Chapitre V : Variables aléatoires à densité 1 Généralités

1
UNIVERSITÉ DE CERGY
Année 2012-2013
U.F.R. Économie & Gestion
Licence d’Économie et Gestion
MATH201 : Probabilités
Chapitre V : Variables aléatoires à densité
1
1.1
Généralités
Introduction
On considère l’épreuve aléatoire suivante : « on tire un nombre réel quelconque au hasard dans
[0, 1] ». On suppose
les tirages équiprobables. Quelle est la probabilité que ce nombre tiré soit égal
√
à 1 ? 0, 65 ? 2 ? 17 ? On note X la V.A.R. égale au nombre tiré au hasard.
La probabilité d’obtenir 17 est clairement nulle (car 17 n’appartient pas à [0; 1] !). SI l’on
suppose que la probabilité d’obtenir chaque réel de [0; 1] est égale à un réel p > 0 (situation
d’équiprobabilité), pourquoi aboutit-on à une contradiction ?
1.2
Intégrale généralisée d’une fonction
Définition 1. Soit f une fonction définie et continue (par morceaux au moins) sur un intervalle
I = [a, b[ (où b peut être +∞) (Respect. sur un intervalle I =]a, b] où Za peut être −∞). On dit
x
que l’intégrale de f sur I est convergente si la fonction F 7→ F (x) =
F (x) =
Z b
f (t)dt (respectivement
a
f (t)dt ) où x ∈ I, a une limite finie quand x tend vers b (resp. x tend vers a).
x
Figure 1 – F (x) =
Z x
f (t)dt est représentée par l’aire colorée
a
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1.2
Intégrale généralisée d’une fonction
2
• Cette limite est alors appelée intégrale généralisée de f sur I et est notée
a ainsi :
Z b
Z b
Z x
Z b
f (t)dt = lim
f (t)dt
f (t)dt et
f (t)dt = x→a
lim
x→b a
x<b
a
a
x>a
Z b
f (t)dt . On
a
x
• Si la limite n’existe pas (ou est infinie), on dit que l’intégrale de f sur I est divergente.
Lorsque f est définie et continue sur un intervalle ouvert ]a, b[ on dira que l’intégrale
Z b
f (t)dt est convergente si pour tout réel c intérieur à ]a, b[ (ou ce qui est équivalent, si pour un
a
Z c
réel c ∈]a; , b[), les deux intégrales
Par exemple, l’intégrale
Z +∞
f (t)dt et
Z b
a
f (t)dt sont convergentes.
c
f (t)dt est convergente si et seulement si
−∞
Z 0
f (t)dt et
−∞
Z +∞
f (t)dt
0
sont toutes les deux convergentes, et dans ce cas
Z +∞
f (t)dt =
f (t)dt +
−∞
−∞
Exemples 1
Z 0
Z +∞
f (t)dt
0
L’intégrale de f sur I est-elle convergente ?
1. Soit f définie sur I = [0, +∞[ par f (t) = e−t
1
2. Soit f définie sur I = [1, +∞[ par f (t) = α où α est un réel différent de 1
t
Théorème 1. Soit f une fonction continue (par morceaux) et strictement
positive sur [a, b[,
Z
x
l’intégrale de f sur [a, b[ converge si et seulement si la fonction F : x 7→
f (t)dt est majorée sur
a
[a, b[.
Admis
Théorème 2. Soient f et g deux fonctions continues (par morceaux) et positives sur [a, b[ et telles
que pour tout x ∈ [a, b[, 0 ≤ f (x) ≤ g(x) • Si
Z b
g(t)dt converge, alors
a
• Si
Z b
f (t)dt diverge, alors
Z b
a
Exemple 2
g(t)dt diverge aussi.
a
Montrer que
Z +∞
2
e−t dt est convergente.
0
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Z b
a
f (t)dt converge aussi.
1.3
Application à la fonction de répartition d’une V.A.R.
1.3
3
Application à la fonction de répartition d’une V.A.R.
Définition 2. Soit X une V.A.R. sur un espace probabilisé (Ω, T , P). On dit que X est une
V.A.R. à densité, s’il existe une fonction numérique f définie sur R telle que :
1. ∀x ∈ R, f (x) ≥ 0.
2. f est continue sur R sauf éventuellement en un nombre fini de réels (où elle admet cependant
une limite réelle (i.e. finie) à gauche et une limite réelle à droite.)
3.
Z +∞
f (t) dt existe et vaut 1.
−∞
4. Dans ce cas, la fonction de répartition de X, notée FX , vérifie :
∀x ∈ R, FX (x) =
Z x
f (t) dt
−∞
On dit que f est une densité de probabilité de X et que X est V.A.R. à densité f .
Théorème 3. Soit X une V.A.R. à densité sur un espace probabilisé (Ω, T , P) de densité f , alors
la fonction de répartition FX de X vérifie :
1. FX est croissante sur R.
2. lim F (x) = 0 et lim FX (x) = 1.
x→−∞
x→+∞
3. FX continue en tout point de R.
4. En tout réel x0 où f est continue, F est dérivable et F 0 (x0 ) = f (x0 )
Admis
Remarque : Quelle tribu choisir ?
La tribu formée des parties de R est très importante, trop ... On peut se donner comme tribu
la tribu Borélienne (1898) qui est la tribu engendrée par les intervalles ouverts et on peut
même se restreindre aux intervalles ouverts d’extrémités les rationnels : cette famille génératrice
est alors dénombrable.
Exemple 3
Soit f la fonction définie sur R par :




