Nombres aléatoires

Nombres aléatoires
Azzouz Dermoune
6 février 2017
Table des matières
1 Nombres aléatoires uniformément distribués
1.1 Nombres uniformément distribués sur {1, . . . , M } . . . . . . .
1.1.1 Nombres distribués selon la loi de Bernoulli de paramètre p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Nombres 2-uniformément distribués sur {1, . . . , M } . . . . . .
1.3 Nombres d-uniformément distribués sur {1, . . . , M } . . . . . .
1.3.1 La loi binomiale de paramètre (N, p) . . . . . . . . . .
1.4 Nombre aléatoire uniformément distribué sur {1, . . . , M } . . .
1.5 Nombres (m, d)-uniformément distribués sur {1, . . . , M } . . .
1.5.1 Loi géométrique de paramètre p . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Loi de Poisson de paramètre λ . . . . . . . . . . . . .
3
3
5
6
7
7
8
9
9
10
2 Construction physique des nombres aléatoires
11
2.1 Nombres aléatoires binaires : les lancers d’une pièce de monnaie 11
2.2 Construction des nombres aléatoires à l’aide d’un dé . . . . . 12
3 Langage probabiliste, variable aléatoire discrète
3.1 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Probabilité d’un événement . . . . . . . .
3.3 Moyenne, espérance mathématique . . . . . . . .
3.3.1 Variable centrée . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Variable centrée réduite . . . . . . . . . .
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13
13
13
14
14
14
14
15
4 Nombres aléatoires uniformément distribués sur [0, 1]
16
4.1 Echauffements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Nombres 1-uniformément distribués . . . . . . . . . . . . . . . 17
1
4.2.1
4.3
4.4
4.5
4.6
Fonction de répartition et densité de la loi uniforme
sur [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Intégrale de Riemann et la loi uniforme sur [0, 1] . . .
4.2.3 Nombres 1-uniformément distribués sur [a, b] . . . . .
4.2.4 Nombres distribués selon la loi exponentielle de paramètre λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nombres 2-uniformément distribués . . . . . . . . . . . . . . .
Nombres 3-uniformément distribués . . . . . . . . . . . . . . .
Nombres d-uniformément distribués . . . . . . . . . . . . . . .
Nombres aléatoires uniformes sur [0, 1] . . . . . . . . . . . . .
5 Fonction de répartition et densité d’une loi de probabilité
sur R
5.1 Fonction de répartition d’une loi de probabilité sur R . . . . .
5.1.1 Interprétation probabiliste de la fonction de répartition
5.2 La densité d’une loi de probabilité sur R . . . . . . . . . . . .
5.3 Formule de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Loi de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 La fonction Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
17
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18
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20
21
23
23
25
25
25
28
30
30
31
Chapitre 1
Nombres aléatoires
uniformément distribués
Soit un entier M ≥ 2 et {1, . . . , M } l’ensemble des nombres entiers 1,
. . . , M.
1.1
Nombres uniformément distribués sur {1, . . . , M }
Définition. Une suite (x0 , . . . , xn−1 ) d’entiers ayant n termes est uniformément distribuée sur {1, . . . , M } si pour chaque m ∈ {1, . . . , M }
card{0 ≤ i ≤ n − 1 :
= card{0 ≤ i ≤ n − 1 :
xi = 1} = . . . = card{0 ≤ i ≤ n − 1 :
xi = m} = . . .
xi = M } := qn .
Conséquence. Si la suite (x0 , . . . , xn−1 ) est uniformément distribuée sur
{1, . . . , M } alors forcément
n
card{0 ≤ i ≤ n − 1 : xi = m} =
= qn
M
et alors M divise n. La suite (x0 , . . . , xn−1 ) visite qn chaque entier m ∈
{1, . . . , M }. C’est-à-dire le pourcentage
Pn−1
1
i=0 1[xi =m]
=
, ∀ m ∈ {1, . . . , M }.
n
M
Définition. Une suite (xi : i = 0, . . .) d’entiers ayant un nombre infini
de termes est uniformément distribuée sur {1, . . . , M } si
Pn−1
1
i=0 1[xi =m]
lim
→
, ∀ m = 1, . . . , M.
(1.1.1)
n→+∞
n
M
3
Exercice 1. a) On suppose que la suite a seulement n termes x0 , . . . ,
xn−1 et qu’elle est uniformément distribuée sur {1, . . . , M }. Dans ce cas
Pn−1
1
i=0 1[xi =m]
=
, ∀ m = 1, . . . , M.
n
M
Donner un exemple avec n = 6 et M = 3.
b) On suppose que x0 , x1 , . . . est une suite ayant un nombre infini de
termes et 1-uniformément distribuée sur {1, . . . , M }. i) Montrer que, pour
chaque 1 ≤ m ≤ M ,
ν n (m) = qn + o(n),
où o(n) est un entier qui peut dépendre de m et il vérifie o(n)
n → 0 lorsque
n → +∞.
ii) On définit pour chaque 1 ≤ m ≤ M l’ensemble {i ∈ N : xi = m}.
Montrer que {i ∈ N : xi = m} est infini et que les égalités suivantes ont
lieu :
{i ∈ N :
xi ≤ m} =
m
[
{i ∈ N :
xi = k},
k=1
{i ∈ N :
xi > m} =
M
[
{i ∈ N :
xi = k}.
k=m+1
Définition : Loi uniforme. Une suite (xi ) est uniformément distribuée
sur une ensemble E, ayant un nombre fini M d’éléments, si
Pn−1
1
i=0 1[xi =e]
lim
=
, ∀ e ∈ E.
n→+∞
n
M
1
Le pourcentage M
s’interprète comme la probabilité de tirer au hasard l’élément e dans l’ensemble E.
1
1
1
1
La somme des pourcentages ( M
,..., M
) est égale à 1. La suite ( M
,..., M
)
s’appelle la distribution de probabilités uniforme (ou simplement loi uniforme) sur E.
