Séries trigonométriques

Séries tr
igonométri
qu
e
s
1.
Généralités
Définitions
1.1
Soient
(
a
n
)
n
et
(
b
n
)
n
deux suites
complexes
.
On appelle série trigonométrique toute série
(
f
n
)
n
de fonctions de
Á
dans
Â
dont le terme général est
défini sur
Á
par
f
n
(
t
)
=
a
n
cos
nt
+
b
n
sin
nt
(1)
.
Remarques 1.2
x
Les séries tri
gonométriques sont, comme les séries en
tières, des sér
ies de fonctions d'une forme
particulière.
x
Avec les notations de la définition 1
.1
, on a, p
our tout réel
t
,
f
0
(
t
)
=
a
0
et
b
0
n'intervient pas.
On supposera donc que
b
0
=
0.
Propriété 1.3
Le terme général d'une série trigonométrique peut s
'é
crire :
t
Á
,
f
0
(
t
)
=
a
0
et
f
n
(
t
)
=
si
n
t
1 (2)
.
c
n
e
i
n
t
+
c
−
n
e
−
i
n
t
On parle alors de la série
.
(
c
n
e
i
n
t
+
c
−
n
e
−
i
n
t
)
Démonstration
Puisque
et
, on obtient
c
o
s
n
t
=
e
i
n
t
+
e
−
i
n
t
2
s
i
n
n
t
=
e
i
n
t
−
e
−
i
n
t
2
i
=
i
e
−
i
n
t
−
i
e
i
n
t
2
f
n
(
t
)
=
.
a
n
e
i
n
t
+
e
−
i
n
t
2
+
b
n
i
e
−
i
n
t
−
i
e
i
n
t
2
=
a
n
−
i
b
n
2
e
i
n
t
+
a
n
+
i
b
n
2
e
−
i
n
t
Il suffit donc de poser :
a
0
=
c
0
,
b
0
=
0 et
si
n
t
1
pour obtenir la forme voulue.
c
n
=
a
n
−
i
b
n
2
c
−
n
=
a
n
+
i
b
n
2
Remarques 1.4
Avec les notations de la définition et de la propriété :
x
La forme (2) est appelée la forme complexe de la série trigonométrique et la forme (1) est appelée
la forme réelle même si, rappelons-le, les coefficients
a
n
et
b
n
peuvent être complexes.
x
En cas de convergence, la somme
peut être notée
.
n
0
(
c
n
e
i
n
t
+
c
−
n
e
−
i
n
t
)
n
=−
+
c
n
e
n
t
Cette notation correspon
d à une série dite à double entrée.
x
On a
pour
n
t
1. On peut donc facilement passer d'une forme à l'autre.
a
n
=
c
n
+
c
−
n
b
n
= (
c
n
−
c
−
n
)
i
Francis Wlazinski
1

x
P
our tout entier
n
, la foncti
on
f
n
est infiniment dérivable sur
Á
et est
2
π
-p
ériodique
.
En particulier, si la série numérique
(
a
n
cos
n
x
+
b
n
sin
n
x
)
converge pour un réel
x
et si
S
est sa
somme, alors la série numérique
(
a
n
cos
n
(
x
+
2
π
)
+
b
n
sin
n
(
x
+
2
π
)
) est convergente de même
somme
S
. Ce que l'on peut aussi traduire aussi par : en cas de convergence, l
a fonction
est
2
π
-péri
odique
.
S
(
x
) =
n
0
(
c
n
e
i
n
t
+
c
−
n
e
−
i
n
t
)
2. Convergence
Propriété 2.1
Soi
ent
(
a
n
)
n
,
(
b
n
)
n
et
(
c
n
)
n
trois suites complexes.
On considère une série trigonom
é
trique des formes équivalentes (1) ou (2).
La série de terme général |
a
n
|
+
|
b
n
| (pour
n
t
0)
et la série de terme géné
ral |
c
n
|
+
|
c
−
n
| (
pour
n
t
0) sont
de même nature.
En cas de convergence, la série trigonométrique
est normalement conver
gente sur
Á
.
