Chapitre 7 : Trigonométrie I. Longueur d`arc de cercle II

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Chapitre 7 : Trigonométrie
I. Longueur
Par cœur :
d’arc de cercle
Le périmètre d’un cercle de rayon  : 2  
L’aire d’un disque de rayon  :
 2
Savoir-faire : calculer la longueur d’un arc de cercle
Le cercle a pour rayon 1.
Chaque petit segment a la même
Chaque petit arc a la même longueur.
longueur.
Le petit arc a une longueur de 3.
Quel est la longueur du grand arc de
cercle  ?
Calculer la longueur de chaque arc.
Le périmètre du cercle est :
2 = 2 × 1 = 2
14
L’arc représente les de la
20
circonférence
Donc longueur de l’arc est :
14
7
× 2 =
unités de longueur
A angle au centre constant, les arcs
ont des longueurs proportionnelles
au rayon.
 = 2 × 3 unités de longueur
 = 3 × 3 unités de longueur
 = 4 × 3 unités de longueur
ℎ = 5 × 3 unités de longueur
20
5
Le cercle a un rayon de 1.
L’angle au centre vaut 115°
Combien mesure le petit arc  ?
La longueur d’un demi-cercle est de ,
obtenue pour un angle au centre de 180°
A rayon constant, la longueur de l’arc de
cercle est proportionnelle à l’angle au
centre.
Donc la longueur de l’arc  est :
115
23
× =
unités de longueur
180
II.
36
Enroulement de la droite numérique
Par cœur :
Soit (; ; ) un repère orthonormé du plan. Le cercle trigonométrique est celui qui a pour centre  et de rayon de
1 et orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre).
Image d’un réel sur le cercle trigonométrique
 est le cercle trigonométrique de centre  (et donc de rayon 1 unité
de longueur)
Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ;  ; ) direct : quand on
se déplace de  à  sur le cercle selon le parcours le plus court, on
tourne dans le sens inverse des aiguilles d’un montre.
Soit (1,1). On considère la droite graduée par (, )
On enroule cette droite sur le cercle : chaque réel  vient s’appliquer
sur un  du cercle. On dit que  est l’image du réel .
De manière plus « naïve »
Pour trouver l’image du réel  positif, on « part » du point  et on
parcourt le cercle dans le sens direct jusqu’à ce que la longueur soit
égale à  unités de longueur.
Pour trouver l’image du réel  négatif, on « part » du point  et on
parcourt le cercle dans le sens indirect jusqu’à ce que la longueur soit
égale à − unités de longueur ( étant négatif, − est lui positif).
Justifier pour comprendre (le cercle est le cercle trigonométrique. M est sur le cercle)
Exercice 1 :
1
1
2
2
( ; )
Réponse :
̂ = 45°
() est la diagonale d’un petit carré. Donc 
Quelle est la
longueur de l’arc
 ?
Exercice 2 :  médiatrice de []
Quelle est la
longueur de l’arc
 ?
donc l’arc  mesure : 45 ×

180
=

Réponse :
Comme  et  sont deux points d’un même cercle de centre ,  = 
Comme  est sur la médiatrice de [],  est équidistant des extrémités de
segment donc  = 
̂ = 60°
Donc les côtés de  sont égaux donc le triangle est équilatéral donc 


Donc l’arc  mesure : 60 ×
= unités de longueur
180
Exercice 3 :  médiatrice de []
Quelle est la
longueur de
l’arc  ?
unités de longueur
4
3
Réponse :
Comme  et  sont deux points d’un même cercle de centre ,  = 
Comme  est sur la médiatrice de [],  = 
̂ = 60°
Donc le triangle est équilatéral donc 
̂ = 90 − 60 = 30°
Donc 


Donc l’arc  mesure 30 ×
= unités de longueur
180
6
A retenir
Savoir-faire :
négatif)
Réponses:
Pour chacun des points du cercle trigonométrique, écrire trois réels qui l’ont pour image (deux positifs et un
Théorème :
Les réels  et ′ ont la même image
si et seulement si  −  ′ =  × 2  où  ∈ ℤ
ℤ désigne l’ensemble des entiers relatifs { … ; −5 ; −4 ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; … }
Savoir-faire :
Donner trois réels négatifs et trois autres réels positifs qui ont la même image que