Exemple : La loi de Bernoulli de paramètre 12 . E = {0, 1} et sa loi
uniforme ( 12 , 21 ).
Exercice 2. a) Transformation linéaire de la loi uniforme. Soit (xi )
une suite uniformément distribuée sur {1, . . . , M }. Soient a, b deux nombres
réels avec a 6= 0. Montrer que la suite y0 = ax0 + b, y1 = ax1 + b, . . . est
1-uniformément distribuée sur l’ensemble E = {a + b, 2a + b, . . . , M a + b}.
4
b) Transformation non linéaire de la loi uniforme. Soit (xi ) une suite
1-uniformément distribuée sur {1, . . . , 6}. On définit la suite
yi = |xi − 3|,
i = 0, 1, . . .
Calculer pour chaque entier m = 0, 1, 2, 3 la limite
Pn−1
i=0 1[yi =m]
lim
= pm .
n→+∞
n
Montrer que (p0 , p1 , p2 , p3 ) est une distribution de probabilités sur l’ensemble
{0, 1, 2, 3}. Cette distribution est-elle uniforme ?
1.1.1
Nombres distribués selon la loi de Bernoulli de paramètre p
Soit (xi ) une suite uniformément distribuée sur {1, . . . , M }. On fixe 1 ≤
k < M . On définit la suite
yi = 1[1≤xi ≤k] ,
i = 0, 1, . . . .
Montrer l’égalité
Pn−1
lim
n→+∞
i=0
1[yi =1]
k
=
.
n
M
k
Les nombres (yi ) sont les nombres de Bernoulli de paramètre p = M
. Le
couple (1 − p, p) est la distribution de probabilités de Bernoulli de paramètre
p sur {0, 1}.
Définition. Soit p ∈]0, 1[ fixé. Une suite (yi ) de nombres 0 ou bien 1 est
dite 1-distribuée selon la loi de Bernoulli de paramètre p si
Pn−1
i=0 1[yi =1]
lim
= p.
n→+∞
n
Interprétation. Soit (yi ) une suite de Bernoulli de paramètre p. Le coût
pour envoyer tous les termes qui vérifient yi = 0 est égal à
Pn−1
i=0 1[yi =0]
lim
= 1 − p.
n→+∞
n
Le coût pour envoyer tous les termes qui vérifient yi = 1 est égal à
Pn−1
i=0 1[yi =0]
lim
= p.
n→+∞
n
5
Si on veut envoyer tous les termes, alors le coût est
(1 − p) + p = 1.
Exercice 3. Soit (yi ) une suite distribuée selon la loi de Bernoulli de
paramètre p. Calculer les limites
Pn−1
i=0 yi
lim
= moyenne,
n→+∞
n
Pn−1 2
Pn−1
yi
i=0 yi
lim {
− ( i=0 )2 } = variance.
n→+∞
n
n
1.2
Nombres 2-uniformément distribués sur {1, . . . , M }
Exercice 4. Soit (xi ) une suite 1-uniformément distribuée sur {1, . . . , 6}.
On définit la suite
yi = xi + xi+1 ,
i = 0, 1, . . . .
Soit 2 ≤ m ≤ 12. Expliquer pourquoi on ne peut pas calculer la limite
Pn−1
i=0 1[yi =m]
.
lim
n→+∞
n
Définition. Une suite (xi ) de nombres entiers est 2-uniformément distribuée
sur {1, . . . , M } si
Pn−1
1
i=0 1[xi =m0 ,xi+1 =m1 ]
lim
= 2 , ∀ m0 , m1 = 1, . . . , M. (1.2.1)
n→+∞
n
M
Le pourcentage p(m0 , m1 ) = M12 est la probabilité de tirer au hasard le couple
(m0 , m1 ). La suite (p(m0 , m1 ) : m0 , m1 = 1, . . . , M ) est la distribution de
probabilités uniforme sur l’ensemble des couples {1, . . . , M }2 .
Exercice 3. Soient (xi ) des nombres entiers 2-uniformément distribués
sur {1, . . . , 6}. On considère la nouvelle suite
yi = xi + xi+1 ,
i = 0, 1, . . . .
a) Quels sont les valeurs possibles pour le terme général yi .
b) Calculer pour chaque entier 2 ≤ m ≤ 12 la limite
Pn−1
i=0 1[yi =m]
lim
= pm .
n→+∞
n
6
c) Montrer que la suite (p2 , . . . , p12 ) est une distribution de probabilités
sur {2, . . . , 12}.
c) Soit (xi ) une suite 2-uniformément distribuée sur {0, 1}. On définit la
suite
yi = xi + xi+1 + xi+2 ,
i = 0, 1, . . . .
Soit 0 ≤ m ≤ 3. Expliquer pourquoi on ne peut pas calculer la limite
Pn−1
i=0 1[yi =m]
lim
.
n→+∞
n
1.3
Nombres d-uniformément distribués sur {1, . . . , M }
Définition. Soit (xi ) une suite dont le terme général appartient à {1, . . . , M }.
Soient d ≥ 1 un entier et (m0 , . . . , md−1 ) ∈ {1, . . . , M }d . L’effectif des vecteurs (x0 , . . . , xd−1 ), (x1 , . . . , xd ), . . . , (xn−1 , . . . , xn−1+d−1 ) qui visite le vecteur (m0 , . . . , md−1 ) est égal à
ν n (m0 , . . . , md−1 ) =
n−1
X
1[xi =m0 ,...,xi+d−1 =md−1 ] .
i=0
Les nombres entiers (xi ) sont d-uniformément distribués, si
ν n (m0 , . . . , md−1 )
1
= d,
n→+∞
n
M
lim
∀ 1 ≤ m0 , . . . , md−1 ≤ M. (1.3.1)
Notation. La fonction indicatrice
1[xi =m0 ,...,xi+d−1 =md−1 ] = 1,
si xi = m0 , . . . , xi+d−1 = md−1 ,
1[xi =m0 ,...,xi+d−1 =md−1 ] = 0,
si pour au moins un indice k
1.3.1
xk 6= mk .