(
c
n
e
i
n
t
+
c
−
n
e
−
i
n
t
)
Remarque 2.2
Les hypothèses de convergence sont vérifi
ées si les séries
et
sont toutes les deux absolument
a
n
b
n
convergentes ou si les séries
et
sont toutes les deux absolument convergentes.
c
n
c
−
n
Démonstration
On a |
a
n
|
+
|
b
n
|
=
|
c
n
+
c
−
n
|
+
|
(
c
n
−
c
−
n
)
i
|
≤
|
c
n
|
+
|
c
−
n
|
+
|
c
n
−
c
−
n
|
≤
|
c
n
|
+
|
c
−
n
|
+
|
c
n
|
+
|
c
−
n
|
≤
2(|
c
n
|
+
|
c
−
n
|)
et |
c
n
|
+
|
c
−
n
|
=
≤
≤
|
a
n
|
+
|
b
n
|.
a
n
−
i
b
n
2
+
a
n
+
i
b
n
2
a
n
+
b
n
2
+
a
n
+
b
n
2
En cas de convergence, on obtient directement le résultat puisque |
a
n
cos
nt
+
b
n
sin
nt
|
≤
|
a
n
|
+
|
b
n
|
n
À
et
t
Á
et puisque les séries
et
sont les mêmes.
(
a
n
c
o
s
n
t
+
b
n
s
i
n
n
t
)
(
c
n
e
i
n
t
+
c
−
n
e
−
i
n
t
)
Exemple 2.3
La série de terme général
est normalement convergente sur
Á
.
1
n
2
c
o
s
n
x
−
1
n
3
s
i
n
n
x
Ra
ppe
l 2.4
Règle d'Abel
Soit
e
une suite de nombres complexe
s telle que, pour tout entier
p
, la somme
soit bornée.
S
˜
p
=
k
=
1
p
e
k
So
it
u
une suite de nombre positifs, décroissante et qui tend vers 0.
Alors la série
est conver
gente.
e
n
u
n
Corollaire 2.5
So
it
u
une suite de nombre positifs, décroissante et qui tend vers 0.
P
ou
r tout
x
Á
\
2
S
Ä
, les séries numériq
ues
,
et
sont convergentes.
u
n
e
i
n
x
u
n
c
o
s
n
x
u
n
s
i
n
n
x
Ce qui signifie que les séries de fonctions
,
et
sont simplement
u
n
e
i
n
x
u
n
c
o
s
n
x
u
n
s
i
n
n
x
convergentes sur tout intervalle de la forme
]
2
k
π
;
(
2
k
+
2)
π
[ où
k
Ä
.
De plus, la convergence est uniforme sur tout intervalle de la fo
r
me
[
2
k
π + α
;
(
2
k
+
2)
π −
α
] où
k
Ä
et
α
Á
v
érifie 0
< α <
π
.
Francis Wlazinski
2

Remarques 2.6
x
La convergence est donc uniforme sur tout fer
mé borné (
compact) de
]
2
k
π
;
(
2
k
+
2)
π
[
k
Ä
.
x
Si
x
=
2
k
S
avec
k
Ä
,
alors la série
est la série numérique
.
u
n
e
i
n
x
u
n
x
Eta
nt donné la périodicité, il suffit souvent de travailler dans un intervalle de longueur 2
π
.
Généralement
, le plus simple est [0;2
π
].
Démonstration
Remarquons d'abord que
et que
.
k
=
0
p
u
k
c
o
s
k
x
=
R
e
k
=
0
p
u
k
e
i
k
x
k
=
1
p
u
k
s
i
n
k
x
=
I
m
k
=
0
p
u
k
e
i
k
x
La convergence de la série
implique donc celle des deux autres.
u
n
e
i
n
x
Si
x
=
2
j
S
avec
j
Ä
,
.
k
=
0
p
e
i
k
x
=
p
+
1
Si
x
=
(
2
j
1
S
avec
j
Ä
,
si
p
est pa
ir et
si
p
est impair
.
k
=
0
p
e
i
k
x
=
1
k
=
0
p
e
i
k
x
=
0
Si
,
∀
j
Ä
,
x
z
j
S
,
alor
s
.
k
=
0
p
e
i
k
x
=
e
i
(
p
+
1
)
x
−
1
e
i
x
−
1
=
e
i
(
p
+
1
)
x
/
2
e
i
x
/
2
e
i
(
p
+
1
)
x
/
2
−
e
−
i
(
p
+
1
)
x
/
2
e
i
x
/
2
−
e
−
i
x
/
2
=
e
i
p
x
/
2
s
i
n
(
p
+
1
)
x
2
s
i
n
x
2
.
