étude du mouvement des
corps élastiques et dans le développement de méthodes d’intégration des
équations de la dynamique.
George Gabriel Stokes (1819-1903), mathématicien et physicien britan-
nique. Ses contributions les plus importantes concernent la dynamique
des fluides (équation de Navier-Stokes), l’optique et la physique mathéma-
tique (théorème de Stokes). Le théorème de Stokes a été initialement dé-
couvert par William Thomson qui l’a communiqué à Stokes en 1850. C’est
un théorème général sur l’intégration des formes différentielles. L’énoncé
Σ
# »
rot #» A·d#» S=¸Γ
#»
A·d#» l, connu aussi sous le nom de théorème de Kelvin-
Stokes, ou théorème du rotationnel, n’en est qu’une application particulière.
Entre autres, il étudia les fluides visqueux, expliqua la fluorescence et étudia
la polarisation de la lumière.
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14. L’OPÉRATEUR NABLA
Formulaire
Opérateur gradient
Coordonnées cartésiennes :
# »
gradG=∂G
∂xy,z
#»
ex+∂G
∂yx,z
#»
ey+∂G
∂zx,y
#»
ez
Coordonnées cylindriques :
# »
gradG=∂G
∂rθ,z
#»
er+1
r∂G ∂θ r,z
#»
eθ+∂G
∂zr,θ
#»
ez
Coordonnées sphériques :
# »
gradG=∂G
∂rθ,φ
#»
er+1
r∂G ∂θ r,φ
#»
eθ+1
rsinθ∂G ∂φ r,θ
#»
eφ
Opérateur divergence
Coordonnées cartésiennes : div #» A=∂Ax
∂xy,z
+∂Ay
∂yx,z
+∂Az
∂zx,y
Coordonnées cylindriques : div #» A=1
r∂(r Ar) ∂rθ,z
+1
r∂Aθ ∂θ r,z
+∂Az
∂zr,θ
Coordonnées sphériques : div #» A=1
r2∂(r2Ar) ∂rθ,φ
+1
rsinθ∂(sinθAθ) ∂θ r,φ
+1
rsinθ∂Aφ ∂φ r,θ
Opérateur rotationnel
Coordonnées cartésiennes : # » rot #» A=∂Az
∂y
−∂Ay
∂z#»
ex+∂Ax
∂z
−∂Az
∂x#»
ey+∂Ay
∂x
−∂Ax
∂y#»
ez
Coordonnées cylindriques : # » rot #» A=1
r
∂Az
∂θ −∂Aθ ∂z#»
er+∂Ar
∂z
−∂Az
∂r#»
eθ+1
r∂(r Aθ) ∂r
−∂Ar
∂θ #»
ez
Coordonnées sphériques : # » rot #» A=1
rsinθ∂(sinθAφ) ∂θ −∂Aθ ∂φ #»
er+1
r1 sinθ
∂Ar
∂φ −∂(r Aφ) ∂r#»
eθ+1
r∂(r Aθ) ∂r
−∂Ar
∂θ #»
eφ
Laplacien
Coordonnées cartésiennes : ∆G=∂2G
∂x2+∂2G ∂y2+∂2G ∂z2
Coordonnées cylindriques : ∆G=1
r
∂
∂rr∂G ∂r+1 r2
∂2G
∂θ2+∂2G ∂z2
Coordonnées sphériques : ∆G=1
r2
∂
∂rr2∂G ∂r+1 r2sinθ
∂
∂θ sinθ∂G ∂θ +1
r2sin2θ
∂2G
∂φ2
=1
r
∂2(rG)
∂r2+1 r2sinθ
∂
∂θ sinθ∂G ∂θ +1
r2sin2θ
∂2G
∂φ2
Soient a=a(M,t) et b=b(M,t) deux champs scalaires, et #» A=
#»
A(M,t) et #» B=
#»
B(M,t) deux champs vectoriels.
On a les relations :
ä
# »
grad(ab)=a
# »
gradb+b
# »
grada
ädiv(a
#»
A)=adiv #» A+
# »
grada·
#»
A
ädiv(#» A∧
#»
B)=
#»
B·
# »
rot #» A−
#»
A·
# »
rot #» B
ä# » rot(a
#»
A)=a# » rot #» A+
# »
grada∧
#»
A
ä# » rot(# » grada)=
#»
0
ädiv(# » rot #» A)=0
ä# » rot(# » rot #» A)=
# »
grad(div #» A)−∆
#»
A
ädiv #» B=0⇐⇒ ∃
#»
A,#» B=
# »
rot #» A
ä# » rot #» A=0⇐⇒ ∃a,#» A=
# »
grada
PSI Jacam — E. Saudrais
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