ELM0:Eléments d`analyse vectorielle (cours diaporama)

Eléments d’analyse vectorielle
Sommaire
champ scalaire, champ vectoriel
opérateur « nabla »
opérateur «gradient »
opérateur «divergence »
opérateur « rotationnel »
opérateur « Laplacien »
Systèmes de coordonnées cylindriques, sphériques
Lignes de champ (d’un champ vectoriel)
Lignes ou surfaces équipotentielles (d’un champ scalaire)
Circulation d’un champ vectoriel sur un contour
Flux d’un champ vectoriel à travers une surface
Théorême de Stokes
Théorême d’Ostrogradski

f (x,y,z) désigne un champ scalaire (exemple: champ de pression atmosphérique)
A(Ax, Ay, Az) désigne un champ vectoriel (exemple: vitesse du vent atmosphérique)
chaque composante est un champ scalaire dépendant de (x, y, z)
Rappel: produit scalaire (est un nombre réel)
A.B = Ax Bx+ Ay By + Az Bz = ||A|| ||B|| cos(A,B)
Propriété: A.B = 0 si Aorthogonal à B
Exemple: le travail d’une force dW = F.dOM (moteur ou résistant selon signe)
Rappel: produit vectoriel (est un vecteur)
A ΛB= (Ay Bz- AzBy , Az Bx- AxBz,Ax By - Ay Bx) est orthogonal à A et à B
||A ΛB|| = ||A|| ||B|| |sin(A,B)| = surface du parallélogramme (A, B)
Propriété: A ΛB= 0si Acolinéaire à B
B
A
Dans tout le cours, les vecteurs sont en caractères gras

A
B
A pouce
B index
A ΛB majeur
Règle des doigts de la
main droite
A ΛB
orthogonal à
A et à B
Règles mnémoniques
d’orientation du produit
vectoriel et de calcul par
duplication des deux
premières lignes et
produits en croix
A
x
A
y
A
z
A
x
A
y
B
x
B
y
B
z
B
x
B
y
A
y
B
z
-A
z
B
y
= A
z
B
x
-A
x
B
z
A
x
B
y
-A
y
B
x

Rappel: dérivées partielles
Si f(x,y,z) est un champ scalaire, ses dérivées partielles par rapport aux variables spatiales x, y, z
(coordonnées d’un point M) sont notées avec des « ∂ronds »: ∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z
∂f/∂x est la dérivée de f(x,y,z) par rapport à x en gardant y et z constants
différentielle df = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy + (∂f/∂z) dz = grad f . dOM
En coordonnées cartésiennes, on définit:
- L'opérateur « nabla »: ∇= (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) ou opérateur «dérivées partielles »
- L'opérateur gradient: grad f= ∇f= (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)
- L'opérateur divergence:div A= ∇. A = ∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂z
(produit scalaire de ∇et de A)
- L'opérateur rotationnel: rot A = ∇ΛA
(produit vectoriel de ∇et A) tel que (utiliser la règle mnémonique entre ∇et A):
rot A = ( ∂Az/∂y - ∂Ay/∂z , ∂Ax/∂z - ∂Az/∂x , ∂Ay/∂x - ∂Ax/∂y )

- Coordonnées cylindriques M(r, θ, z), trièdre mobile (er, eθ, ez)
OM = r er+ z ez
- Coordonnées sphériques M(r, θ, φ), trièdre mobile (er, eθ, eφ)
OM = r er
dOM = dr er+ r dθeθ+ r sinθdφeφ
d’une part: der/dθ=eθet deθ/dθ= - er
Et d’autre part: der/dφ= sinθeφet deθ/dφ= cosθeφ
-Coordonnées polaires dans un plan M(r, θ)
= coordonnées cylindriques sans z
dOM = dr er + r dθeθ+dz ez
der/dθ=eθet deθ/dθ= - er
eφ∈plan (xOy)