Chapitre 7 : Trigonométrie I. Longueur d`arc de cercle II
Chapitre 7 : Trigonométrie
I. I. Longueur d’arc de cercle
Par cœur : Le périmètre d’un cercle de rayon :
L’aire d’un disque de rayon :
Savoir-faire : calculer la longueur d’un arc de cercle
Le cercle a pour rayon 1.
Chaque petit arc a la même longueur.
Quel est la longueur du grand arc de
cercle ?
Chaque petit segment a la même
longueur.
Le petit arc a une longueur de .
Calculer la longueur de chaque arc.
Le cercle a un rayon de 1.
L’angle au centre vaut
Combien mesure le petit arc ?
Le périmètre du cercle est :
L’arc représente les
de la
circonférence
Donc longueur de l’arc est :
unités de longueur
A angle au centre constant, les arcs
ont des longueurs proportionnelles
au rayon.
unités de longueur
unités de longueur
unités de longueur
unités de longueur
La longueur d’un demi-cercle est de ,
obtenue pour un angle au centre de 180°
A rayon constant, la longueur de l’arc de
cercle est proportionnelle à l’angle au
centre.
Donc la longueur de l’arc est :
unités de longueur
II. Enroulement de la droite numérique
Par cœur : Soit un repère orthonormé du plan. Le cercle trigonométrique est celui qui a pour centre et de rayon de
1 et orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre).
Image d’un réel sur le cercle trigonométrique
est le cercle trigonométrique de centre (et donc de rayon 1 unité
de longueur)
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct : quand on
se déplace de à sur le cercle selon le parcours le plus court, on
tourne dans le sens inverse des aiguilles d’un montre.
Soit . On considère la droite graduée par
On enroule cette droite sur le cercle : chaque réel vient s’appliquer
sur un du cercle. On dit que est l’image du réel .
De manière plus « naïve »
Pour trouver l’image du réel positif, on « part » du point et on
parcourt le cercle dans le sens direct jusqu’à ce que la longueur soit
égale à unités de longueur.
Pour trouver l’image du réel négatif, on « part » du point et on
parcourt le cercle dans le sens indirect jusqu’à ce que la longueur soit
égale à unités de longueur (étant négatif,est lui positif.
Justifier pour comprendre (le cercle est le cercle trigonométrique. M est sur le cercle)
Exercice 1 :
Quelle est la
longueur de l’arc
?
Réponse :
est la diagonale d’un petit carré. Donc
donc l’arc mesure :
unités de longueur
Exercice 2 : médiatrice de
Quelle est la
longueur de l’arc
?
Réponse :
Comme et sont deux points d’un même cercle de centre
Comme est sur la médiatrice de est équidistant des extrémités de
segment donc
Donc les côtés de sont égaux donc le triangle est équilatéral donc
Donc l’arc mesure :
unités de longueur
Exercice 3 : médiatrice de
Quelle est la
longueur de
l’arc ?
Réponse :
Comme et sont deux points d’un même cercle de centre
Comme est sur la médiatrice de
Donc le triangle est équilatéral donc
Donc
Donc l’arc mesure
unités de longueur
A retenir
Savoir-faire : Pour chacun des points du cercle trigonométrique, écrire trois réels qui l’ont pour image (deux positifs et un
négatif)
Réponses:
Théorème : Les réels et ont la même image si et seulement si où
désigne l’ensemble des entiers relatifs
Savoir-faire : Donner trois réels négatifs et trois autres réels positifs qui ont la même image que
Réponse
Autre présentation : on calcule
pour valant successitvement
Savoir tester si deux réels ont la même image :
1) Parmi les réels suivants, quels sont ceux qui ont la même image ?
2) Pour nombre, trouver le réel ayant la même image appartenant à
Réponse
1) Idée : on regarde si la différence des deux nombres est de la forme avec
donc
On reconnait la forme avec entier donc
et
ont la même image.
On ne reconnait pas la forme avec entier (on aurait )
donc
et
n’ont pas la même image (et donc
et
non plus).