La loi binomiale de paramètre (N, p)
Proposition. Soit 0 ≤ m ≤ N un entier. Le nombre des vecteurs
(i1 , . . . , iN ) ∈ {0, 1}N tels que
N
X
ik = m
k=1
7
est égal à
N
N!
=
.
m
m!(N − m)!
Exercice 4 : La loi binomiale de paramètre (N, 12 ). Soit d ≥ N ≥ 1
deux entiers fixés et (xi ) une suite d-uniformément distribuée sur {0, 1}. On
définit la suite
yi = xi + . . . + xi+N −1 ,
i = 0, 1, . . . .
a) Calculer pour chaque entier 0 ≤ m ≤ N la limite
Pn
i=0 1[yi =m]
lim
= pm .
n→+∞
n
b) Montrer que la suite (p0 , . . . , pN ) est une distribution de probabilités sur
{0, . . . , N }. Le pourcentage pm est la probabilité d’obtenir m piles dans N
lancers d’une pièce de monnaie équilibrée.
Exercice 5 : La loi binomiale de paramètre (N, p). Soit d ≥ N ≥ 1
deux entiers fixés et (xi ) une suite d-uniformément distribuée sur {0, 1}. On
k
fixe 1 ≤ k < M et on pose p = M
.
On définit la suite
yi = 1[1≤xi ≤k] + . . . + 1[1≤xi+N −1 ≤k] ,
i = 0, 1, . . . .
a) Montrer l’égalité
Pn
lim
n→+∞
i=0 1[yi =m]
n
N m
=
p (1 − p)N −m := pm .
m
b) Montrer que la suite (p0 , . . . , pN ) est une distribution de probabilités sur
{0, . . . , N }. Le pourcentage pm est la probabilité d’obtenir m piles dans N
lancers d’une pièce de monnaie équilibrée.
c) Calculer la moyenne et la variance.
1.4
Nombre aléatoire uniformément distribué sur
{1, . . . , M }
Définition. La suite de nombres entiers (xi ) dont le terme générale appartient à {1, . . . , M } est aléatoire et uniformément distribuée sur {1, . . . , M }
si elle est d-uniformément distribué sur {1, . . . , M }.
Question. Si les nombres (x0 , x1 , . . .) sont aléatoires et uniformément
distribués sur {1, . . . , M }, les nombres (x0 , x2 , x4 , . . .) sont ils aléatoires et
uniformément distribués sur {1, . . . , M } ?
La réponse est donnée dans la section suivante.
8
1.5
Nombres (m, d)-uniformément distribués sur {1, . . . , M }
Soit (x0 , x1 , . . .) une suite de nombres d’entiers qui prennent des valeurs
entre 1 et M . Soit d, m ≥ 1 un couple de nombres entiers et 0 ≤ j ≤ m − 1.
L’effectif des vecteurs (xkm+j , . . . , xkm+j+d−1 ), k = 0, . . . , n − 1 qui coïncident avec (m0 , . . . , md−1 ) est égal à
νjn (m0 , . . . , md−1 ) =
n−1
X
1[xkm+j =m0 ,...,xkm+j+d−1 =md−1 ] .
k=0
Les nombres entiers x0 , x1 , . . . sont (m, d)-uniformément distribués, si
νjn (m0 , . . . , md−1 )
1
lim
= d,
n→+∞
n
M
(1.5.1)
pour tout vecteur (m0 , . . . , md−1 ) ∈ {1, . . . , M }d et pour tout entier j =
0, . . . , m − 1.
Le résultat suivant a été démontré par Ivan Niven, H.S. Zuckerman, Donald E. Knuth.
Theorem 1.5.1. Les nombres aléatoires uniformément distribués sur {1, . . . , M }
sont (m, d)-uniformément distribués pour tous les couples d’entiers m, d ≥ 1.
Exercice 6. Soit (xi ) des nombres aléatoires et uniformément distribués.
Montrer que les nombres suivants sont aussi aléatoires et uniformément distribués : a) (x2i ), b) (x2i+1 ), c) (x3i ), d) (x3i+1 ) , e) (x3i+2 ).
1.5.1
Loi géométrique de paramètre p
Soit (xi ) des nombres aléatoires et uniformément distribués sur {1, . . . , M }.
k
On fixe 1 ≤ k < M et on pose p = M
. On définit yi = 1[1≤xi ≤k] et
zi = min{k :
yi+k = 1},
i = 0, 1, . . . .
Exercice. 1) Montrer les égalités
Pn−1
lim
n→+∞
Pn−1
lim
n→+∞
i=0
i=0
1[zi =0]
= p,
n
1[zi =m]
= (1 − p)m−1 p,
n
∀ m ≥ 1.
Montrer que la suite (p, (1 − p)p, (1 − p)2 p, . . .) est une distribution de probabilités sur N. Si on lance une infinité de fois une pièce de monnaie de
paramètre de succès p, la probabilité d’obtenir pile pour la première fois au
lancer numéro m est égale à pm .
2) Calculer la moyenne et la variance.
9
1.5.2
Loi de Poisson de paramètre λ
Soit (xi ) des nombres aléatoires et uniformément distribués sur {1, . . . , M }.
k
On fixe 1 ≤ k < M , N ≥ 1 et on pose p = M
. On définit la suite
yi = 1[1≤xi ≤k] + . . . + 1[1≤xi+N −1 ≤k] ,
i = 0, 1, . . . .
a) On suppose que N p → λ lorsque N, M → +∞. Montrer que pour chaque
entier m = 0, 1, . . .,
N m
λm
:= pm .
lim
p (1 − p)N −m = exp(−λ)
N →+∞ m
m!
b) Montrer que la suite (pm : m = 0, 1, . . .) est une distribution de probabilités sur N.
c) Calculer la moyenne et la variance.
