Chapitre V : Variables aléatoires à densité 1 Généralités

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UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013
U.F.R. Économie & Gestion
Licence d’Économie et Gestion MATH201 : Probabilités
Chapitre V : Variables aléatoires à densité
1 Généralités
1.1 Introduction
On considère l’épreuve aléatoire suivante : « on tire un nombre réel quelconque au hasard dans
[0,1] ». On suppose les tirages équiprobables. Quelle est la probabilité que ce nombre tiré soit égal
à1?0,65 ?√2?17 ? On note Xla V.A.R. égale au nombre tiré au hasard.
La probabilité d’obtenir 17 est clairement nulle (car 17 n’appartient pas à [0; 1] !). SI l’on
suppose que la probabilité d’obtenir chaque réel de [0; 1] est égale à un réel p > 0(situation
d’équiprobabilité), pourquoi aboutit-on à une contradiction ?
1.2 Intégrale généralisée d’une fonction
Définition 1. Soit fune fonction définie et continue (par morceaux au moins) sur un intervalle
I= [a, b[(où bpeut être +∞) (Respect. sur un intervalle I=]a, b]où apeut être −∞). On dit
que l’intégrale de fsur Iest convergente si la fonction F7→ F(x) = Zx
a
f(t)dt(respectivement
F(x) = Zb
x
f(t)dt) où x∈I, a une limite finie quand xtend vers b(resp. xtend vers a).
Figure 1 – F(x) = Zx
a
f(t)dtest représentée par l’aire colorée
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1.2 Intégrale généralisée d’une fonction 2
•Cette limite est alors appelée intégrale généralisée de fsur Iet est notée Zb
a
f(t)dt. On
a ainsi : Zb
a
f(t)dt= lim
x→b
x<b Zx
a
f(t)dtet Zb
a
f(t)dt= lim
x→a
x>a Zb
x
f(t)dt
•Si la limite n’existe pas (ou est infinie), on dit que l’intégrale de fsur Iest divergente.
Lorsque fest définie et continue sur un intervalle ouvert ]a, b[on dira que l’intégrale
Zb
a
f(t)dtest convergente si pour tout réel cintérieur à ]a, b[(ou ce qui est équivalent, si pour un
réel c∈]a;, b[), les deux intégrales Zc
a
f(t)dtet Zb
c
f(t)dtsont convergentes.
Par exemple, l’intégrale Z+∞
−∞
f(t)dtest convergente si et seulement si Z0
−∞
f(t)dtet Z+∞
0
f(t)dt
sont toutes les deux convergentes, et dans ce cas
Z+∞
−∞
f(t)dt=Z0
−∞
f(t)dt+Z+∞
0
f(t)dt
Exemples 1 L’intégrale de fsur Iest-elle convergente ?
1. Soit fdéfinie sur I= [0,+∞[par f(t) = e−t
2. Soit fdéfinie sur I= [1,+∞[par f(t) = 1
tαoù αest un réel différent de 1
Théorème 1. Soit fune fonction continue (par morceaux) et strictement positive sur [a, b[,
l’intégrale de fsur [a, b[converge si et seulement si la fonction F:x7→ Zx
a
f(t)dtest majorée sur
[a, b[.
Admis
Théorème 2. Soient fet gdeux fonctions continues (par morceaux) et positives sur [a, b[et telles
que pour tout x∈[a, b[,0≤f(x)≤g(x)•Si Zb
a
g(t)dtconverge, alors Zb
a
f(t)dtconverge aussi.
•Si Zb
a
f(t)dtdiverge, alors Zb
a
g(t)dtdiverge aussi.
Exemple 2 Montrer que Z+∞
0
e−t2dtest convergente.
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1.3 Application à la fonction de répartition d’une V.A.R. 3
1.3 Application à la fonction de répartition d’une V.A.R.
Définition 2. Soit Xune V.A.R. sur un espace probabilisé (Ω,T,P). On dit que Xest une
V.A.R. à densité, s’il existe une fonction numérique fdéfinie sur Rtelle que :
1. ∀x∈R, f(x)≥0.
2. fest continue sur Rsauf éventuellement en un nombre fini de réels (où elle admet cependant
une limite réelle (i.e. finie) à gauche et une limite réelle à droite.)
3. Z+∞
−∞
f(t) dtexiste et vaut 1.
4. Dans ce cas, la fonction de répartition de X, notée FX, vérifie :
∀x∈R, FX(x) = Zx
−∞
f(t) dt
On dit que fest une densité de probabilité de Xet que Xest V.A.R. à densité f.
Théorème 3. Soit Xune V.A.R. à densité sur un espace probabilisé (Ω,T,P) de densité f, alors
la fonction de répartition FXde Xvérifie :
1. FXest croissante sur R.
2. lim
x→−∞ F(x) = 0 et lim
x→+∞FX(x)=1.
