Chapitre 7 : Trigonométrie I. Longueur d`arc de cercle II

Chapitre 7 : Trigonométrie
I. I. Longueur d’arc de cercle
Par cœur : Le périmètre d’un cercle de rayon  : 
L’aire d’un disque de rayon  : 
Savoir-faire : calculer la longueur d’un arc de cercle
Le cercle a pour rayon 1.
Chaque petit arc a la même longueur.
Quel est la longueur du grand arc de
cercle  ?
Chaque petit segment a la même
longueur.
Le petit arc a une longueur de .
Calculer la longueur de chaque arc.
Le cercle a un rayon de 1.
L’angle au centre vaut 
Combien mesure le petit arc  ?
Le périmètre du cercle est :
L’arc représente les 
 de la
circonférence
Donc longueur de l’arc est :
 unités de longueur
A angle au centre constant, les arcs
ont des longueurs proportionnelles
au rayon.
   unités de longueur
   unités de longueur
  unités de longueur
   unités de longueur
La longueur d’un demi-cercle est de ,
obtenue pour un angle au centre de 180°
A rayon constant, la longueur de l’arc de
cercle est proportionnelle à l’angle au
centre.
Donc la longueur de l’arc  est :
 unités de longueur
II. Enroulement de la droite numérique
Par cœur : Soit  un repère orthonormé du plan. Le cercle trigonométrique est celui qui a pour centre  et de rayon de
1 et orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre).
Image d’un réel sur le cercle trigonométrique
 est le cercle trigonométrique de centre  (et donc de rayon 1 unité
de longueur)
Le plan est muni d’un repère orthonormé    direct : quand on
se déplace de  à  sur le cercle selon le parcours le plus court, on
tourne dans le sens inverse des aiguilles d’un montre.
Soit . On considère la droite graduée par 
On enroule cette droite sur le cercle : chaque réel  vient s’appliquer
sur un  du cercle. On dit que  est l’image du réel .
De manière plus « naïve »
Pour trouver l’image du réel  positif, on « part » du point  et on
parcourt le cercle dans le sens direct jusqu’à ce que la longueur soit
égale à  unités de longueur.
Pour trouver l’image du réel  négatif, on « part » du point  et on
parcourt le cercle dans le sens indirect jusqu’à ce que la longueur soit
égale à  unités de longueur (étant négatif,est lui positif.

Justifier pour comprendre (le cercle est le cercle trigonométrique. M est sur le cercle)
Exercice 1 :
Quelle est la
longueur de l’arc
 ?
Réponse :
 est la diagonale d’un petit carré. Donc 
donc l’arc  mesure : 
 unités de longueur
Exercice 2 :  médiatrice de 
Quelle est la
longueur de l’arc
 ?
Réponse :
Comme et sont deux points d’un même cercle de centre  
Comme est sur la médiatrice de est équidistant des extrémités de
segment donc  
Donc les côtés de sont égaux donc le triangle est équilatéral donc 
Donc l’arc  mesure : 
 unités de longueur
Exercice 3 :  médiatrice de 
Quelle est la
longueur de
l’arc  ?
Réponse :
Comme et sont deux points d’un même cercle de centre  
Comme est sur la médiatrice de   
Donc le triangle est équilatéral donc 
Donc 
Donc l’arc  mesure 
 unités de longueur
A retenir
Savoir-faire : Pour chacun des points du cercle trigonométrique, écrire trois réels qui l’ont pour image (deux positifs et un
négatif)
Réponses:

Théorème : Les réels  et  ont la même image si et seulement si   où   
 désigne l’ensemble des entiers relatifs 
Savoir-faire : Donner trois réels négatifs et trois autres réels positifs qui ont la même image que 
Réponse
Autre présentation : on calcule 
 pour  valant successitvement 
Savoir tester si deux réels ont la même image :
1) Parmi les réels suivants, quels sont ceux qui ont la même image ? 
2) Pour nombre, trouver le réel  ayant la même image appartenant à 
Réponse
1) Idée : on regarde si la différence des deux nombres est de la forme  avec   
   donc 
On reconnait la forme  avec  entier    donc 
 et   ont la même image.
 On ne reconnait pas la forme  avec  entier (on aurait    )
donc 
 et   n’ont pas la même image (et donc   et   non plus).
2) 
 donc   
en enlevant , de la forme  avec  entier (  , à chaque membre, on obtient des réels ayant la même image
   donc   a la même image que   et   est dans 
  donc   
en ajoutant , de la forme  avec  entier (  , à chaque membre, on obtient des réels ayant la même image
  donc   a la même image que   et   est dans 
 donc   
en enlevant , de la forme  avec  entier (  , à chaque membre, on obtient des réels ayant la même image
   donc   a la même image que   et   est dans 
  donc   
en ajoutant , de la forme  avec  entier (  , à chaque membre, on obtient des réels ayant la même image
   donc   a la même image que   et   est dans 
Savoir-faire : Construire approximativement l’image de 
 sur le cercle trigonométrique (on utilisera un rapporteur)
Réponse :
Pour un angle au centre de  l’arc intercepté a une longueur de  unités de longueur
Pour un angle au centre de  l’arc intercepté a une longueur de 
 unités de longueur
L’angle au centre doit être de 
 degrés (soit environ 25,71° )