10
Chapitre 2
Construction physique des
nombres aléatoires
2.1
Nombres aléatoires binaires : les lancers d’une
pièce de monnaie
Si on lance une infinité de fois une pièce de monnaie, alors on obtient
une suite x0 , x1 , . . . ∈ {0, 1}. La valeur xi = 0 signifie que le i-ème lancer est
face. La valeur xi = 1 signifie que le i-ème lancer est pile. Le lancer initial
est noté x0 . Les chiffres 0 et 1 sont appelés en anglais binary digit (bit).
Le vecteur (b0 , . . . , bd−1 ), où bi est un bit, est appelé un mot de d bits.
L’ensemble des mots à d bits est égal à {0, 1}d . Il y a 2d mots à d bits.
Si la pièce est parfaite, alors on admet que les nombres x0 , x1 , . . . sont
aléatoires et uniformément distribués sur {0, 1}.
Exercice. On rappelle que chaque entier m ≤ 2d − 1 a une unique représentation (appelée la représentation en base 2) de la forme
m = a0 (m)20 + a1 2 + . . . + ad−1 (m)2d−1 ,
où a0 (m), . . . , ad−1 (m) ∈ {0, 1}. Le vecteur (a0 (m), . . . , ad−1 (m)) ∈ {0, 1}d
est la représentation binaire de l’entier m.
Soit (xi ) des nombres aléatoires binaires uniformément distribués. Montrer que les nombres entiers
yn = xn 20 + . . . + xn+d−1 2d−1 ,
n = 0, 1, . . . ,
sont 1-uniformément distribués sur {0, . . . , 2d − 1}.
11
2.2
Construction des nombres aléatoires à l’aide
d’un dé
Si on lance une infinité de fois un dé, alors on obtient une suite x0 , x1 , . . . ∈
{1, . . . , 6}. La valeur xi = j signifie que le i-ème lancer est la face j.
Le vecteur (x0 , . . . , xd−1 ) ∈ {1, . . . , 6}d peut prendre 6d possibilités.
Si le dé est parfait, alors on admet que les nombres x0 , x1 , . . . sont aléatoires et uniformément distribués sur {1, . . . , 6}.
12
Chapitre 3
Langage probabiliste, variable
aléatoire discrète
3.1
Variable aléatoire
Soit (p1 , . . . , pM ) une distribution de probabilités sur {1, . . . , M }, c’està-dire
0 < pm < 1,
p1 + . . . + pM = 1.
Une suite (xi ) de nombres entiers appartenant à {1, . . . , M } est 1-distribuée
selon la distribution de probabilités (pm ) si
Pn−1
i=0 1[xi =m]
lim
= pm , m = 1, . . . , M.
n→+∞
n
Un terme de la suite (xi ) pris au hasard sera noté par la variable X.
Ainsi X = x0 , ou bien X = x1 , ou bien U = x2 , . . . . La variable X est une
application
X : i ∈ N → xi .
Elle appelée variable aléatoire dont la loi est égale à (pm ).
3.2
Événements
Pour chaque partie A ⊂ {1, . . . , M }, l’ensemble
{i ∈ N :
xi ∈ A} := [X ∈ A]
13
est appelé événement X ∈ A. L’événement contraire de X ∈ A est égal à
{i ∈ N :
xi ∈
/ A} := {i ∈ N :
xi ∈ {1, . . . , M } \ A}
= [X ∈
/ A] = [X ∈ {1, . . . , M } \ A].
3.2.1
Probabilité d’un événement
Si A ⊂ {1, . . . , M }, alors
Pn−1
i=0
P(X ∈ A) = lim
n→+∞
3.3
1A (xi ) X
=
pa .
n
a∈A
Moyenne, espérance mathématique
Soit (pm : m = 1, . . . , M ) une distribution de probabilités sur l’ensemble {1, . . . , M }, et (xi ) de nombres entiers appartenant à {1, . . . , M }
1-distribuée selon la distribution de probabilités (pm ).
Définition. Moyenne, espérance mathématique :
Pn−1
i=0 xi
lim
= p1 + 2p2 + . . . + M pM = E[X].
n→+∞
n
Si M = +∞, alors la somme devient une série et elle peut diverger.
Exercice. Moyenne d’une variable de Bernoulli de paramètre p. Moyenne
d’une variable binomiale de paramètre (N, p). Moyenne d’une variable géométrique de paramètre p. Moyenne d’une variable de Poisson de paramètre
λ.
3.3.1
Variable centrée
La moyenne E(X) est un paramètre statistique de la loi (pm ). La nouvelle
variable X − E(X) : i ∈ N → xi − E(X) est centrée. Sa moyenne
M
X
E(X − E(X)) =
(k − E(X))pk = 0.
k=1
3.4
Variance
Définition. Moment d’ordre deux :
Pn−1 2
i=0 xi
lim
= p1 + 22 p2 + . . . + M 2 pM = E[X 2 ].
n→+∞
n
14
Si M = +∞, alors la somme devient une série et elle peut diverger.
Définition. Variance :
Pn−1
2
i=0 (xi − E(X))
V ar(X) = lim
= (1 − E(X))2 p1 + . . . + (M − E(X))2 pM .
n→+∞
n
Exercice. 1) La variance V ar(X) = 0 si et seulement si il existe un seul
terme pm = 1 et les autres pk = 0 pour j 6= m. Le pourcentage des termes
xi 6= m est nul. Le pourcentage des termes xi = m est égale à pm = 1.