7
Réponse
−41
−27
−13

15
29
7
7
7

7
7
−2
−2
−2
+2
43
7
+2
+2

Autre présentation : on calcule +  × 2 pour  valant successitvement −3 ; −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; 3
7
Savoir tester si deux réels ont la même image :
1) Parmi les réels suivants, quels sont ceux qui ont la même image ?
127 
7
Pour nombre, trouver le réel  ayant la même image appartenant à ] −  ; ]:
2)
15 
−62 
7
17 
7
−43 
232 
−53
6
3
7
3
Réponse
1) Idée : on regarde si la différence des deux nombres est de la forme  × 2 avec  ∈ ℤ
127

7
15
−
7
=
112
7
= 16 = 8 × 2 donc
127
7
=
15
7
+ 8 × 2
On reconnait la forme  × 2 avec  entier  = 8 donc
127

7
−
donc
2)
−62
7
127
7
17
6
=
et
189
7
−62
7
= 27
15
et
7
127
7
ont la même image.
On ne reconnait pas la forme  × 2 avec  entier (on aurait  = 13,5 )
n’ont pas la même image (et donc
−62
7
et
15 
7
non plus).
17
≈ 2,83 donc 2 <
< 3
6
en enlevant 2, de la forme  × 2 avec  entier ( = 1), à chaque membre, on obtient des réels ayant la même image
17
5
17
5
0<
− 2 <  donc
a la même image que
et
est dans ] −  ;  ]
6
6
−43
6
6
−43
≈ −14,3 donc −15 <
< −14
3
en ajoutant 14, de la forme  × 2 avec  entier ( = 7), à chaque membre, on obtient des réels ayant la même image
−43
−43
−
−
− <
+ 14 < 0 donc
a la même image que
et
est dans ] −  ;  ]
3
3
232
3
3
3
232
≈ 33,1 donc 33 <
< 34
7
en enlevant 34, de la forme  × 2 avec  entier ( = 17), à chaque membre, on obtient des réels ayant la même image
232
232 
−6
−6
− <
− 34 < 0 donc
a la même image que
et
est dans ] −  ;  ]
7
7
−53
7
7
7
−43
≈ −17,6 donc −18 <
< −17
3
en ajoutant 18, de la forme  × 2 avec  entier ( = 9), à chaque membre, on obtient des réels ayant la même image
−53
−53


0<
+ 18 <  donc
a la même image que
et
est dans ] −  ;  ]
3
3
Savoir-faire :
3
3
3

Construire approximativement l’image de sur le cercle trigonométrique (on utilisera un rapporteur)
7
Réponse :
Pour un angle au centre de 180° l’arc intercepté a une longueur de  unités de longueur
×
1
×
7

1
7
Pour un angle au centre de ° l’arc intercepté a une longueur de unités de longueur
7
L’angle au centre doit être de
180
7
degrés (soit environ 25,71° )
Savoir-faire : trouver des images de réels sur le cercle trigonométrique
1) Sur le cercle trigonométrique, placer les images de
−15 
;
2
de
17 
; de
3
3
2) Colorier tous les points du cercle trigonométrique qui sont image d’un réel de [
4
;
5
4) Sur le cercle trigonométrique, placer l’image de
−17 
; de
6
4
]
2
−3
3) Colorier tous les points du cercle trigonométrique qui sont image d’un réel de [− ;
−13 
4
]
−1253 
6
Réponses
Pour placer l’image de
Comme
−1253
6
−1253 
6
on va éviter de compter jusqu’à 1253 … c’est long !
≈ −208,8 ≈ 2 × 104 on a l’idée d’ajouter 104 × 2  à
−1253 
pour obtenir un réel plus simple qui a la même image !
6
−1253 
6
+ 104 × 2  =
5
6
Savoir-faire : trouver les réels ayant pour images des points donnés





Trouver les réels ayant pour image 
−5
Il y en a une infinité
+  × 2 avec  ∈ ℤ
6
2   ∈ ℤ
Autre réponse …
Trouver les réels ayant pour image 
2
Il y en a une infinité
+  × 2 avec  ∈ ℤ
3
2   ∈ ℤ
Autre réponse …
6
−4
3
+×
+×
1
Quels sont les réels dont l’image a pour abscisses ?
2
Les réels cherchés sont répartis en deux familles :
-
Ceux qui ont pour images  :
-
Ceux qui ont pour image  :

+  × 2   ∈ ℤ
3

− +  × 2   ∈ ℤ
3
1
Quels sont les réels dont l’image a pour ordonnée − ?
2
Les réels cherchés sont répartis en deux familles :
-
Ceux qui ont pour images  :
-
Ceux qui ont pour image  :
−5
6
−
6
+  × 2   ∈ ℤ
+  × 2   ∈ ℤ
1
Quels sont les réels de [ 4 ; 6 ] dont l’image a pour ordonnée ?
Ceux qui ont pour images  : … ;
Ceux qui ont pour image  :
… ;
−23
6
−19
6
;
;
−11
6
−7
6
;
;

