Trigonométrie

Fonctions circulaires
1 Limites et dérivées remarquables
1.1 Limite en 0de sin x
x
Dans le plan muni du repère orthonormé ³O;~ i;~ j´on considère le cercle trigonométrique Cde
centre O:
Soient Atel que ¡! OA =~ iet Btel que ¡! OB =~ j:
Soit x2Ret soit Ml’image de xsur C:On a donc ³~ i; ¡¡! OM´=x
Soient Cla projection de Msur (OA)et Tle point d’intersection de (OM)avec la tangente à
Cau point A:
On suppose que x2i0; ¼
2h:
Le triangle (OCM)est inclus dans le secteur circulaire (OAM)lui-même inclus dans le triangle
(OAT):
Donc l’aire du triangle (OCM)est inférieure ou égale à l’aire du secteur circulaire (OAM)
elle-même inférieure ou égale à l’aire du triangle (OAT):Or :
1. L’aire du triangle (OAM)vaut 1
2OA:CM =1 2sin x
2. L’aire du secteur angulaire (OAM);proportionnelle à l’angle de ce secteur, vaut 1
2x
Un secteur de rayon Ret d’angle 2¼apouraire¼R2:
Un secteur de rayon Ret d’angle xapouraireA:
Puisqu’il y a proportionnalité, 2¼
x=¼R2
Ad’où A=1
2R2x:
3. L’aire du triangle (OAT);qui est rectangle, vaut 1
2OA:AT =1 2AT =1 2
sin x
cos x=1 2tan x
D’aprèslethéorèmedeThalès, OC
OA =CM AT d’où AT =CM OC =sin x cos x:
Finalement : 1
2sin x·1 2x·1 2
sin x
cos x
Après division par sin x³sin x¸0car x2i0; ¼
2h´;multiplication par 2et passage aux inverses
:cos x·sin x
x·1
Si x2i¡¼
2;0
h;¡x2i0; ¼
2hdonc cos (¡x)·sin (¡x)
¡x·1soit : cos x·sin x
x·1:
Donc, dans les deux cas : cos x·sin x
x·1
De lim
x!0cos x=1on déduit alors :
lim
x!0sin x
x=1

Fonctions circulaires 2
1.2 Dérivée de sin x
Par dé…nition, f0(x)=lim
k!0
f(x+k)¡f(x)
k:
Donc (sin x)0= lim
k!0
sin (x+k)¡sin x
k= lim
k!0
sin xcos k+sinkcos x¡sin x
k
=lim
x!0·sin xcos k¡1
k+cosxsin k k¸
Or lim
k!0
cos k¡1
k=lim
k!0
2sin
2k
2
k=lim
k!0
1
2ksin2k
2
k2
4
=lim
k!0
1
2kÃsin k
2
k
2!2
=0puisque lim
®!0
sin ®
®=1
Donc (sin x)0=lim
x!0·sin xcos k¡1
k+cosxsin k k¸=cosx
(sin x)0=cosx
1.3 Dérivée de cos x
(cos x)0=³sin ³¼
2¡x´´0
=(¡1) cos ³¼
2¡x´car [f(ax +b)]0=af0(ax +b)et plus générale-
ment : [f(u)]0=f0(u):u0
Donc, puisque cos ³¼
2¡x´=sinx:
(cos x)0=¡sin x
On en déduit les dérivées suivantes :
[sin (ax +b)]0=a: cos (ax +b)
[cos (ax +b)]0=¡a: sin (ax +b)
Plus généralement, [sin u]0=u0:cos uet [cos u]0=¡u0:sin u
2 Etude de la fonction sinus
Soit f(x)=sinx: f est dé…nie sur D=R:
8x2R:¡x2Ret f(¡x)=sin(¡x)=¡sin x=¡f(x):Donc fest impaire.
La courbe Cfreprésentative de fest donc symétrique par rapport à l’origine du repère.
8x2R:x+2¼2Ret f(x+2¼)=sin(x+2¼)=sinx=f(x):Donc 2¼est période de f:
La courbe Cfreprésentative de fest donc invariante par translation de vecteur 2¼~
i.
Il su¢t donc d’étudier fsur [0; ¼]puis de compléter par la symétrie de centre Oet en…n d’utiliser
l’invariance par translation de Cfpour construire la courbe dans son entier.
Les valeurs aux bornes de l’intervalle d’étude [0; ¼]sont f(0) = 0 et f(¼)=0:
f0(x)=cosx: Le signe de cos xs’étudie à l’aide du cercle trigonométrique. On constate que si
0<x<¼
2:cosx>0et que si ¼ 2<x<¼:cosx<0:D’où le tableau de variations :
x0¼=2¼
f0(x)1+ 0 ¡¡1
f(x) 0 %1&0
D’où la courbe Cf:

Fonctions circulaires 3
-1
-0.5
0
0.5
1
-6 -4 -2 2 4 6
x
3 Etude de la fonction cosinus.
Soit f(x)=cosx: f est dé…nie sur D=R:
8x2R:¡x2Ret f(¡x)=cos(¡x)=cosx=f(x):Donc fest paire.
La courbe Cfreprésentative de fest donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées du
repère.
8x2R:x+2¼2Ret f(x+2¼)=cos(x+2¼)=cosx=f(x):Donc 2¼est période de f:
La courbe Cfreprésentative de fest donc invariante par translation de vecteur 2¼~
i.
Il su¢t donc d’étudier fsur [0; ¼]puis de compléter par la symétrie d’axe Oy et en…n d’utiliser
l’invariance par translation de Cfpour construire la courbe dans son entier.
Les valeurs aux bornes de l’intervalle d’étude [0; ¼]sont f(0) = 1 et f(¼)=¡1:
f0(x)=¡sin x: Le signe de sin xs’étudie à l’aide du cercle trigonométrique. On constate que
si 0<x<¼:sinx>0et donc f0(x)<0:D’où le tableau de variations :
x0¼
f0(x) 0 ¡0
f(x) 1 &¡1
D’où la courbe Cf:
-1
-0.5
0
0.5
1
-6 -4 -2 2 4 6
x