Logique, vocabulaire ensembliste et raisonnement

Chapitre 2
Logique, vocabulaire ensembliste et
raisonnement
Sommaire
2.1
Quelques bases de vocabulaire et de logique . . . .
2.1.1 Différents types d’énoncés mathématiques . . . . . .
2.1.2 Connecteurs logiques et opérations . . . . . . . . . .
2.1.3 Règles relatives à la négation . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Règles relatives au et et au ou . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Règles relatives à l’implication et à l’équivalence . .
2.2 Notion d’ensembles et opérations sur les ensembles
2.2.1 Notion d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Différence et différence symétrique . . . . . . . . . .
2.2.4 Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Différents types de raisonnement . . . . . . . . . . .
2.3.1 Raisonnement direct . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Raisonnement par double implication . . . . . . . .
2.3.3 Réfutation par contre-exemple . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Raisonnement par disjonction de cas . . . . . . . . .
2.3.5 Prouver une implication avec sa contraposée . . . .
2.3.6 Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . .
2.3.7 Démontrer une (in)égalité . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.8 Résoudre une équation ou une inéquation . . . . . .
2.3.9 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . .
2.4 Somme et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Ce chapitre présente des points de vocabulaire, des notation, ainsi que certains types de raisonnement (par l’absurde, par contraposée, par récurrence...) et de démonstration (d’implications, d’équivalences, d’inclusions...) dont la maîtrise s’avère indispensable à une argumentation rigoureuse sur
le plan mathématique.
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CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT
2.1
Quelques bases de vocabulaire et de logique
2.1.1
Différents types d’énoncés mathématiques
Les énoncés du monde mathématiques font intervenir des ensembles de nombres (N, R, ...), des
constantes (0, 2, ln 2, ...), des variables (x, u, m, a, ...), des opérations (+, ×, −, ...), des relations
(=, ≤, >, ...), des symboles (∀, ∃, ∈, ⊂, ...), etc.
Définition 2.1
• Une proposition /assertion/ affirmation est un énoncé qui peut être vrai
ou faux. Par exemple « 3 = 7 » est une assertion fausse, « 3 = −(−3) » est une
assertion vraie, « 2 est un nombre pair » est une assertion vraie. On utilisera plutôt
le terme de proposition pour parler d’une assertion vraie.
• Un théorème est une proposition vraie (ou en tout cas démontrée comme telle)
particulièrement importante, un lemme est une proposition intermédiaire utile
à la démonstration d’une autre proposition et un corollaire est la conséquence
d’une proposition ou d’un théorème.
• La démonstration d’une assertion est un processus respectant strictement les
règles de la logique, partant des hypothèses, supposées vraies, et en aboutissant
à la conclusion attendue. La démonstration permet d’établir qu’une assertion est
vraie.
• Une conjecture est une assertion dont on pense qu’elle est vraie, mais qui n’a
pas été démontrée.
Exercice 2.1. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses : « Tout carré d’un nombre
réel est un réel positif », « La fonction logarithme est toujours positive ».
Définition 2.2
Une assertion est complète si toutes les variables qui interviennent dedans sont quantifiées par un quantificateur ∀ ou ∃.
Exemple 2.1. L’ assertion « ∀x ∈ R, x > 1 » est complète (à noter qu’elle est fausse), de même
que « 3 > 7 ».
Par contre, l’assertion « x > 1 »n’est pas complète, car elle dépend de la variable x et de ce fait on
ne peut pas dire si cette assertion est vraie ou fausse.
Le jeu mathématiques consiste ensuite à établir si des assertions complètes sont vraies ou fausses.
Pour cela, il faut savoir convertir en formules mathématiques des énoncés du langage courant et
inversement. La conversion passe généralement par l’utilisation de quantificateurs, comme ceux
introduits au chapitre précédent (∀, ∃, etc.)
Exemple 2.2. « Etant donné un nombre entier naturel quelconque, en lui ajoutant 2, on obtient
encore un nombre entier naturel », se traduit par :
∀n ∈ N, n + 2 ∈ N.
Exercice 2.2. Traduire en français ou en termes mathématiques, suivant les cas, les assertions
suivantes :
1. « La somme de deux nombres positifs quelconque est un nombre positif ».
2. « ∀x ∈ R+ , ∃y ∈ R, x = y 2 ».
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2.1. QUELQUES BASES DE VOCABULAIRE ET DE LOGIQUE
3. « Le carré de n’importe quel réel est un nombre positif ».
Définition 2.3
Un prédicat est un énoncé qui dépend d’une ou plusieurs variables et qui est une forme
incomplète d’assertion.