6
5
6
;
;
2
13
6
17
6
Les seuls nombres des deux listes compris dans [ 4 ; 6 ] sont :
III.
7
;
;
25
6
29
6
25
et
6
Cosinus et sinus d’un nombre réel

Cas particulier Soit  un réel de [ 0 ; ].  est l’image de  sur le cercle trigonométrique.
2
̂ =  =  =  = 
Dans le triangle  rectangle en  : cos 

1
 = 
̂ ; sin 
̂ ).
Ainsi,  a pour coordonnées ( cos 
̂=
et sin 


=

1
=
;
;
37
6
41
6
29
6
;
;
49
6
53
6
; …
; …
( ;  ; ) est un repère orthonormé direct et  est le cercle trigonométrique de centre .
Soit  un réel. On note  son image sur le cercle.
Par définition, le cosinus de , noté cos(), est l’abscisse de .
le sinus de , noté sin(), est l’ordonnée de .
Définition :
Par cœur

̂ et sin() = sin 
̂
Pour  réel de [ 0 ; ], M étant l’image de , on a : cos() = cos 
Remarque :
2
Propriétés
(par cœur)
1) Pour tout réel , −1 ≤ cos() ≤ 1
2) Pour tout réel , cos 2 (x) + sin2 (x) = 1
−1 ≤ sin() ≤ 1
écriture simplifiée de ( cos() )2 + ( sin() )2 = 1
et
Preuve Les points du cercle trigonométrique ont tous leur abscisse compris entre −1 et 1
Les points du cercle trigonométrique ont tous leur ordonnée compris entre −1 et 1
donc −1 ≤ cos() ≤ 1
donc −1 ≤ sin() ≤ 1
 est l’origine du repère donc (0 ; 0)
Soit  l’image de , par définition (cos() ; sin() )
Donc 2 = ( −  )2 + ( −  )2 = ( cos() )2 + (sin() )2 or  = 1 donc ( cos() )2 + (sin() )2 = 1
Par cœur : Valeurs exactes remarquables

0

6

4

2

√2
2

3
1
2
cos()
1
sin()
0
√3
2
1
2
0
−1
√2
2
√3
2
1
0
Justifier pour comprendre :

1
6
2
Nous avons vu que l’image de est le point  du cercle dont l’ordonnée est et l’abscisse positive.
D’après le théorème de Pythagore, dans le triangle  rectangle en  : 2 = 2 + 2
1 2
3
2
4
donc 2 = 2 − 2 = 1 − ( ) =
Donc  (
√3
2
1
; )
2

√3
6
2
donc cos ( ) =  =
3
√3
4
√4
Comme  ≥ 0,  =  = √ =

1
6
2
et sin ( ) =  =

1
3
2
=
√3
2
Nous avons vu que l’image de est le point  du cercle dont l’abscisse est et l’ordonnée positive.
D’après le théorème de Pythagore, dans le triangle  rectangle en  : 2 =  2 + 2
1 2
3
2
4
donc  2 = 2 − 2 = 1 − ( ) =
1
√3
2
2
Donc  ( ;
)

√3
3
2
donc sin ( ) =  =
3
√3
4
√4
Comme  ≥ 0,  =  = √ =

1
3
2
et cos ( ) =  =
=
√3
2

Nous avons vu que l’image de est le point  du cercle dont l’abscisse et l’ordonnée sont égales et
3
positives.
 est un carré, d’après le théorème de Pythagore, 2 + 2 = 2
1
Comme  = 1 et  = , 22 = 1 donc 2 =
2
1
√1
2
√2
donc  = √ =
Donc  (
√2
2
;
√2
2
)
=
1
√2
=
1×√2
√2×√2
=
√2
2

√2
4
2
donc cos ( ) =  =

√2
4
2
et sin ( ) =  =
Savoir –faire : En s’appuyant sur le cercle trigonométrique, donner les valeurs exactes des cosinus et sinus de réels liés au tableau
précédent
a)
cos (
−5
6
) et  (
−5
6
)?
2
2
3
3
b) cos ( ) et  ( ) ?
c) cos (
Réponses :

−5
a) Soit  l’image de et  l’image de
6
6
On conjecture que  et  sont symétriques par rapport au point 
Donc ils ont des abscisses opposés et des ordonnées opposés.