2) Inégalité de Tchebechev : Pour tout entier l non nul
Pn−1
√
p
i=0 1[|xi −E(X)|≥ lV ar(X)]
1
P (|X − E(X)| ≥ lV ar(X)) = lim
≤ .
n→+∞
n
l
3.4.1
Variable centrée réduite
La nouvelle variable
X − E(X)
p
V ar(X)
a pour moyenne nulle et de variance égale à 1. Il est toujours préférable de
centrer et de réduire.
15
Chapitre 4
Nombres aléatoires
uniformément distribués sur
[0, 1]
4.1
Echauffements
Soit E un ensemble non vide et A ⊂ E. La fonction indicatrice de A est
définie par
1A (x) = 1,
si x ∈ A,
1A (x) = 0,
si x ∈
/ A.
Si A, B ⊂ E sont deux parties de E, alors
A \ B = {a ∈ A :
a∈
/ B}.
Proposition. 1) Si B ⊂ A, alors
1A (x) − 1B (x) = 1A\B (x).
2) Si A, B sont quelconques, alors
1A (x) − 1B (x) = 1A\B (x) − 1B\A (x).
Exemple. Si E = R, a < b sont deux nombres réels, alors
1[0,b] − 1[0,a] = 1]a,b] ,
1[0,b] − 1[0,a[ = 1[a,b] ,
1[0,b[ − 1[0,a] = 1]a,b[ ,
1[0,b[ − 1[0,a] = 1]a,b[ .
16
4.2
Nombres 1-uniformément distribués
Une suite 0 ≤ ui ≤ 1, i = 0, 1, . . . de nombres réels est 1-uniformément
distribuée si
Pn−1
i=0 1[0,t] (ui )
lim
→ t, ∀ t ∈ [0, 1].
(4.2.1)
n→+∞
n
Exercice. Si la suite 0 ≤ ui ≤ 1, i = 0, 1, . . . est 1-uniformément distribuée sur [0, 1], alors nous avons pour tous les couples 0 ≤ a < b ≤ 1 :
Pn−1
i=0 1[a,b] (ui )
lim
→ b − a,
n→+∞
n
Pn−1
i=0 1[a,b[ (ui )
→ b − a,
lim
n→+∞
n
Pn−1
i=0 1]a,b] (ui )
lim
→ b − a,
n→+∞
n
Pn−1
i=0 1]a,b[ (ui )
lim
→ b − a.
n→+∞
n
4.2.1
Fonction de répartition et densité de la loi uniforme
sur [0, 1]
Exercice. a) Le pourcentage des visites de l’intervalle (−∞, t] par la
suite u0 , . . . , un−1 est égal à
Pn−1
1(−∞,t] (ui )
n
F (t) := i=0
.
n
Tracer la courbe de la fonction
t ∈ R → F n (t).
b) On suppose que la suite (ui ) est 1-uniformément distribuée sur [0, 1].
Tracer la courbe de la fonction limite
t ∈ R → lim F n (t) = F (t).
n→+∞
La fonction F est appelée la fonction de répartition de la loi uniforme sur
[0, 1].
Rt
c) Calculer la fonction f telle que F (t) = −∞ f (x)dx pour tout nombre
réel t. Tracer la courbe de f appelée la densité de la loi uniforme sur [0, 1].
La fonction f est appelée la densité de la loi uniforme sur [0, 1].
17
4.2.2
Intégrale de Riemann et la loi uniforme sur [0, 1]
Théorème. Si la suite (ui ) est 1-uniformément distribuée sur [0, 1], alors
Pn−1
Z 1
i=0 g(ui )
lim
g(t)dt
→
n→+∞
n
0
pour toute fonction g Riemann intégrable sur [0, 1].
Exemples de fonctions Riemann intégrables. Les fonctions continues, les fonctions continues par morceaux, les indicatrices g(t) = 1[a,b] (t),
P
les fonctions en escaliers g(t) = ki=1 ci 1[ai ,bi ] (t).
Exercice. Soit (ui ) une suite 1-uniformément distribuée sur [0, 1]. Calculer les limites suivantes :
Pn−1
i=0 1[a,b] (ui )
lim
, où 0 ≤ a < b ≤ 1,
n→+∞
n
Pn−1 1
lim
n→+∞
i=0
n
√
ui
,
Pn−1
Moyenne
m1 = lim
n→+∞
i=0
ui
n
,
Pn−1
i=0
m2 = lim
n→+∞
n
Pn−1
2
(u
−
m
)
i
1
i=0
σ 2 = lim
.
n→+∞
n
Moment d’ordre deux
Variance
u2i
,
Vérifier l’égalité
σ 2 = m2 − m21 .
4.2.3
Nombres 1-uniformément distribués sur [a, b]
On suppose que la suite (ui ) est 1-uniformément distribuée sur [0, 1].
Soient a < b deux nombres réels. On pose, pour chaque entier i,
xi = (b − a)ui + a.
Exercice.
18
1) Calculer les limites suivantes :
Pn−1
Moyenne
m1 = lim
n→+∞
i=0
xi
n
,
Pn−1
i=0
m2 = lim
n→+∞
n
Pn−1
2
i=0 (xi − m1 )
.
σ 2 = lim
n→+∞
n
Moment d’ordre deux
Variance
x2i
,
Vérifier l’égalité
σ 2 = m2 − m21 .
2) Calculer, pour chaque t ∈ R,
Pn−1
i=0 1(−∞,t](xi )
lim
:= F (t).
n→+∞
n
3) Tracer la courbe de la fonction t ∈ R → F (t). La fonction F est
appelée la fonction de répartition de la loi uniforme sur [a, b].
4) Trouver la fonction f qui vérifie
Z t
F (t) =
f (u)du, ∀ t.
−∞
Tracer la courbe de f . La fonction f est appelée la densité de la loi uniforme
sur [a, b].
4.2.4
Nombres distribués selon la loi exponentielle de paramètre λ
Exercice. On suppose que la suite (ui ) est 1-uniformément distribuée
sur [0, 1]. Soient λ > 0 un nombre réel.