f (x) = 0
si x < −1 ou x > 1
f (x) = x + 1
si x ∈ [−1; 0]


 f (x) = −x + 1 si x ∈ [0; 1]
Montrez que f est une densité de probabilité.
Proposition 1. Si F est une fonction définie et continue sur R, croissante sur R , qu’elle vérifie
lim F (x) = 0 et lim F (x) = 1, alors F est la fonction de répartition d’une V.A.R. X à densité,
x→−∞
x→+∞
dont une densité de X est donnée par la dérivée de F aux réels où celle-ci existe.
Admis
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4
Exemple 4
Soit F définie par :

























ex
2
x2 + 8
F (x) =
16
1
F (x) = 1 − e2−x
4
F (x) =
si x < 0
si
0≤x<2
si
x≥2
Montrer que F est la fonction de répartition d’une V.A. dont vous préciserez la densité de
probabilité
Proposition 2. Soit X une V.A.R. de densité f :
1. Pour tout a ∈ R, P(X = a) = 0.
2. Pour tous réels a et b tels que a < b :
P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) =
Z b
f (t) dt
a
3. Pour tout réel a :
P(X ≤ a) = P(X < a) =
Z a
f (t) dt
−∞
et P(X ≥ a) = P(X > a) =
Z +∞
f (t) dt
a
2
Espérance - Variance
Définition 3. Soit X une V.A.R. à densité et f une densité de X.
1. On appelle espérance de X, lorsqu’elle existe, l’intégrale
Z +∞
t.f (t)dt
−∞
2. Si X admet une espérance, on appelle variance de X, lorsqu’elle existe, l’intégrale
Z +∞
[t − E(X)]2 .f (t)dt = E [X − E(X)]2 .
−∞
3. Si X admet une variance, on appelle écart-type de X le réel σ(X) =
q
V (X).
Remarques :
1. Si X admet une variance, celle-ci est positive (car f l’est) : donc l’écart-type de X existe.
2. Si X n’admet pas d’espérance, X ne peut pas admettre de variance.
Exemple 5
Retour sur l’exemple 3
Soit f la fonction définie sur R par :




f (x) = 0
si x < −1 ou x > 1
f (x) = x + 1
si x ∈ [−1; 0]


 f (x) = −x + 1 si x ∈ [0; 1]
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5
1. Montrez que f est une densité de probabilité d’une V.A.R X.
2. Déterminer la fonction de répartition F de X
3. Calculer P(−0, 2 ≤ X ≤ 0, 5)
4. Calculer E(X) puis V (X).
Exemple 6
Soit f la fonction définie par :