Exemple 2.3. P(x) : « x ≥ 0 » est un prédicat dépendant d’un nombre réel x. En spécifiant x,
on obtient une assertion complète. Par exemple P(2) est une assertion complète vraie, alors que
P(−2) est une assertion complète fausse.
Définition 2.4
Deux prédicats P et Q sont logiquement équivalents s’ils ont la même valeur de vérité
pour toutes les valeurs des variables dont ils dépendent (c’est à dire si pour une valeur
donnée de x, ils sont soient tous les deux vrais, soient tous les deux faux). On note P ≡ Q.
Exemple 2.4. Le prédicat Q(x) : « −x ≤ 0 » est logiquement équivalent à P(x) : « x ≥ 0 ».
2.1.2
Connecteurs logiques et opérations
Exemples de connecteurs logiques
Les connecteurs logiques permettent de créer une nouvelle proposition à partir d’une ou plusieurs
proposition. On les définit à l’aide de tables de vérité.
Définition 2.5 (Connecteurs logiques)
Soit P et Q deux propositions
• Négation : considérer la négation d’une proposition c’est dire le contraire de ce
que la proposition dit. La négation de (P) est (non P).
• Et : (P et Q) est la proposition qui est vraie lorsque P et Q sont toutes les deux
vraies.
• Ou : (P ou Q) est la proposition qui est vraie sauf si P et Q sont toutes les deux
fausses. Autrement dit, la proposition est vraie si P seule est vraie ou si Q seule
est vraie ou si les deux sont vraies.
• Implication : si P et Q sont des propositions, la proposition (P ⇒ Q) exprime
l’idée que si P est vraie alors Q doit être vraie aussi, sans qu’il y ait pour autant
une relation de cause à effet.
• Equivalence : si P et Q sont des propositions, la proposition (P ⇔ Q) exprime
l’idée que P et Q sont vraies simultanément. Autrement dit
(P ⇔ Q) signifie (P ⇒ Q) et (Q ⇒ P)
Par conséquent, démontrer une équivalence, c’est démontrer deux implications.
Sauf dans des situations simples, je vous conseille de démontrer une équivalence
en démontrant séparément les deux implications. Cela vous évitera des erreurs.
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CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT
Remarque 2.7
Le « ou » mathématique est inclusif, il est vrai lorsque exactement l’une des
propositions qui le compose est vraie, mais aussi lorsque les deux sont vraies
simultanément (c’est un ou au sens large). Il ne faut pas le confondre avec le
« ou » exclusif, qui marque l’alternative (par exemple « fromage ou dessert »).

Proposition 2.17 (Tables de vérités)
Soit P et Q deux propositions. On définit
2.1.3
P
Q
P et Q
P
Q
P ou Q
P
Q
P⇒Q
P
non P
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
V
P
Q
P⇔Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Règles relatives à la négation
Voici quelques règles relatives à la négation.
Propriétes 2.6
1. La négation « échange » les quantificateurs :
non ∀x ∈ E, P(x) ≡ ∃x ∈ E, non P(x)
non ∃x ∈ E, P(x) ≡ ∀x ∈ E, non P(x)
2. non ( non P(x) = P(x).
Exemple 2.5. non (x < y) donne (x ≥ y), non (0 < x < 1) ⇔ (x ≤ 0) ou (x ≥ 1)
Exercice 2.3. Donner la négation des propositions suivantes
1. x > 7
2. f : R → R est majorée, c’est à dire : ∃M ∈ R, ∀x ∈ R, f (x) ≤ M .
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2.1. QUELQUES BASES DE VOCABULAIRE ET DE LOGIQUE
2.1.4
Règles relatives au et et au ou
Proposition 2.18
Soient P, Q et R trois propositions. Alors les connecteurs vérifient :
1. Distributivité :
(P et (Q ou R)) ≡ ((P et Q) ou (P et R));
(P ou (Q et R)) ≡ ((P ou Q) et (P ou R)).
2. Lois de Morgan
( non (P ou Q)) ≡ ( non (P) et non (Q));
( non (P et Q)) ≡ ( non (P) ou non (Q)).
Démonstration. Il suffit de comparer les tables de vérité de chaque membre de l’équivalence logique.
Par exemple :
2.1.5
P
Q
P ou Q
non (P ou Q)
non (Q)
non (P)
non (P) et non (Q)
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
V
V
Règles relatives à l’implication et à l’équivalence
Définition 2.6
Soient P et Q deux propositions.
• Réciproque : la réciproque de l’implication ( P ⇒ Q) est l’implication (Q ⇒ P ).