√3
6
2
D’après le cours, cos ( ) =

1
6
2
et sin ( ) =
donc  (
√3
2
1
; )
2
−7
3
) et  (
−7
3
)?
Par symétrie,
b)
 (−
1
√3
;− )
2
2

−5
6
)=
− √3
2
et
sin (
−5
6
)=
−1
2
−7
Soit  l’image de et  l’image de
3
3
On conjecture que  et  sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées ()
Donc ils ont des abscisses opposés et des ordonnées égales.

1
3
2
D’après le cours, cos ( ) =
Par symétrie,  (
c)
donc cos (
−1
√3
;
2
2
)

et sin ( ) =
3
√3
−1
3
2
donc cos ( ) =

donc  (
2
2
et
1
2
;
√3
2
2
)
sin ( ) =
√3
3
2
−7
Soit  l’image de et  l’image de
3
3
On conjecture que  et  sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses ()
Donc ils ont des abscisses égales et des ordonnées opposés.

1
3
− √3
2
D’après le cours, cos ( ) =
Par symétrie,  (
A savoir
retrouver
très vite
1
2
;
2
)

√3
3
2
−7
et sin ( ) =
donc cos (
3
)=
donc  (
1
2
et
1
2
;
sin (
√3
)
2
−7
3
)=
− √3
2
Pour tout réel 
et tout  entier,
cos( +  × 2) = cos()
sin( +  × 2) = sin()
Pour tout réel ,
cos( + ) = −cos()
sin( + ) = −sin()
Pour tout réel ,
cos(−) = cos()
sin(−) = − sin()
Savoir-faire :
Pour chacune des figures, sachant que  est l’image de ,
1) Conjecturer des réels ayant pour image , , 
2) En déduire des formules sur  (… ) et sin(… ) en fonction de cos() et sin()
Réponses :
Pour tout  réel,
cos( + ) = − cos()
sin( + ) = −sin()
cos( − ) = −cos()
Pour tout  réel,
cos(−) = cos()
sin(−) = −sin()
sin( − ) = −sin()
Pour tout  réel,

cos ( + ) = − sin()
2

sin ( + ) = cos()
2

cos ( − ) = − sin()
2

sin ( − ) = −cos()
2
Pour tout  réel,
cos( − ) = − cos()
sin( − ) = sin()
Pour tout  réel,

cos ( − ) = sin()
2

sin ( − ) = cos()
Pour tout  réel,
2


cos (− − ) = −sin()
cos ( − ) = sin()
sin (− − ) = −cos()
sin ( − ) = cos()
2

2

2
2
Calculatrice
Pour obtenir le cosinus et le sinus d’un réel, la calculatrice doit être impérativement en « radian »
cos(0,78)
Réponse :
IV.
cos(0,78) ≈ 0,71
sin(√7 )
sin(√7 ) ≈ 0,476
cos(85)
sin (
−3 
7
)
cos(85) ≈ −0,984
sin (
−3 
7
) ≈ −0,975
Une nouvelle unité d’angle
Exercice corrigé Soit  un cercle de centre  et de rayon 1. A et B sont deux points du cercle.
Calculer la longueur du petit arc  pour les différentes valeurs de 
Angle en degré
19
41
90
147
180
Réponse :
La longueur d’un demi-cercle est de  unités de longueur pour un angle au centre de 180°
La longueur de l’arc est proportionnelle à l’angle au centre et le coefficient de proportionnalité est donc :

≈ 0,01745329
180
Une meilleure idée que le degré
1
Un degré est la mesure de l’angle au centre qui intercepte
de circonférence. Pourquoi 360 …. sans doute parce qu’il a de
360
très nombreux diviseurs 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 60, 72, 90, 120, 180 , 360 ce qui facilitent les calculs de
fractions »
Cela présente plusieurs inconvénients. Notamment, le coefficient de proportionnalité reliant la longueur d’un arc à l’angle
au centre, environ 0,017453 … est bien compliqué !
Il serait plus judicieux de relier l’unité d’angle à l’unité de longueur pour cela, il suffit de fixer le coefficient de
proportionnalité entre la longueur d’un arc d’un cercle de rayon 1 unité de longueur et l’angle au centre égal à 1 !!!!
A la révolution française, il avait déjà été fait la même chose pour la définition de la masse. Elle avait été reliée à la
définition du è : 1  était, par définition, la masse de 1 3 d’eau pure à 4°.
Ainsi, 1  d’eau a une masse de 2  d’eau a une masse de 2 , …
Définition
Un radian est la mesure d’un angle au centre dans un cercle de rayon 1 qui intercepte un arc
de longueur 1
Compléter : c’est plus simple ! (mais on a moins l’habitude)
Réponses :
Conversion :
Les mesures en degrés et en radians d’un angle sont proportionnelles
Angle en degrés
Angle en radians
15
30
90
1