1) Trouver pour chaque i, le nombre réel yi solution de l’équation
1 − exp(−λxi ) = ui .
2) Calculer, pour chaque t ∈ R,
Pn−1
i=0 1]−∞,t] (xi )
lim
:= F (t).
n→+∞
n
3) Tracer la courbe de la fonction t ∈ R → F (t). La fonction F est
appelée la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre λ.
19
Trouver la fonction f qui vérifie
Z t
f (x)dx,
F (t) =
∀ t.
−∞
Tracer la courbe de f . La fonction f est appelée la densité de la loi exponentielle de paramètre λ.
4) Calculer les limites suivantes :
Pn−1
i=0 xi
m1 := lim
,
n→+∞
n
Pn−1 2
i=0 xi
,
m2 := lim
n→+∞
n
Pn−1
2
i=0 (xi − m1 )
σ 2 := lim
.
n→+∞
n
Vérifier l’égalité σ 2 = m2 − m21 .
Mêmes questions pour la suite yi définie par
exp(−λyi ) = ui .
Exercice. Soit (ui ) une suite 1-uniformément distribuée sur [0, 1]. Soit
t ≥ 0 et
∆t = {(x, y) ∈ [0, 1]2 :
x + y ≤ t}.
Peut-on calculer
Pn−1
lim
n→+∞
4.3
i=0
1∆t (ui , ui+1 )
?
n
Nombres 2-uniformément distribués
Une suite (ui ) de nombres réels appartenant à [0, 1] est 2-uniformément
distribuée si
Pn−1
i=0 1[0,t1 ]×[0,t2 ] (ui , ui+1 )
→ t1 t2 , ∀ t1 , t2 ∈ [0, 1].
lim
n→+∞
n
Exercice. On suppose que la suite (ui ) est 2-uniformément distribuée
sur [0, 1].
20
1) Montrer que les suites suivantes sont 1-uniformément distribuées :
(ui ),
(ui+1 ).
2) Montrer l’égalité
Pn−1
i=0 1[a1 ,b1 ]×[a2 ,b2 ] (ui , ui+1)
lim
→ (b1 − a1 )(b2 − a2 ),
n→+∞
n
lorsque 0 ≤ a1 ≤ b1 ≤ 1 et 0 ≤ a2 ≤ b2 ≤ 1.
Théorème. Si la suite (ui ) est 2-uniformément distribuée, alors
Pn−1
Z 1Z 1
i=0 f (ui , ui+1 )
lim
→
f (t1 , t2 )dt1 dt2
n→+∞
n
0
0
pour toute fonction f Riemann intégrable sur [0, 1]2 .
Exemples de fonctions Riemann intégrables. Les fonctions continues, les fonctions continues par morceaux, les indicatrices f (t1 , t2 ) = 1D (t1 , t2 )
où D est un domaine de [0, 1]2 (triangle, parallélogramme, trapèze, ...).
Exercice. Soit (ui ) une suite 2-uniformément distribuée sur [0, 1].
a) Calculer la limite suivante :
Pn−1
1
1
i=0 (ui − 2 )(ui+1 − 2 )
Covariance = lim
.
n→+∞
n
b) On pose yi = ui + ui+1 . Calculer, pour chaque t ∈ R, la limite suivante
Pn−1
i=0 1[0,t] (yi )
F (t) := lim
.
n→+∞
n
Tracer la courbe de la fonction t ∈ R → F (t). La suite (yi ) est-elle 1uniformément distribuée sur [0, 2] ?
c) Peut-on calculer
Pn−1
i=0 1[0,t](ui +ui+1 +ui+2 )]
lim
?
n→+∞
n
4.4
Nombres 3-uniformément distribués
Une suite (ui ) de nombres réels appartenant à [0, 1] est 3-uniformément
distribuée si
Pn−1
i=0 1[ui ≤t1 ,ui+1 ≤t2 ,ui+2 ≤t3 ]
lim
→ t1 t2 t3 , ∀ t1 , t2 , t3 ∈ [0, 1]3 ,
n→+∞
n
21
ici pour simpifier nous avons posé
1[ui ≤t1 ,ui+1 ≤t2 ,ui+2 ≤t3 ] := 1[0,t1 ] (ui )1[0,t2 ] (ui+1 )1[0,t3 ] (ui+2 ).
Exercice. On suppose que la suite (ui ) est 3-uniformément distribuée
sur [0, 1].
a) Montrer que les suites suivantes sont 2-uniformément distribuées :
(xi ),
(xi+1 ).
b) Montrer que les suites suivantes sont 1-uniformément distribuées :
(xi ),
(xi+1 ).
Théorème. Si la suite (ui ) est 3-uniformément distribuée, alors
Pn−1
Z 1Z 1Z 1
i=0 f (ui , ui+1 , ui+2 )
→
f (t1 , t2 , t3 )dt1 dt2 dt3
lim
n→+∞
n
0
0
0
pour toute fonction f Riemann intégrable sur [0, 1]3 .
Exemples de fonctions Riemann intégrables. Les fonctions continues, les fonctions continues par morceaux, les indicatrices f (t1 , t2 , t3 ) =
1D (t1 , t2 , t3 ) où D est un domaine [0, 1]3 .