>
1
s
i
n
x
2
Si
x
Á
\
2
S
Ä
, n
ous sommes donc dans les hypothès
es de la règle d'Abel et la série
converge.
u
n
e
i
n
x
Remarquons maintenan
t que, si
x
[
2
k
π + α
;
(
2
k
+
2)
π −
α
], alo
rs
[
k
π +
;
(
k
+
1)
π −
] et
.
x
2
2
2
s
i
n
x
2
P
s
i
n
2
Donc
. Si on pose
, en utilisant la substitution d'Abel, on obtient
k
=
0
p
e
i
k
x
>
1
s
i
n
2
S
n
n
+
p
=
k
=
n
+
1
n
+
p
u
k
e
i
k
x
. Puisque
, on en déduit que, pour tout réel
ε
, on peut trouver un entier
N
S
n
p
>
2
u
n
+
1
1
s
i
n
2
l
i
m
n
+
u
n
=
0
tel que,
∀
p
≥
0, si
n
≥
N
alors
et ceci pour tout
x
[
2
k
π + α
;
(
2
k
+
2)
π −
α
].
k
=
n
+
1
n
+
p
u
k
e
i
k
x
<
Exemples 2.7
x
La série
converge pour tout
x
Á
\
2
S
Ä
et elle diverge pour
x
=
2
k
S
où
k
Ä
.
c
o
s
n
x
n
x
La série
converge pour tout
x
Á
.
s
i
n
n
x
n
En effet, si
x
=
2
k
S
avec
k
Ä
,
cette série est la série nulle.
Corollaire 2.8
Soi
ent
(
a
n
)
n
,
(
b
n
)
n
et
(
c
n
)
n
trois suites complexes.
On considère une série trigonom
é
trique des formes équivalentes (1) ou (2).
Si les suites de terme général
c
n
et
c
−
n
(pour
n
t
0) sont des suites de nombre positifs, décroissantes et qui
tendent vers 0. Alors les séries trigonométriq
ues
ou
sont
(
a
n
c
o
s
n
t
+
b
n
s
i
n
n
t
)
(
c
n
e
i
n
t
+
c
−
n
e
−
i
n
t
)
simplement convergentes sur tout intervalle de la forme
]
2
k
π
;
(
2
k
+
2)
π
[ où
k
Ä
.
De plus, la convergence est uniforme sur tout intervalle de la fo
r
me
[
2
k
π + α
;
(
2
k
+
2)
π −
α
] où
k
Ä
et
α
Á
v
érifie 0
< α <
π
.
Francis Wlazinski
3

3. Somme d'une série trigono
métrique et opérateurs
Corollaire 3.1
Soi
ent
(
a
n
)
n
,
(
b
n
)
n
et
(
c
n
)
n
trois suites complexes.
a.
Si la série de terme géné
ral |
c
n
|
+
|
c
−
n
| (
pour
n
t
0) est convergente alo
rs la somme de la série
trigonométrique
est continue sur
Á
.
(
c
n
e
i
n
t
+
c
−
n
e
−
i
n
t
)
a'.
Si la série de terme géné
ral |
a
n
|
+
|
b
n
| (
pour
n
t
0) est convergente alo
rs la somme de la série
trigonométrique
est continue sur
Á
.
(
a
n
c
o
s
n
t
+
b
n
s
i
n
n
t
)
b.
Si les suites de terme général
c
n
et
c
−
n
(pour
n
t
0) sont des suites de nombre réels positifs,
décroissantes et qui tendent vers 0, alors la somme de la série
est continue sur
(
c
n
e
i
n
t
+
c
−
n
e
−
i
n
t
)
tout intervalle de la forme
]
2
k
π
;
(
2
k
+
2)
π
[ où
k
Ä
.
b'.
Si les suites de terme général
a
n
et
b
n
(pour
n
t
0) sont des suites de nombre positifs, décroissantes
et qui tendent vers 0, alors la somme de la série
est continue sur tout
(
a
n
c
o
s
n
t
+
b
n
s
i
n
n
t
)
intervalle de la forme
]
2
k
π
;
(
2
k
+
2)
π
[ où
k
Ä
.
c.