3
x(4 − x) si 0 ≤ x ≤ 4
f (x) =
32



0
sinon
1. Justifier que f est bien une densité de probabilité d’une V.A.R. X.
2. Déterminer la fonction de répartition de X.
3. Calculer E(X) et V (X).
Théorème 4. Soit X une V.A.R. admettant une densité f et admettant une espérance. Soient
a 6= 0 et b deux réels.
La V.A.R. Y = aX + b admet une espérance et E(Y ) = aE(X) + b
Remarque - cas général : Théorème dit "du transfert" Soit X une V.A.R. admettant
une densité f . Soit
ϕ une fonction numérique continue (sauf éventuellement en un nombre fini de
Z
+∞
ϕ(t)f (t)dt soit absolument convergente, alors la V.A.R. Y = ϕ(X) admet
réels) telle que
−∞
une espérance, et :
E(Y ) =
Z +∞
ϕ(t)f (t) dt
−∞
Théorème 5. Soient X et Y deux V.A.R. à densité possédant une espérance : alors la V.A. X +Y
possède une espérance et
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
Admis
Théorème 6. Soit X une V.A.R. admettant une densité f et possédant une espérance, alors la
variance de X, V (X) existe si et seulement si E(X 2 ) existe et on a alors :
2
V (X) = E(X 2 ) − E(X)
Conséquence : si Y = aX + b (où a et b sont deux réels) :
V (aX + b) = a2 V (X)
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6
3
Quelques exemples de V.A.R à densité
3.1
Loi uniforme
Définition 4. Soit X une V.A. réelle définie sur un espace probabilisé (Ω, T , P). On dit que X
suit une loi uniforme sur l’intervalle [a ; b] si X admet pour densité de probabilité la fonction
f définie par :


 f (x) = 1
si x ∈ [a; b]
b−a

 f (x) = 0
sinon
On note X ,→ U([a; b])
On s’assure aisément qu’une telle fonction vérifie les propriétés qui font d’elle une densité de
probabilité
Proposition 3. La fonction de répartition de la loi uniforme sur [a, b] est donnée par :