Exercice. Soit (ui ) une suite 3-uniformément distribuée sur [0, 1]. On
pose yi = ui + ui+1 + ui+2 .
a) Calculer, pour chaque t ∈ R, la limite suivante
Pn−1
i=0 1[yi ≤t]
F (t) := lim
.
n→+∞
n
Tracer la courbe de la fonction t ∈ R → F (t). La suite (yi ) est-elle 1uniformément distribuée sur [0, 3].
b) Peut-on calculer
Pn−1
i=0 1[ui +ui+1 +ui+2 +ui+3 ≤t]
lim
?
n→+∞
n
22
4.5
Nombres d-uniformément distribués
Une suite (ui ) de nombres réels appartenant à [0, 1] est d-uniformément
distribuée si
Pn−1
d
Y
i=0 1[ui ≤t1 ,...,ui+d−1 ≤td ]
lim
→
ti , ∀ t1 , . . . , td ∈ [0, 1]d .
n→+∞
n
i=1
Exercice. On suppose que la suite (ui ) est d-uniformément distribuée
sur [0, 1].
a) Montrer que les deux suites suivantes sont d − 1-uniformément distribuées :
(ui ),
(ui+1 ).
b) Montrer que les suites suivantes sont 1-uniformément distribuées :
(ui ),
(ui+1 ).
Théorème. Si la suite (ui ) est d-uniformément distribuée, alors
Pn−1
Z
i=0 f (ui , . . . , ui+d−1 )
lim
→
f (t1 , . . . , td )dt1 . . . dtd
n→+∞
n
[0,1]d
pour toute fonction f Riemann intégrable sur [0, 1]d .
Exemples de fonctions Riemann intégrables. Les fonctions continues, les fonctions continues par morceaux, les indicatrices f (t1 , . . . , td ) =
1D (t1 , . . . , td ) où D est un domaine de [0, 1]d .
Exercice. Soit (ui ) une suite d-uniformément distribuée sur [0, 1]. Calculer la limite suivante
Pn−1
i=0 ui . . . ui+d−1
lim
.
n→+∞
n
4.6
Nombres aléatoires uniformes sur [0, 1]
Définition. Les nombres (ui ) sont aléatoires et uniformes sur [0, 1] s’ils
sont d-uniformément distribués sur [0, 1] pour tout entier d ≥ 1.
23
Exercice : Loi géométrique. Soit (ui ) des nombres aléatoires et uniformément distribués sur [0, 1]. On définit, pour t ∈ [0, 1] fixé, la suite
xi = min{k :
ui+k ≤ t},
i = 0, 1, . . . .
Calculer pour chaque k ≥ 0, la limite
Pn−1
lim
n→+∞
Montrer que la suite (pk :
sur N.
i=0
1[xi =k]
= pk
n
k = 0, 1, . . .) est une distribution de probabilités
24
Chapitre 5
Fonction de répartition et
densité d’une loi de probabilité
sur R
5.1
Fonction de répartition d’une loi de probabilité
sur R
Une fonction F : R → [0, 1] ayant les propriétés suivantes :
1) F est croissante,
2) F est continue à droite,
3) limx→−∞ F (x) = 0, limx→+∞ F (x) = 1,
est appelée fonction de répartition d’une loi de probabilité.
5.1.1
Interprétation probabiliste de la fonction de répartition
Soit (xi ) une suite de nombres réels telle que pour chaque x ∈ R
Pn−1
i=0 1]−∞,x] (xi )
lim
= F (x),
n→+∞
n
C’est le pourcentage des termes xi ≤ x dans la suite (xi ).
L’application X : i ∈ N → xi ∈ R est appelée variable aléatoire ayant la
fonction de répartition F . Le pourcentage des termes xi ≤ x dans la suite
(xi ) s’interprète comme la probabilité
P(X ≤ x) = F (x).
25
Proposition. On admet que
P(X < x) = lim F (t) := F (x − 0).
t→x−0
Exercice. Montrer l’égalité
P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a),
∀ a < b,
P(a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a − 0),
∀ a < b,
P(a < X < b) = F (b − 0) − F (a),
∀ a < b,
P(a ≤ X < b) = F (b − 0) − F (a − 0),
∀ a < b.
En déduire que si F est continue, alors
P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = F (b) − F (a).
Exemples. 1) On représente la face d’une pièce d’une pièce de monnaie
par le chiffre 0 et pile par le chiffre 1. Si on lance une infinité de fois cette
pièce de monnaie alors on obtient une suite (xi ) de nombres appartenant à
{0, 1}. L’application X : i ∈ N → xi ∈ {0, 1} est appelée la variable aléatoire
de Bernoulli. La probabilité d’obtenir 1 est égale à
Pn−1
i=0 1{1} (xi )
lim
:= p = P(X = 1).
n→+∞
n
Par conséquent la probabilité d’obtenir 0 est égale à
Pn−1
i=0 1{0} (xi )
lim
:= P(X = 0) = 1 − p.
n→+∞
n
Le couple (1−p, p) est appelée la loi de probabilité de Bernoulli de paramètre
de succès p. Sa fonction de répartition est égale à
x ∈ R → F (x) = P(X ≤ x).
Elle est égale à
F (x) = 0 x < 0,
F (x) = 1 − p,
F (x) = 1,
0 ≤ x < 1,
1 ≤ x.
2) Une suite (xi ) de durée de vie des êtres humains définit l’application
X : i ∈ N → xi ∈ [0, +∞)
26
appelée la variable aléatoire durée de vie. La probabilité qu’un être humain
décède avant l’âge t est égale à
Pn−1
i=0 1[0,t] (xi )
lim
:= P(X ≤ t).
n→+∞
n
Par conséquent la probabilité qu’il reste en vie après l’âge t est égale à
Pn−1
i=0 1[t,+∞[ (xi )
lim
:= P(X ≥ t).
n→+∞
n
La fonction
F : t ∈ R → P(X ≤ t)
est la fonction de répartition de la loi de la durée de vie.
Si
F (t) = 0,
t < 0,
F (t) = 1 − exp(−λt),
∀ t > 0,
où λ > 0 est un paramètre indépendant du temps t (par exemple λ = 1),
alors la durée de vie suit la loi de probabilité exponentielle de paramètre λ.
Si
F (t) = 0, t < 0,
t−a
F (t) =
, ∀t ∈ [a, b],
b−a
F (t) = 1, ∀ b ≤ t,
où 0 < a < b sont deux paramètres indépendant du temps t, alors la durée
de vie suit la uniforme sur l’intervalle [a, b].