Si les séries
n
c
n
et
n
c
−
n
sont absolument
convergentes (il en est de m
ême des séries
c
n
et
c
−
n
)
alors
est dé
rivable sur
Á
et sa dérivée est
.
n
0
(
c
n
e
i
n
t
+
c
−
n
e
−
i
n
t
)
n
0
(
i
n
c
n
e
i
n
t
−
i
n
c
−
n
e
−
i
n
t
)
c'.
Si les séries
n
a
n
et
n
b
n
sont absolument
convergentes alors
est
n
0
(
a
n
c
o
s
n
t
+
b
n
s
i
n
n
t
)
dé
rivable sur
Á
et sa dérivée est
.
n
0
(−
n
a
n
s
i
n
n
t
+
n
b
n
c
o
s
n
t
)
d.
Si les séries
c
n
et
c
−
n
sont absolument
convergentes, alors, pour tout réel
x
, la sé
rie
conver
ge vers
.
0
x
(
c
n
e
i
n
t
+
c
−
n
e
−
i
n
t
)
d
t
0
x
n
0
(
c
n
e
i
n
t
+
c
−
n
e
−
i
n
t
)
d
t
d'.
Si les séries
a
n
et
b
n
sont absolument
convergentes, alors, pour tout réel
x
, la sé
rie
conver
ge vers
.
0
x
(
a
n
c
o
s
n
t
+
b
n
s
i
n
n
t
)
d
t
0
x
n
0
(
a
n
c
o
s
n
t
+
b
n
s
i
n
n
t
)
d
t
Propriété 3.2
Soit
une série entière de rayon de convergence non nul
R
et de somme
S
(
z
)
.
a
n
z
n
Alors
,
r
]
0;
R
[
,
la série trigonométrique
converge normalement sur
Á
vers
S
(
) .
a
n
r
n
e
i
n
x
r
e
i
x
Démonstration
Pour tout réel
x
,
et la série
est absolument convergente.
a
n
r
n
e
i
n
x
>
a
n
r
n
a
n
r
n
De plus, on a
.
r
n
e
i
n
x
=
(
r
e
i
x
)
n
Remarque 3.3
On peut ainsi former des séries trigonométriques dont la somme est connue et dont on peut séparer la
partie imaginaire et la partie réelle.
Exemple 3.4
Pour tout complexe
z
tel que |
z
|
<
1, on a
.
1
+
z
1
−
z
=
1
+
2
z
1
1
−
z
=
1
+
2
z
n
0
z
n
=
1
+
2
n
1
z
n
En rempla
çant
z
par
r
e
ix
avec
r
]
0;
1
[
et
x
Á
,
on obtient
.
1
+
r
e
i
x
1
−
r
e
i
x
=
1
+
2
n
1
r
n
e
i
n
x
De plus,
1
+
r
e
i
x
1
−
r
e
i
x
=
1
+
r
c
o
s
x
+
i
r
s
i
n
x
1
−
r
c
o
s
x
−
i
r
s
i
n
x
=(
1
+
r
c
o
s
x
+
i
r
s
i
n
x
)(
1
−
r
c
o
s
x
+
i
r
s
i
n
x
)
(
1
−
r
c
o
s
x
−
i
r
s
i
n
x
)(
1
−
r
c
o
s
x
+
i
r
s
i
n
x
)
.
=(
1
+
i
r
s
i
n
x
)
2
−
r
2
c
o
s
2
x
(
1
−
r
c
o
s
x
)
2
+
r
2
s
i
n
2
x
=
1
−
r
2
+
2
i
r
s
i
n
x
1
+
r
2
−
2
r
c
o
s
x
Francis Wlazinski
4

On a donc :
et
1
+
2
n
1
r
n
c
o
s
n
x
=
R
e
1
+
2
n
1
r
n
e
i
n
x
=
R
e
1
+
r
e
i
x
1
−
r
e
i
x
=
1
−
r
2
1
+
r
2
−
2
r
c
o
s
x
.