L’implication et sa réciproque sont vraies toutes les deux si et seulement si (P ⇔
Q) est vraie.
• Contraposée : la proposition (non Q ⇒ non P ) est appelée la contraposée de
P ⇒ Q.
Exemple 2.6. L’implication ∀x ∈ R, (x = x2 ) ⇒ (x ≥ 0) est vraie, mais l’implication réciproque
est fausse.
Définition 2.7
Soit P une proposition. On appelle :
• condition nécessaire (CN) pour P toute proposition Q qui vérifie P ⇒ Q.
• condition suffisante (CS) pour P toute proposition Q qui vérifie Q ⇒ P.
• condition nécessaire et suffisante (CNS) pour P toute proposition Q qui
vérifie Q ⇔ P.
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CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT
Exercice 2.4. Dire à chaque fois quel type de condition est Q pour P.
1. P : « Voter pour les élections présidentielles » et Q : « Avoir au moins 18 ans »
2. P : « Avoir son bac » et Q : « Être admis en ECE 2 »
Proposition 2.19
Soient P et Q deux propositions.
• Contraposée : (P ⇒ Q) ≡ ( non (Q) ⇒ non (P)).
• Implication : (P ⇒ Q) ≡ ((non P) ou Q).
Sa négation est : non (P ⇒ Q) ≡ (P et non Q)
• Double implication : (P ⇔ Q) ≡ (P ⇒ Q) et (Q ⇒ P ) .
Exercice 2.5. Ecrire en termes mathématiques le fait que « Pour tout rationnel strictement
positif, il existe un entier strictement plus grand que lui ». Donner ensuite la négation de cette
proposition.
2.2
Notion d’ensembles et opérations sur les ensembles
2.2.1
Notion d’ensembles
On rappelle qu’on appelle ensemble une collection ou un groupement d’objets distincts, que l’on
appelle les éléments de cet ensemble. Pour décrire un ensemble, on peut :
• donner la liste de tous ses éléments, entre accolades : E = {0, ln(2), 3} ;
• le définir comme la partie d’un ensemble dotée d’une propriété : E = {x ∈ R, x2 = 2}.
Remarque 2.8
• L’ensemble contenant aucun élément est un ensemble qui s’appelle l’ensemble
vide et se note ∅.
• Soient p et q deux entiers naturels, on note Jp, qK = {n ∈ N/p ≤ n ≤ q}.
• Dans le chapitre précédent, nous avons rappelé les ensembles de nombre usuels
que vous avez vus au lycée, comme N, Z, Q, R...
• E ∗ désigne l’ensemble E privé de 0.

Ne pas confondre {0, 1} (qui ne contient que 0 et 1) et [0, 1] (qui contient tous
les réels compris entre 0 et 1).
Définition 2.8
• Un ensemble E qui possède un nombre fini d’éléments est appelé un ensemble
fini. Le nombre d’élements de E est appelé le cardinal de E et noté card(E) ou
|E|.
• Si à chaque élément d’un ensemble E, on peut faire correspondre un unique entier
et réciproquement, on dit que E est un ensemble dénombrable (un tel ensemble
a donc un nombre infini d’éléments).
• Les ensembles qui ne sont pas dans les deux premières catégories sont des ensembles non dénombrables.
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2.2. NOTION D’ENSEMBLES ET OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES
Exemple 2.7. N (par définition), Z et Q sont dénombrables. En revanche, R ou même [0; 1] sont
non dénombrables.
Définition 2.9 (Appartenance et inclusion)
Soient E et A deux ensembles et x un élément de E. On écrit :
• x ∈ E pour signifier que x est un élément de E.
• x∈
/ E pour signifier que x n’appartient pas à l’ensemble E. C’est donc la négation
de x ∈ E.
• A est dit inclus dans E si tout élément de A est un élément de E. On dit aussi
que A est un sous-ensemble de E ou une partie de E et on écrit dans ce cas
A ⊂ E.
• A 6⊂ E est la négation de A ⊂ E. Cela signifie qu’il existe au moins un élément
de A qui n’est pas dans E.
Exemple 2.8. 3 ∈ [3, 7], 7 ∈
/ [3, 7[, {2, 4, 6} ⊂ [0, 8], {0, 2, 4} 6⊂ R∗ .
Remarque 2.9
Pour tout ensemble E, on a ∅ ⊂ E.
Exemple 2.9. On a les inclusions : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Propriétes 2.7
Soient
•
•
•
A et B deux ensembles.
A⊂A
A ⊂ B et B ⊂ A est équivalent à A = B.
Si A ⊂ B et B ⊂ C, alors A ⊂ C.