2)
donc
en enlevant , de la forme avec entier ( , à chaque membre, on obtient des réels ayant la même image
donc
a la même image que
et
est dans
donc
en ajoutant , de la forme avec entier ( , à chaque membre, on obtient des réels ayant la même image
donc
a la même image que
et
est dans
donc
en enlevant , de la forme avec entier ( , à chaque membre, on obtient des réels ayant la même image
donc
a la même image que
et
est dans
donc
en ajoutant , de la forme avec entier ( , à chaque membre, on obtient des réels ayant la même image
donc
a la même image que
et
est dans
Savoir-faire : Construire approximativement l’image de
sur le cercle trigonométrique (on utilisera un rapporteur)
Réponse :
Pour un angle au centre de l’arc intercepté a une longueur de unités de longueur
Pour un angle au centre de l’arc intercepté a une longueur de
unités de longueur
L’angle au centre doit être de
degrés (soit environ 25,71° )
Savoir-faire : trouver des images de réels sur le cercle trigonométrique
1) Sur le cercle trigonométrique, placer les images de
; de
; de
; de
2) Colorier tous les points du cercle trigonométrique qui sont image d’un réel de
3) Colorier tous les points du cercle trigonométrique qui sont image d’un réel de
4) Sur le cercle trigonométrique, placer l’image de
Réponses
Pour placer l’image de
on va éviter de compter jusqu’à 1253 … c’est long !
Comme
on a l’idée d’ajouter à
pour obtenir un réel plus simple qui a la même image !
Savoir-faire : trouver les réels ayant pour images des points donnés
Trouver les réels ayant pour image
Il y en a une infinité
avec Autre réponse …
Trouver les réels ayant pour image
Il y en a une infinité
avec Autre réponse …
Quels sont les réels dont l’image a pour abscisses
?
Les réels cherchés sont répartis en deux familles :
- Ceux qui ont pour images :
- Ceux qui ont pour image :
Quels sont les réels dont l’image a pour ordonnée
?
Les réels cherchés sont répartis en deux familles :
- Ceux qui ont pour images :
- Ceux qui ont pour image :
Quels sont les réels de dont l’image a pour ordonnée
?
Ceux qui ont pour images : … ;
;
;
;
;
;
;
; …
Ceux qui ont pour image : … ;
;
;
;
;
;
;
; …
Les seuls nombres des deux listes compris dans sont :
et
III. Cosinus et sinus d’un nombre réel
Cas particulier Soit un réel de
. est l’image de sur le cercle trigonométrique.
Dans le triangle rectangle en :
et
Ainsi, a pour coordonnées
.
Définition : est un repère orthonormé direct et est le cercle trigonométrique de centre .
Par cœur Soit un réel. On note son image sur le cercle.
Par définition, le cosinus de noté est l’abscisse de .
le sinus de , noté , est l’ordonnée de .
Remarque : Pour réel de
, M étant l’image de , on a :
et
Propriétés (par cœur)
1) Pour tout réel , et
2) Pour tout réel , écriture simplifiée de
Preuve Les points du cercle trigonométrique ont tous leur abscisse compris entre et donc
Les points du cercle trigonométrique ont tous leur ordonnée compris entre et donc
est l’origine du repère donc Soit l’image de , par définition
Donc or donc
Par cœur : Valeurs exactes remarquables
Justifier pour comprendre :
Nous avons vu que l’image de
est le point du cercle dont l’ordonnée est
et l’abscisse positive.
D’après le théorème de Pythagore, dans le triangle rectangle en :
donc
Comme ,
Donc
donc
et
Nous avons vu que l’image de
est le point du cercle dont l’abscisse est
et l’ordonnée positive.
D’après le théorème de Pythagore, dans le triangle rectangle en :
donc
Comme ,
Donc
donc
et
Nous avons vu que l’image de
est le point du cercle dont l’abscisse et l’ordonnée sont égales et
positives.
est un carré, d’après le théorème de Pythagore,
Comme et , donc
donc
Donc
donc
et
Savoir –faire : En s’appuyant sur le cercle trigonométrique, donner les valeurs exactes des cosinus et sinus de réels liés au tableau
précédent
a)
et
b)
et
c)
et
Réponses :
a) Soit l’image de
et l’image de
On conjecture que et sont symétriques par rapport au point
Donc ils ont des abscisses opposés et des ordonnées opposés.
D’après le cours,
et
donc
6
7
8
9
10
1
/
10
100%