1
+
2
n
1
r
n
s
i
n
n
x
=
I
m
1
+
2
n
1
r
n
e
i
n
x
=
I
m
1
+
r
e
i
x
1
−
r
e
i
x
=
2
r
s
i
n
x
1
+
r
2
−
2
r
c
o
s
x
4. Dé
veloppement en série trigonométrique
Propriété 4.1
Soi
ent
(
a
n
)
n
,
(
b
n
)
n
et
(
c
n
)
n
trois suites complexes.
On considère une série trigonom
é
trique des formes équivalentes (1) ou (2).
Si cette série converge uniformément sur
Á
et si
S
est sa somme
i.e
x
Á
,
S
(
x
) =
n
0
(
c
n
e
i
n
x
+
c
−
n
e
−
i
n
x
)
alors on a :
a.
∀
k
Ä
.
c
k
=
1
2
0
2
S
(
t
)
e
−
i
k
t
d
t
b.
a
0
=
1
2
0
2
S
(
t
)
d
t
si
k
t
1.
a
k
=
1
0
2
S
(
t
)
c
o
s
k
t
d
t
c.
.
b
k
=
1
0
2
S
(
t
)
s
i
n
k
t
d
t
Remarque 4.2
On peut remplacer les intégrales de 0 à 2
π
par des intégrales de
a
à
a
+
2
π
quel que soit le réel
a
.
En effet, si
g
est une fonction
2
π
-péri
odique
intégrable sur
Á
, en uti
li
sant le changement de vari
able
u
=
t
−
2
π
, pour tout réel
a
, on a
.
2
2
+
a
g
(
t
)
d
t
=
0
a
g
(
u
)
d
u
Donc
.
a
2
+
a
g
(
t
)
d
t
=
a
0
g
(
t
)
d
t
+
0
2
g
(
t
)
d
t
+
2
2
+
a
g
(
t
)
d
t
= −
0
a
g
(
t
)
d
t
+
0
2
g
(
t
)
d
t
+
0
a
g
(
t
)
d
t
=
0
2
g
(
t
)
d
t
Démonstration
a.
Remarquons en premier lieu que, pour tout couple d'entiers relatifs
(
p
,
q
)
,
on a :
Si
p
−
q
, alors
.
0
2
e
i
p
t
e
i
q
t
d
t
=
0
2
1
d
t
=
2
Si
p
z
−
q
, alors
.
0
2
e
i
p
t
e
i
q
t
d
t
=
0
2
e
i
(
p
+
q
)
t
d
t
=
1
p
+
q
e
i
(
p
+
q
)
t
0
2
=
1
p
+
q
−
1
p
+
q
=
0
Si
, alors, pour tout entier relatif
k
,
.
S
(
x
) =
n
0
(
c
n
e
i
n
x
+
c
−
n
e
−
i
n
x
)
S
(
x
)
e
−
i
k
x
=
n
0
(
c
n
e
i
n
x
e
−
i
k
x
+
c
−
n
e
−
i
n
x
e
−
i
k
x
)
Donc,
0
2
S
(
t
)
e
−
i
k
t
d
t
=
0
2
n
0
(
c
n
e
i
n
x
e
−
i
k
x
+
c
−
n
e
−
i
n
x
e
−
i
k
x
)
d
t
=
n
0
0
2
(
c
n
e
i
n
x
e
−
i
k
x
+
c
−
n
e
−
i
n
x
e
−
i
k
x
)
d
t
.
=
n
0
c
n
0
2
e
i
n
x
e
−
i
k
x
d
t
+
c
−
n
0
2
e
−
i
n
x
e
−
i
k
x
d
t
=
c
k
0
2
e
i
k
x
e
−
i
k
x
d
t
=
2
c
k
b.
.
a
0
=
c
0
=
1
2
0
2
S
(
t
)
d
t
si
k
t
1.
a
k
=
c
k
+
c
−
k
=
1
2
0
2
S
(
t
)
e
−
i
k
t
d
t
+
1
2
0
2
S
(
t
)
e
i
k
t
d
t
=
1
0
2
S
(
t
)
e
i
t
+
e
−
i
k
t
2
d
t
c.
.
b
k
= (
c
k
−
c
−
k
)
i
=
i
2
0
2
S
(
t
)
e
−
i
k
t
d
t
−
i
2
0
2
S
(
t
)
e
i
k
t
d
t
=
1
0
2
S
(
t
)
e
i
t
−
e
−
i
k
t
2
i
d
t
Francis Wlazinski
5