Définition 2.10 (Parties d’un ensemble)
Soit E un ensemble, on note P(E) l’ensemble des parties de E, c’est à dire l’ensemble
des ensembles inclus dans E.
Par exemple si E = {a, b, c} alors P(E) = {∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , E}.
Exercice 2.6. Décrire P(J1, 3K).
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CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT
2.2.2
Opérations sur les ensembles
Définition 2.11
Soient A et B deux parties d’un ensemble E.
1. L’intersection de A et B est l’ensemble des éléments de E qui appartiennent à
A et B :
x ∈ A∩B ⇐⇒ (x ∈ A et x ∈ B).
2. La réunion de A et B est l’ensemble des éléments de E qui appartiennent à A
ou B
x ∈ A∪B ⇔ (x ∈ A ou x ∈ B).
3. Si A ⊂ B, le complémentaire de A dans B, noté CB A, est l’ensemble de tous
les éléments de B qui ne sont pas dans A.
On le notera A en probabilité lorsque B correspond à l’univers sur lequel on travaille. On utilise de façon plus générale cette notation pour désigner le complémentaire d’un ensemble A dans un autre ensemble B, sauf s’il peut y avoir confusion
sur l’ensemble B par rapport auquel on considère le complémentaire.
Figure 2.1 – Intersection
Figure 2.2 – Union
Exemple 2.10.
1. [1, 2] ∩ ]−5, 7[ = [1, 2].
2. ]−2, 3] ∪ {−2} = [−2, 3].
3. ]−∞, 5[ ∩ [2, +∞[ = [2, 5[ .
4. ]−∞, 4] ∪ [3, +∞[ = R.
5. A = [0, 1[, CR (A) = ]−∞, 0[ ∪ [1, +∞[ .
6. A = [0, 1[, C[0,2] (A) = [1, 2] .
7. A = {2k/k ∈ Z}, CZ (A) = {2k + 1/k ∈ Z} , A ∪ CZ (A) = Z
8. CE {x ∈ E/P (x)} = {x ∈ E/non P (x)}.
Exercice 2.7. Soient A et B deux sous-ensembles de E. Montrer que A ⊂ B ⇔ B ⊂ A. Puis que
CE (A) = A.
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2.2. NOTION D’ENSEMBLES ET OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES
Proposition 2.20
Soit E un ensemble et A une partie de E.
1. E = ∅, ∅ = E.
2. A ∪ A = E.
3. A ∩ A = ∅.
4. A ∩ B = B ∩ A et A ∪ B = B ∪ A.
5. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C et A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
Propriétes 2.8 (Règles de calcul)
1. Distributivité :
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
2. Lois de Morgan
A∩B = A∪B
A∪B = A∩B.
Remarque 2.10
1. Ces opérations ont des propriétés héritées des connecteurs logiques qui servent à
les définir. Par exemple, on a A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) qui vient de la
distributivité de « et » par rapport à « ou ».
2. ∩ ←→ et
3. ∪ ←→ ou
4. "La négation" de ∩ est ∪, et inversement.
Exemple 2.11. Soit A et B deux sous ensembles de Ω. Comparer les ensembles suivants :
A ∪ B, A ∪ B, A ∩ B, A ∩ B, A ∩ A, A ∪ A, ∅, Ω.
Définition 2.12 (Réunion et intersection d’une famille d’ensembles)
Soit E un ensemble et I un ensemble fini ou dénombrable d’indices. On considère une
famille de sous ensembles de E, notée (Ai )i∈I . Alors :
[
1. On note
Ai la réunion des Ai , pour i ∈ I, définie comme l’ensemble des élements
i∈I
x de E tels qu’il existe au moins un entier i ∈ I tel que x ∈ Ai .
\
2. On note
Ai l’intersection des Ai , pour i ∈ I, définie comme l’ensemble des
i∈I
élements x de E tels que x ∈ Ai pour tous les entiers i ∈ I.
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CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT
Proposition 2.21
S
T
• i∈I Ai = i∈I Ai
T
S
• i∈I Ai = i∈I Ai
Exercice 2.8. Soit
T
et n∈N∗ 1; 1 + n1
S
1; 1 + n1 n∈N∗ une famille de sous-ensembles de R. Donner n∈N∗ 1; 1 + n1
Remarque 2.11
Les règles définies pour deux ensembles restent valables pour des réunions (resp. intersections) finies ou dénombrables de sous ensembles de Ω.
2.2.3
Différence et différence symétrique
Définition 2.13 (Différence)
L’ensemble A privé de B, appelé aussi différence de A et B et noté A \ B, est défini par
x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A et x ∈
/ B)
(noté encore A − B).