Exercice. Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre
λ > 0.
1) Absence de mémoire dans la loi exponentielle. Montrer l’égalité
P(X > t + s | X > t) = P(X > s),
∀ s > 0, t > 0.
2) Moyenne, moment d’ordre 2, et variance de la loi exponentielle. Calculer
Z +∞
m1 =
tλ exp(−λt)dt,
Z0 +∞
m2 =
t2 λ exp(−λt)dt,
0
σ 2 = m2 − (m1 )2 .
27
3) Vérifier l’égalité
σ2 =
Z
+∞
(t − m1 )2 λ exp(−λt)dt.
0
5.2
La densité d’une loi de probabilité sur R
Soit F la fonction de répartition d’une loi de probabilité sur R.
Proposition. Si la fonction F est continue et dérivable alors sa fonction
dérivée t ∈ R → f (t) = F 0 (t) vérifie
1) f (t) ≥ 0,
Rb
R +∞
2) lima→−∞ limb→+∞ a f (t)dt := −∞ f (t)dt = 1.
Preuve. La croissance de F implique que f (t) = F 0 (t) ≥ 0. L’égalité
Z b
f (t)dt = F (b) − F (a)
a
implique
Z
lim
+∞
lim {F (b) − F (a)} = 1 =
a→−∞ b→+∞
f (t)dt.
−∞
Définition. La fonction f (t) = F 0 (t) est appelée la densité d’une loi de
probabilité sur R.
Exercice. 1) Vérifier que la loi de Bernoulli n’a pas de densité.
2) Soit X une variable aléatoire dont la fonction de répartition F est
dérivable. Montrer les égalités
P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = F (b) − F (a)
pour touts les couples a < b.
Exemples. 1) La fonction de répartition de la loi de probabilité uniforme
sur [a, b] est égale à
F (t) = 0, t < a,
t−a
F (t) =
, a ≤ t < b,
b−a
F (t) = 1, t ≥ b.
Sa dérivée
f (t) = 0,
t < a,
1
f (t) =
, a ≤ t < b,
b−a
f (t) = 0, t ≥ b,
28
est la densité de la loi de probabilité uniforme sur [a, b]. Si X est la variable
aléatoire ayant la fonction de répartition F , alors
Z t
f (x)dx = aire occupée par la densité f durant ] − ∞, t].
P(X ≤ t) = F (t) =
−∞
2) La fonction de répartition de la loi de probabilité exponentielle de
paramètre λ > 0 est égale à
F (t) = 0,
t < 0,
F (t) = 1 − exp(−λt),
t ≥ 0.
Sa dérivée
f (t) = 0,
t < 0,
f (t) = λ exp(−λt),
t ≥ 0,
est la densité de la loi de probabilité exponentielle. Si X est la variable
aléatoire ayant la fonction de répartition F , alors
Z t
P(X ≤ t) = F (t) =
f (x)dx = aire occupée par la densité f durant ] − ∞, t].
−∞
Exercice Médiane de la loi exponentielle. Soit X une variable aléatoire ayant la loi exponentielle de paramètre λ > 0.
1) Trouver le nombre t1/2 (appelé médiane) tel que
1
P(X ≤ t1/2 ) = .
2
2) Trouver le quartile t1/4 de X solution de l’équation
1
P(X ≤ t1/4 ) = .
4
3) Trouver le troisième quartile t3/4 de X solution de l’équation
3
P(X ≤ t3/4 ) = .
4
29
5.3
Formule de changement de variable
Soit F une fonction de répartition d’une loi de probabilité, ayant une
densité f = F 0 . Soit X = (xi ) une variable aléatoire ayant la fonction de
répartition F .
Proposition. 1) Soit ϕ : R → R une bijection. La variable aléatoire
Y = (ϕ(xi )) a pour fonction de répartition
Pn−1
i=0 1]−∞,y] (yi )
y ∈ R → lim
= F (ϕ−1 (y)) := FY (y).
n→+∞
n
2) Si la fonction ϕ est dérivable avec ϕ0 (x) 6= 0 pour tout x, alors la
fonction de répartition FY a pour dérivée
fY (y) = FY0 (y) =
f (ϕ−1 (y))
.
|ϕ0 (ϕ−1 (y))|
Remarque Importante. Méthode pratique. On pose
y = ϕ(x),
x = ϕ−1 (y),
dy = |ϕ0 (x)|dx,
dx =
1
|ϕ0 (x)|
dy,
fY (y)dy = fX (x)dx,
implique
fY (y) = fX (x)
dx
.
dy
Exercice. Soit X = (xi ) une suite uniformément distribuée sur [0, 1].
On considère la nouvelle suite yi = − ln(xi ). Trouver la densité de la loi de
la variable aléatoire Y = (yi ) en utilisant la densité
5.4
Loi de Weibull
Soit k > 0, λ > 0 fixés. La fonction
f (t) = 0,
t < 0,
k−1
k t
t
f (t) =
exp{−( )k },
λ λ
λ
t > 0,
est la densité de la loi de Weibull de paramètres (k, λ).
30
Exercice. 1) Vérifier que f est une densité de probabilité sur R.
2) Calculer la fonction de répartition de la loi de Weibull
t
F (t) = 1 − exp{−( )k },
λ
t ≥ 0.
Voir wikipedia.
5.5
La fonction Gamma
Exercice. 1) Soit a > 0. Montrer que
Z t
Z
a−1
Γ(a) = lim
x
exp(−x)dx :=
t→+∞ 0
+∞
xa−1 exp(−x)dx < +∞.
0
La fonction Γ :]0, +∞[→ Γ(a) est appelée la fonction Gamma.
2) Calculer la moyenne, la variance et la médiane de la loi de Weibull de
paramètre (k, λ).
31