Savoir-faire : trouver des images de réels sur le cercle trigonométrique
1) Sur le cercle trigonométrique, placer les images de 
 ; de   ; de   ; de 
2) Colorier tous les points du cercle trigonométrique qui sont image d’un réel de 
3) Colorier tous les points du cercle trigonométrique qui sont image d’un réel de 
4) Sur le cercle trigonométrique, placer l’image de 
Réponses
Pour placer l’image de 
 on va éviter de compter jusqu’à 1253 … c’est long !
Comme 
    on a l’idée d’ajouter  à 
pour obtenir un réel plus simple qui a la même image ! 
Savoir-faire : trouver les réels ayant pour images des points donnés
 Trouver les réels ayant pour image 
Il y en a une infinité 
 avec    Autre réponse … 
 Trouver les réels ayant pour image 
Il y en a une infinité 
 avec    Autre réponse … 
 Quels sont les réels dont l’image a pour abscisses 
 ?
Les réels cherchés sont répartis en deux familles :
- Ceux qui ont pour images  : 
- Ceux qui ont pour image  : 
 Quels sont les réels dont l’image a pour ordonnée 
 ?
Les réels cherchés sont répartis en deux familles :
- Ceux qui ont pour images  : 
- Ceux qui ont pour image  : 
 Quels sont les réels de  dont l’image a pour ordonnée 
 ?
Ceux qui ont pour images  : … ; 
 ;   ;   ;   ;   ;   ;   ; …
Ceux qui ont pour image  : … ; 
 ;   ;   ;   ;   ;   ;   ; …
Les seuls nombres des deux listes compris dans  sont : 
 et 
III. Cosinus et sinus d’un nombre réel
Cas particulier Soit  un réel de 
.  est l’image de  sur le cercle trigonométrique.
Dans le triangle  rectangle en  : 
  et 
Ainsi,  a pour coordonnées 
.

Définition :  est un repère orthonormé direct et  est le cercle trigonométrique de centre .
Par cœur Soit  un réel. On note  son image sur le cercle.
Par définition, le cosinus de  noté  est l’abscisse de .
le sinus de , noté , est l’ordonnée de .
Remarque : Pour  réel de 
, M étant l’image de , on a :  
 et  
Propriétés (par cœur)
1) Pour tout réel ,      et    
2) Pour tout réel ,  écriture simplifiée de  
Preuve Les points du cercle trigonométrique ont tous leur abscisse compris entre  et  donc     
Les points du cercle trigonométrique ont tous leur ordonnée compris entre  et  donc   
 est l’origine du repère donc   Soit  l’image de , par définition 
Donc  or   donc  
Par cœur : Valeurs exactes remarquables
Justifier pour comprendre :
Nous avons vu que l’image de 
 est le point  du cercle dont l’ordonnée est   et l’abscisse positive.
D’après le théorème de Pythagore, dans le triangle  rectangle en  :  
donc   
 Comme ,  
Donc 
 donc   et 
Nous avons vu que l’image de 
 est le point  du cercle dont l’abscisse est   et l’ordonnée positive.
D’après le théorème de Pythagore, dans le triangle  rectangle en  :  
donc   
 Comme  ,   
Donc 
 donc   et 
Nous avons vu que l’image de 
 est le point  du cercle dont l’abscisse et l’ordonnée sont égales et
positives.
 est un carré, d’après le théorème de Pythagore,  
Comme    et  ,   donc 
donc   
Donc 
 donc   et 
Savoir –faire : En s’appuyant sur le cercle trigonométrique, donner les valeurs exactes des cosinus et sinus de réels liés au tableau
précédent
a) 
 et   b)   et   c)   et 
Réponses :
a) Soit  l’image de 
 et  l’image de 
On conjecture que  et  sont symétriques par rapport au point 
Donc ils ont des abscisses opposés et des ordonnées opposés.
D’après le cours, 
 et   donc 