Remarque 2.12
Il est facile de prouver que A \ B = A ∩ B. Par ailleurs, CB (A) = B \ A.
Exemple 2.12. E = N, A = {1, 2, 3, 4, 5} , B = {1, 4, 5}, A \ B = {2, 3}
Définition 2.14 (Différence symétrique)
On appelle différence symétrique de A et B, noté A∆B, l’ensemble des éléments de
E qui appartiennent à A et qui n’appartiennent pas à B ou qui appartiennent à B et qui
n’appartiennent pas à A.
Remarque 2.13
Il est facile de prouver que A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A).
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2.2. NOTION D’ENSEMBLES ET OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES
2.2.4
Partition
Définition 2.15 (Ensembles disjoints)
On dit que les ensembles A et B sont disjoints si A ∩ B = ∅.
Définition 2.16 (Partition)
On appelle partition de E toute famille (Ai )i∈I (où I désigne l’ensemble des indices) de
parties de E telle que
• ∀i ∈ I, Ai 6= ∅
• S
∀i ∈ I, ∀j ∈ I, i 6= j ⇒ Ai ∩ Aj = ∅
• i∈I Ai = E.
Cela signifie que toute élément de E appartient à une et une seule de ces parties Ai .
Exemple 2.13.
• Si A ⊂ E, (A, A) est une partition de E.
• E = {a, b, c, d, e}, A = {a, c} , B = {b, d} , C = {e}, (A, B, C) est une partition de E.
2.2.5
Produit cartésien
Définition 2.17 (Produit cartésien)
• Étant donnés deux ensembles A et B, le produit cartésien A × B de A et de B
est l’ensemble des couples (x; y) où x ∈ A et y ∈ B.
• On peut définir de même des produits cartésiens contenant davantage de facteurs
A1 × A2 × · · · × An = {(x1 , x2 , . . . , xn ) avec ∀i ∈ J1, nK, xi ∈ Ai } .
Les éléments du produit cartésien de n ensembles sont appelés les n-uplet.
• Si B = A on note A × A = A2 , A × A × A = A3 , . . .
et on parle de couples, de triplets...
Exemple 2.14.
{0, 1} × {1, 2, 3} = {(0, 1); (0, 2); (0, 3); (1, 1); (1, 2); (1, 3)} .
On peut représenter ce produit cartésien sous forme de tableau
1
2
3
0
(0,1)
(0,2)
(0,3)
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
Exemple 2.15.
• N × Z = {(n, m) avec n ∈ N, m ∈ Z}.
√
√
√
1 √
• (−3, 2) ∈ Z × R car −3 ∈ Z et 2 ∈ R, mais ( , 2) ∈
/ Z × R car 2 ∈ R mais
2
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1
2
∈
/ Z.
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CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT
• Le plan R2 := R × R = {(x, y), avec x ∈ R et y ∈ R}. Dans ce plan, un point est représenté
par son abscisse x et son ordonnée y (ex : A(0, 1) est le point d’abscisse 0 et de d’ordonnée
1).
• L’espace tridimensionnel R3 = R × R × R = {(x, y, z), avec x ∈ R, y ∈ R et z ∈ R}. Pour
définir un point dans l’espace, 3 coordonnées sont nécessaires.
2.3
Différents types de raisonnement
Un théorème est une proposition complète, dont on affirme qu’elle est vraie en s’appuyant sur une
démonstration. Une démonstration d’une proposition P est un processus respectant strictement
les règles de la logique, partant des hypothèses, supposées vraies, et en aboutissant à la conclusion
attendue en utilisant des définitions, des règles ou des théorèmes déjà démontrés. La démonstration
permet ainsi d’établir qu’une proposition est vraie. Dans cette section, nous allons décrire différentes
façons typiques d’organiser une démonstration.
2.3.1
Raisonnement direct
Méthode 2.1 (Raisonnement direct)
Une manière de démontrer l’implication « P ⇒ Q » est de commencer par l’hypothèse
« supposons que P est vraie », et au terme d’un raisonnement déductif, obtenir « alors
Q est vraie ».
Exemple 2.16. Montrer que pour tout rationnel strictement positif, il existe un entier strictement
plus grand que lui.
Démonstration. Soit x ∈ Q tel que x > 0.
Comme x ∈ Q, il existe des entiers p ∈ Z et q ∈ N∗ tels que x = pq [Définition de Q].
Comme q ∈ N∗ , q ≥ 1[Propriété de N∗ ].
Alors p = xq ≥ x [Règles de calcul].
En particulier, p > 0 car x > 0. [Utilisation des hypothèses].