5
121

Réponses :
La longueur de l’arc intercepté par un angle au centre plat sur le cercle trigonométrique est de  unités de longueur donc la
mesure en radians de l’angle plat est de  radians.
Les mesures des angles en degrés et en radians sont proportionnelles.
Compléter
Dans chacune des configurations suivantes, donner la mesure en radians des angles géométriques.
Réponses :
A propos des équations du type () =  et () = 
V.
Problématique :
A chaque réel correspond un unique point image, mais la réciproque est fausse : un point du cercle est l’image d’une infinité de
réels.
En plus, pour −1 <  < 1, il y a deux points du cercles qui ont pour abscisse . De même, deux points du cercle ont comme
ordonnée .
Le problème surgit inévitablement en utilisant la calculatrice … si on cherche le réel  de [− , ; 0] tel que cos() = −0,5 … la
calculatrice ne le donne pas directement.
Savoir-faire
Réponse
Résoudre graphiquement l’équation cos() =
− √3
2
− √3
Il existe deux points du cercle ayant pour abscisse
2
L’équation a une infinité de solutions réparties en deux familles :
Savoir-faire
Réponse

Les réels ayant pour images 

Les réels ayant pour images 
2
3
+  × 2  avec  ∈ ℤ
−2
3
Résoudre graphiquement l’équation sin() =
+  × 2  avec  ∈ ℤ
1
2
1
Il existe deux points du cercle ayant pour ordonnée
2
L’équation a une infinité de solutions réparties en deux familles :

Les réels ayant pour images 

Les réels ayant pour images 

6
+  × 2  avec  ∈ ℤ
5
6
+  × 2  avec  ∈ ℤ
Savoir utiliser la calculatrice La calculatrice doit être en radian !
1) Donner une valeur approchée du réel  de [ 0 ; ] tel que : cos() = 0,6
Réponse
2)
En tapant cos −1 (0,6) sur la calculatrice, on obtient environ 0,927. 0,927 est bien dans l’intervalle [ 0 ;  ]
Donner une valeur approchée du réel  de [ − ; 0 ] tel que :  () = 0,6
Réponse
En tapant cos −1 (0,6) sur la calculatrice, on obtient environ 0,927.
Mais ce n’est pas le réel cherché ! Faisons un schéma.
0,927 a pour image  et nous cherchons un réel qui a pour image 
Comme  est le symétrique de  par rapport à l’axe des abscisses, un réel
ayant pour image −0,927 qui est bien dans l’intervalle [ − ; 0 ]
3)
Réponse
4)

Donner une valeur approchée du réel  de [ −
;

2
] tel que : sin() = −0,6
En tapant sin−1 (−0,6) sur la calculatrice, on obtient environ −0,6435 . −0,6435 est bien dans [ −
Donner une valeur approchée du réel  de [
Réponse
2

3
;
2

2
;

2
] tel que : sin() = −0,6
2
En tapant sin−1 (−0,6) sur la calculatrice, on obtient environ −0,6435
Mais ce n’est pas le réel cherché ! Faisons un schéma.
−0,6435 a pour image  et nous cherchons un réel qui a pour image 
Par symétrie, les petits arcs  et  ont la même longueur : environ 0,6435
Donc  est l’image de  + 0,6435 ≈ 3,78
3,78 est bien dans l’intervalle [
5)

2
;
Donner une valeur approchée du réel  de [
Réponse
3
2
−3
2

3
2
2
] puisque ≈ 1,57 et
;
−
2
≈ 4,71
] tel que : sin() = 0,2
En tapant sin−1 (−0,6) sur la calculatrice, on obtient environ −0,6435
3

Mais − ≈ −4,71 et − ≈ −1,6 donc −0,6435 n’est pas le réel cherché !
2
2
Faisons un schéma.
0,2014 a pour image  et nous cherchons un réel qui a pour image 
Par symétrie, les petits arcs  et  ont la même longueur : environ 0,2014
Donc  est l’image de  − 0,2014 ≈ 2,94
Mais 2,94 n’est pas dans l’intervalle [
−3
2
;
−
2
].  est l’image des réels 2,94 +  × 2 avec  ∈ ℤ
Donc 2,94 − 2 ×  a aussi pour image  or 2,94 − 2 ×  ≈ −3,34 et −3,34 est bien dans [
−3
2
;
−
2
]
]
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