F (x) = 0
F (x) =
si x < a
dt
x−a
=
b−a
b−a
Z x
a
si a ≤ x ≤ b
F (x) = 1
si x > b
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
Illustration :
D. Mouchiroud (5/10/2002)
......................................................................................................................................................................................................
f(x)
F(x)
1
1
b-a
0
a
b
0
x
Fonction de densité de probabilité
a
b
x
Fonction de répartition
Figure 2 – Loi uniforme sur [a, b] et fonction de répartition
Quelques commentaires :
Théorème 7. Soit X
(1) La loi uniforme continue étant une loi de probabilité, l’aire hachurée en rouge sur la
1
figure ci-dessus vaut 1. Ceci implique que la valeur prise par f(x) vaut
a. + b
b
une V.A.R. qui suit la loi U([a; b]). Alors E(X) = a
et V (X)
(2) La probabilité que X [a’,b’] avec a’ < b’ et a’,b’ [a,b] vaut :
2
b
b
dx
b
a
=
(b − a)2
12
P(a X b ) a f (x)dx a
Exemple 7
b a
b a
(3) La fonction de répartition associée à la loi uniforme continue est telle que :
Une machine fabrique des pièces
de 40 cm de longueur. On sait que les longueurs varient
FX (x) = 0 si x < a
(x)
=
1
si x > b 4cm. On suppose que les erreurs sont uniformément
F
X
dans un intervalle centré en 40 de longueur
x a
FX (x) =
si al’espérance
x b
distribuées dans cet intervalle. Montrer
de l’erreur est alors nulle.
b que
a
3.1.2 Espérance et variance
L’espérance de la loi uniforme continue vaut :
E(X)
En effet par définition
E(X )
b a
2
x f (x)dx
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a
b
x f (x)dx a x f- (x)dx
x f (x)dx & Gestion
cours analyse (Intégrale)
J. Stéphan - UniversitéE(X)
de Cergy-Pontoise
UFR Économie
b
or
a
x f (x)dx
0 et
b
x f (x)dx
0 par définition de la loi uniforme continue
3.2
Loi Exponentielle
3.2
7
Loi Exponentielle
Définition 5. Soit X une V.A.R. définie sur un espace probabilisé (Ω, T , P). On dit que X suit
une loi exponentielle de paramètre λ > 0, si X admet pour densité de probabilité la fonction
f définie par :
(
f (x) = λe−λx si x ≥ 0
f (x) = 0
sinon
On note X ,→ E(λ)
Remarque : On vérifie qu’une telle fonction f possède les propriétés d’une densité de probabilité.
Figure 3 – Lois exponentielles pour différents paramètres λ
Proposition 4. Soit X une V.A.R, X ,→ E(λ). Sa fonction de répartition F est définie par :
F (x) =
Z x
−∞
F (x) = 0
f (t)dt = − e
−λt
x
= 1 − e−λx
si
x≥0
0
sinon
Exemple 8 La durée de vie X d’une ampoule d’un certain modèle suit la loi exponentielle de
paramètre λ = 0, 002. X ,→ E(0, 002).
1. Calculer la probabilité qu’une ampoule (de ce modèle) ait une durée de vie supérieure à 800
heures
2. Calculer la probabilité qu’une ampoule ait une durée de vie inférieure à 500 heures.
3. Déterminer la valeur de T pour laquelle P(X ≤ T ) = P(X ≥ T )
Théorème 8. Soit X une V.A.R. qui suit la loi E(λ). Alors E(X) =
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1
1
et V (X) = 2 .
λ
λ
3.3
3.3
La loi normale ou loi de Laplace-Gauss
8
La loi normale ou loi de Laplace-Gauss
Définition 6. Soit X une V.A.R. définie sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P). On dit que la
V.A.R. X suit une loi normale de paramètres µ et σ(où µ ∈ R et σ ∈ R∗+ ) si X admet pour
densité de probabilité la fonction ϕµ,σ définie sur R par :
−
1
ϕµ,σ (t) = √ e
σ 2π
(t − µ)2
2σ 2
On note X ,→ N (µ, σ).
On dit aussi que X suit une loi de Laplace-Gauss de paramètres µ et σ.
Remarques :
– On doit vérifier que ϕµ,σ est effectivement une densité de probabilité.
– La courbe représentative de la fonction ϕµ,σ est symétrique par rapport à la droite d’équation
x = µ (car ϕµ,σ (µ − t) = ϕµ,σ (µ + t)) . De plus lim ϕµ,σ (t) = lim ϕµ,σ (t) = 0.
t→−∞
t→+∞
ϕµ,σ est clairement dérivable sur R et
∀t ∈ R ϕ0µ,σ (t) = −
(t−µ)2
t−µ 1
−
2σ 2
√
.
e
σ 2 σ 2π
La fonction ϕµ,σ est donc strictement croissante sur ] − ∞, µ[ et strictement décroissante sur
]µ; +∞[.
x
µ
−∞
ϕ0µ,σ
+
0
+∞
−
1
√
σ 2π
ϕµ,σ
0
0
Définition 7. Soit X une V.A.R. qui suit la loi normale N (µ, σ), on note Φµ,σ la fonction de
répartition de X :
Z x
∀x ∈ R, Φµ,σ (x) =
ϕµ,σ (t)dt = P(X ≤ x)
−∞
Théorème 9. La symétrie de la courbe de ϕµ,σ par rapport à la droite d’équation x = µ permet
d’obtenir les résultats suivants :
1. P(X ≥ µ − x) = 1 − P(X ≤ µ − x) = P (X ≤ µ + x) i.e. Φµ,σ (µ + x) = 1 − Φµ,σ (µ − x)
2. P(X ≤ µ − x) = P(X ≥ µ + x) i.e. Φµ,σ (µ − x) = 1 − Φµ,σ (µ + x)
3. ∀x > 0, P(µ − x < X < µ + x) = Φµ,σ (µ + x) − Φµ,σ (µ − x) = 2.Φµ,σ (µ + x) − 1
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3.3
La loi normale ou loi de Laplace-Gauss
9
Figure 4 – Différentes courbes de lois normales
Théorème 10. Soit X une V.A.R. suit une loi normale N (µ, σ), alors :
E(X) = µ et V (X) = σ 2
X −µ
σ
suit la loi normale N (0, 1) (que l’on appelle loi normale centrée réduite : on notera Φ la fonction
de répartition de Y )
Remarque : C’est ce théorème qui permet d’utiliser uniquement la table de la loi normale
N (0, 1).
Théorème 11. Soit X une V.A.R. suit une loi normale N (µ, σ) alors la V.A.R. Y =
Théorème 12. Soit X une V.A.R. qui suit la loi normale N (0, 1)
t2
1
1. Sa densité de probabilité est alors la fonction ϕ0,1 (t) = √ e− 2 .
2π
De plus E(X) = 0 et V (X) = σ(X) = 1.
2. P(X > −x) = 1 − P(X ≤ −x) = P (X ≤ x) i.e. Φ(x) = 1 − Φ(−x)
3. P(X ≤ −x) = P(X ≥ x) i.e. Φ(−x) = 1 − Φ(x)
4. ∀x > 0 P(−x < X < x) = Φ(x) − Φ(−x) = 2.Φ(x) − 1
Exemple 9 Soit X une V.A.R. qui suit la loi normale N (10, 4). Déterminer les probabilités
suivantes : P(X ≤ 12), P(X ≤ 5), P(X > 14)
Exemple 10 Soit X une V.A. qui suit la loi normale N (3, 2). Quelle est la loi suivie par la V.A.
Y = 3X + 5 ?
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