D’où 2p > p [Règle].
Il vient alors 2p > x [Règle].
On vient donc de trouver un réel (2p) plus grand que x. Reste à monter que c’est un entier
strictement positif.
Or, comme 2p > 0 [Règle] et que p ∈ Z, on en déduit que 2p ∈ N∗ [Définition de N∗ ].
On en conclut que le double du numérateur n = 2p convient.
Remarque 2.14
Lorsqu’on rédige, les variables utilisées doivent être introduites. En particulier, la réponse
à une question du type « Démonter que pour tout réel x... » ou « Prouver que : ∀x ∈
R, ... » commencera par « Soit x ∈ R. »
36
Cour ECE1
2.3. DIFFÉRENTS TYPES DE RAISONNEMENT
2.3.2
Raisonnement par double implication
Méthode 2.2 (Prouver une équivalence par double implication)
Pour prouver une équivalence, on peut prouver séparément les deux implications, directe
et réciproque.
Exercice 2.9. Prouver que « ∀n ∈ N, n2 impair ⇔ n impair ».
2.3.3
Réfutation par contre-exemple
On peut utiliser ce type de raisonnement pour démontrer qu’une proposition est fausse.
Méthode 2.3 (Contre-exemple)
Pour démontrer qu’une proposition du type « ∃x ∈ E, P(x) » est vraie, il suffit de
donner un exemple de x qui convient. En passant à la négation, pour démonter qu’une
proposition du type « ∀x ∈ E, P(x) » est fausse, il suffit de donner un exemple d’un x
qui ne convient pas. On appelle cela un contre exemple de la proposition P.
On retiendra que pour montrer qu’une proposition commençant par un quantificateur universel est
fausse, il suffit de donner un contre-exemple particulier, c’est à dire un exemple qui met en défaut
la proposition.
Exemple 2.17. Une fonction f : R → R est paire si et seulement si ∀x ∈ R, f (x) = f (−x).
Montrer que f : x 7→ x + 1 n’est pas paire.
2.3.4
Raisonnement par disjonction de cas
Méthode 2.4 (Disjonction de cas)
Pour prouver une assertion, on peut la prouver séparément sur une famille exhaustive de
cas.
Exemple 2.18. À l’aide de la définition de la valeur absolue, démontrer que pour tout réel x on
a | − x| = |x|.
Démonstration. Soit x ∈ R.

 | x |= x
1. 1er cas : si x ≥ 0 alors
(car si x ≥ 0 alors −x ≤ 0).
 | −x |= −(−x) = x
On a donc bien que | x |=| −x |, puisque ces quantités égalent toutes les deux x.

 | x |= −x
2. 2ème cas : si x ≤ 0 alors
(car si x ≤ 0 alors −x ≥ 0).
 | −x |= −x
On a donc bien que | x |=| −x |, puisque ces quantités égalent toutes les deux −x.
Exercice 2.10. Prouver que pour tout entier naturel n, n(n + 1) est pair.
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37
CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT
2.3.5
Prouver une implication avec sa contraposée
Méthode 2.5 (Prouver une implication avec sa contraposée)
L’implication contraposée de (P ⇒ Q) est ( non Q ⇒ non P). D’après la proposition
2.19, une implication et sa contraposée sont logiquement équivalentes.
Pour prouver une implication P ⇒ Q, on peut supposer que Q est faux et en déduire P
est faux.
Exemple 2.19. Montrer que si x et y sont des réels distincts de 1, et si x 6= y, alors
1
1
6=
.
x−1
y−1
Démonstration. La contraposée de l’énoncé est : « si x et y sont des réels distincts de 1, et si
1
1
=
alors x = y ». Ceci est vrai, car
x−1
y−1
1
1
=
⇒ x − 1 = y − 1 ⇒ x = y.
x−1
y−1
Exercice 2.11. Prouver par contraposition, « ∀n ∈ N, n2 impair ⇒ n impair ».
2.3.6
Raisonnement par l’absurde
Méthode 2.6 (Raisonnement par l’absurde)
Pour prouver P, il suffit de prouver que ( non (P) ⇒ Q) où Q est une assertion fausse
(contradictoire).
Exemple 2.20. Montrer par l’absurde que
√
2 n’est pas un nombre rationnel.
√
Démonstration. Par l’absurde, supposons
que 2 est un rationnel. Alors il existe des entiers p et q
√
sans diviseurs communs tels que 2 = pq avec q 6= 0. En élevant au carré, on obtient alors p2 = 2q 2 .