3. FXcontinue en tout point de R.
4. En tout réel x0où fest continue, Fest dérivable et F0(x0) = f(x0)
Admis
Remarque : Quelle tribu choisir ?
La tribu formée des parties de Rest très importante, trop ... On peut se donner comme tribu
la tribu Borélienne (1898) qui est la tribu engendrée par les intervalles ouverts et on peut
même se restreindre aux intervalles ouverts d’extrémités les rationnels : cette famille génératrice
est alors dénombrable.
Exemple 3 Soit fla fonction définie sur Rpar :
f(x)=0 si x < −1ou x > 1
f(x) = x+ 1 si x∈[−1; 0]
f(x) = −x+ 1 si x∈[0; 1]
Montrez que fest une densité de probabilité.
Proposition 1. Si Fest une fonction définie et continue sur R, croissante sur R, qu’elle vérifie
lim
x→−∞ F(x) = 0 et lim
x→+∞F(x) = 1, alors Fest la fonction de répartition d’une V.A.R. Xà densité,
dont une densité de Xest donnée par la dérivée de Faux réels où celle-ci existe.
Admis
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Exemple 4 Soit Fdéfinie par :
F(x) = ex
2si x < 0
F(x) = x2+ 8
16 si 0 ≤x < 2
F(x)=1−1
4e2−xsi x≥2
Montrer que Fest la fonction de répartition d’une V.A. dont vous préciserez la densité de
probabilité
Proposition 2. Soit Xune V.A.R. de densité f:
1. Pour tout a∈R,P(X=a) = 0.
2. Pour tous réels aet btels que a<b:
P(a<X<b) = P(a≤X≤b) = Zb
a
f(t) dt
3. Pour tout réel a:
P(X≤a) = P(X < a) = Za
−∞
f(t) dt
et P(X≥a) = P(X > a) = Z+∞
a
f(t) dt
2 Espérance - Variance
Définition 3. Soit Xune V.A.R. à densité et fune densité de X.
1. On appelle espérance de X, lorsqu’elle existe, l’intégrale Z+∞
−∞
t.f(t)dt
2. Si Xadmet une espérance, on appelle variance de X, lorsqu’elle existe, l’intégrale
Z+∞
−∞
[t−E(X)]2.f(t)dt=E[X−E(X)]2.
3. Si Xadmet une variance, on appelle écart-type de Xle réel σ(X) = qV(X).
Remarques :
1. Si Xadmet une variance, celle-ci est positive (car fl’est) : donc l’écart-type de Xexiste.
2. Si Xn’admet pas d’espérance, Xne peut pas admettre de variance.
Exemple 5 Retour sur l’exemple 3 Soit fla fonction définie sur Rpar :
f(x)=0 si x < −1ou x > 1
f(x) = x+ 1 si x∈[−1; 0]
f(x) = −x+ 1 si x∈[0; 1]
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1. Montrez que fest une densité de probabilité d’une V.A.R X.
2. Déterminer la fonction de répartition Fde X
3. Calculer P(−0,2≤X≤0,5)
4. Calculer E(X)puis V(X).
Exemple 6 Soit fla fonction définie par :
f(x) = 
3
32x(4 −x) si 0 ≤x≤4
0 sinon
1. Justifier que fest bien une densité de probabilité d’une V.A.R. X.
2. Déterminer la fonction de répartition de X.
3. Calculer E(X)et V(X).
Théorème 4. Soit Xune V.A.R. admettant une densité fet admettant une espérance. Soient
a6= 0 et bdeux réels.
La V.A.R. Y=aX +badmet une espérance et E(Y) = aE(X) + b
Remarque - cas général : Théorème dit "du transfert" Soit Xune V.A.R. admettant
une densité f. Soit ϕune fonction numérique continue (sauf éventuellement en un nombre fini de
réels) telle que Z+∞
−∞
ϕ(t)f(t)dtsoit absolument convergente, alors la V.A.R. Y=ϕ(X)admet
une espérance, et :
E(Y) = Z+∞
−∞
ϕ(t)f(t) dt
Théorème 5. Soient Xet Ydeux V.A.R. à densité possédant une espérance : alors la V.A. X+Y
possède une espérance et
E(X+Y) = E(X) + E(Y)
Admis
Théorème 6. Soit Xune V.A.R. admettant une densité fet possédant une espérance, alors la
variance de X,V(X)existe si et seulement si E(X2)existe et on a alors :
V(X) = E(X2)−E(X)2
Conséquence : si Y=aX +b(où aet bsont deux réels) :
V(aX +b) = a2V(X)
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