On remarque que si p est impair, alors p2 est aussi impair. Donc forcément p est pair et donc p
peut s’écrire sous la forme p = 2p0 , où p0 est un entier . Pour la même raison q est pair, donc
q = 2q 0 avec q 0 un entier. On en déduit alors que p et q possède 2 comme diviseur commun, c’est
là la contradiction
: on a en effet supposé au départ p et q sans diviseurs communs. On en conclut
√
alors que 2 n’est pas rationnel.
2.3.7
Démontrer une (in)égalité
Méthode 2.7 (Démontrer une égalité)
Pour démontrer une égalité, on commence par introduire toutes les variables qui interviennent avec « soit ... », puis on part d’un membre de l’égalité, et, après une succession
d’égalités, on aboutit à l’autre. On conclut par une phrase.
Si on échoue, on peut essayer de transformer séparément les deux membres pour aboutir
au même résultat.
38
Cour ECE1
2.3. DIFFÉRENTS TYPES DE RAISONNEMENT
Remarque 2.15

Ne pas confondre « = » (relation d’égalité entre deux expressions) et « ⇔ »
(connecteur logique entre propositions, qui n’intervient pas dans la démonstration d’égalités).
Exemple 2.21. Démontrer que pour tout entier naturel non nul n, on a l’égalité
2.3.8
1
n(n+1)
=
1
1
n − n+1 .
Résoudre une équation ou une inéquation
Méthode 2.8 (Résolutions d’(in)équations)
Pour résoudre une équation ou une inéquation, on annonce ce que l’on fait (« on résout
. . .sur l’ensemble . . . »), et on raisonne souvent par équivalences pour obtenir l’ensemble
des solutions. On n’oublie pas de conclure.
Si on interrompt le raisonnement par équivalences, et l’on utilise des déductions
(« donc »), il faut impérativement vérifier les solutions avant de conclure.
Remarque 2.16
1. Vérifier les solutions dans l’équation de départ est toujours une bonne idée !
2. Penser à vérifier l’ensemble de définition de vos équations ou inéquations !
Exercice 2.12. Résoudre sur R l’équation xex = 2x.
Remarque 2.17
Pour les (in)équations compliquées, se ramener au cas où un membre est nul et factoriser,
puis utiliser la propriété du produit nul ou dresser un tableau de signes.
2.3.9
Raisonnement par récurrence
Récurrence classique
Proposition 2.22 (Principe du raisonnement par récurrence)
Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier n. Si
• [Initialisation] P(n0 ) est vrai pour un certain entier n0 ,
• [Transmission] P(n) =⇒ P(n + 1) est vrai pour tout entier n ≥ n0 ,
alors P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0 .
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CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT
On admet cette proposition qui reprend le principe des dominos. Si on fait tomber le premier
domino et que, dès qu’un domino tombe il entraîne le suivant dans sa chute, alors tous les dominos
vont tomber.
Méthode 2.9 (Rédiger une récurrence)
En pratique :
1. On énonce clairement la propriété P(n) à prouver, d’est à dire que l’on écrit :
Pour tout n ≥ n0 , on pose P(n) : ....
2. Initialisation : on montre que P(n0 ) est vraie.
3. Transmission : on suppose que P(n) est vraie pour un entier n ≥ n0 fixé, et
on déduit de cette hypothèse la propriété au rang n + 1 : P(n + 1). On écrit :
Soit n ≥ n0 fixé. On suppose P (n) vraie, c’est à dire... Montrons que P (n + 1)
est vraie aussi.
4. Conclusion : on affirme que la propriété est vraie pour tout entier n ≥ n0 , d’après
le principe de récurrence.
Exemple 2.22. Soit x ∈ R. En utilisant la proposition (*) « pour tous réels a et b, ea+b = ea eb »,
on veut prouver par récurrence la propriété suivante : ∀n ≥ 1, enx = (ex )n .
1. Pour tout n ≥ 1, on note P(n) : (ex )n = enx .
2. Initialisation : (ex )1 = ex et e1×x = ex donc P(1) est vraie.
3. Transmission : soit n ≥ 1 fixé. Supposons que P(n) est vraie, c’est à dire que
(ex )n = enx .
On va démontrer que P(n + 1) est vraie, c’est à dire que
(ex )n+1 = e(n+1)x .
On a
(ex )n+1 = (ex )n × ex = enx ex = enx+x = e(n+1)x
donc P(n + 1) est vraie.
4. Conclusion : par le principe de récurrence, (ex )n = enx pour tout entier n ≥ 1.
Finalement, comme x est quelconque : ∀x ∈ R, ∀n ≥ 1, enx = (ex )n .
Exercice 2.13. On note Sn la somme des n premiers entiers naturels non nuls. Prouver que
n(n + 1)
Sn =
.
2
Exercice 2.14. Démontrer que pour tout entier n ≥ 2, on a l’inégalité : « 2n > n ».
40
Cour ECE1
2.3. DIFFÉRENTS TYPES DE RAISONNEMENT
Remarque 2.18
Ce raisonnement est souvent source d’erreurs :
Avant de l’utiliser, vérifier qu’il n’existe pas de démonstration directe. De même,
au cours de la transmission, on prouve la propriété au rang n + 1 sans utiliser

l’hypothèse de récurrence, cela signifie que l’on peut prouver directement le
résultat. Dans ce cas, on n’utilise pas le raisonnement par récurrence, mais une
preuve directe.


Si la propriété à démontrer ne dépend pas d’un entier, mais par exemple d’un
nombre réel, la démonstration par récurrence est impossible !
Si, dans la transmission, on suppose la propriété vraie pour « tout n » au lieu
de « un n », la démonstration n’a plus de valeur, car on a supposé vrai le
résultat que l’on voulait prouver ! ! !
La plupart du temps la propriété est vraie à partir du rang n0 = 0 ou n0 = 1, mais ce
n’est pas une généralité.
Exercice 2.15. Pour n ∈ N, on note P(n) la proposition « n! ≥ 2n ». Montrer que P(n) est vraie
à partir d’un certain rang que vous préciserez.
Raisonnement par récurrence forte
Proposition 2.23 (Principe du raisonnement par récurrence forte )
Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier n. Si
• [Initialisation] P(n0 ) est vrai pour un certain entier n0 ,
• [Transmission] P(n0 ), P(n0 + 1), ..., P(n) =⇒ P(n + 1) est vrai pour tout entier
n ≥ n0 ,
alors P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0 .
Méthode 2.10 (Rédiger une récurrence forte)
En pratique :
1. On énonce clairement la propriété P(n) à prouver, c’est à dire que l’on écrit :
Pour tout n ≥ n0 , on pose P (n) : ....
2. Initialisation : on montre que P(n0 ) est vraie.
3. Transmission : on suppose que P(n0 ), P(n0 + 1), ..., P(n) sont vraies pour un
entier n ≥ n0 , et on déduit de cette hypothèse la propriété au rang n+1 : P(n+1).
On écrit :
Soit n ≥ n0 fixé. On suppose P(n0 ), P(n0 + 1), ..., P(n) vraies. Montrons que
P(n + 1) est vraie aussi.
4. Conclusion : on affirme que la propriété est vraie pour tout entier n ≥ n0 , d’après
le principe de récurrence forte.
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CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT
On ne peut pas remplacer une récurrence forte par une récurrence faible.

Remarque 2.19
Seule l’étape d’hérédité change.
Récurrence double
Proposition 2.24 (Principe du raisonnement par récurrence double)
Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier n. Si
• [Initialisation] P (n0 ) et P(n0 + 1) sont vraies pour un certain entier n0 ,
• [Transmission] P(n) et P(n + 1) =⇒ P(n + 2) est vrai pour tout entier n ≥ n0 ,
alors P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0 .
Méthode 2.11 (Rédiger une récurrence double)
En pratique :
1. On énonce clairement la propriété P(n) à prouver. C’est à dire que l’on écrit :
Pour tout n ≥ n0 , on pose P(n) : ....
2. Initialisation : on montre que P(n0 ) et P(n0 + 1) sont vraies
3. Transmission : on suppose que P(n) et P(n + 1) sont vraies pour un entier
n ≥ n0 , et on déduit de cette hypothèse la propriété au rang n + 2 : P(n + 2). On
écrit :
Soit n ≥ n0 fixé. On suppose P(n) et P(n + 1) vraies. Montrons que P(n + 2) est
vraie aussi.
4. Conclusion : on affirme que la propriété est vraie pour tout entier n ≥ n0 , d’après
le principe de récurrence double.
Exercice 2.16. Soit (Un )n∈N la suite définie par :
U0 = 1, U1 = 3, Un+2 = 2Un+1 − Un , ∀n ∈ N.
Montrer que pour tout n ∈ N, Un = 2n + 1.
Remarque 2.20
Dans le cas d’une récurrence d’ordre 2, pour un entier n donné, on a besoin de la vérité
de P(n) et de P(n + 1) pour établir celle de P(n + 2). On ne peut pas, contrairement à la
récurrence faible, déduire P(1) de P(0) uniquement : il faut P(0) et P(1) pour obtenir
P(2), puis enclencher la récurrence.
42
Cour ECE1