Logique, vocabulaire ensembliste et raisonnement

Chapitre 2
Logique, vocabulaire ensembliste et
raisonnement
Sommaire
2.1 Quelques bases de vocabulaire et de logique .............. 26
2.1.1 Différents types d’énoncés mathématiques ................. 26
2.1.2 Connecteurs logiques et opérations ..................... 27
2.1.3 Règles relatives à la négation ........................ 28
2.1.4 Règles relatives au et et au ou ....................... 29
2.1.5 Règles relatives à l’implication et à l’équivalence ............. 29
2.2 Notion d’ensembles et opérations sur les ensembles .......... 30
2.2.1 Notion d’ensembles .............................. 30
2.2.2 Opérations sur les ensembles ........................ 32
2.2.3 Différence et différence symétrique ..................... 34
2.2.4 Partition ................................... 35
2.2.5 Produit cartésien ............................... 35
2.3 Différents types de raisonnement ..................... 36
2.3.1 Raisonnement direct ............................. 36
2.3.2 Raisonnement par double implication ................... 37
2.3.3 Réfutation par contre-exemple ....................... 37
2.3.4 Raisonnement par disjonction de cas .................... 37
2.3.5 Prouver une implication avec sa contraposée ............... 38
2.3.6 Raisonnement par l’absurde ......................... 38
2.3.7 Démontrer une (in)égalité .......................... 38
2.3.8 Résoudre une équation ou une inéquation ................. 39
2.3.9 Raisonnement par récurrence ........................ 39
2.4 Somme et produit .............................. 43
Ce chapitre présente des points de vocabulaire, des notation, ainsi que certains types de raisonne-
ment (par l’absurde, par contraposée, par récurrence...) et de démonstration (d’implications, d’équi-
valences, d’inclusions...) dont la maîtrise s’avère indispensable à une argumentation rigoureuse sur
le plan mathématique.
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CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT
2.1 Quelques bases de vocabulaire et de logique
2.1.1 Différents types d’énoncés mathématiques
Les énoncés du monde mathématiques font intervenir des ensembles de nombres (N,R, ...), des
constantes (0,2,ln 2, ...), des variables (x, u, m, a, ...), des opérations (+,×,−, ...), des relations
(=,≤, >, ...), des symboles (∀,∃,∈,⊂, ...), etc.
•Une proposition /assertion/ affirmation est un énoncé qui peut être vrai
ou faux. Par exemple « 3=7» est une assertion fausse, « 3 = −(−3) » est une
assertion vraie, « 2 est un nombre pair » est une assertion vraie. On utilisera plutôt
le terme de proposition pour parler d’une assertion vraie.
•Un théorème est une proposition vraie (ou en tout cas démontrée comme telle)
particulièrement importante, un lemme est une proposition intermédiaire utile
à la démonstration d’une autre proposition et un corollaire est la conséquence
d’une proposition ou d’un théorème.
•La démonstration d’une assertion est un processus respectant strictement les
règles de la logique, partant des hypothèses, supposées vraies, et en aboutissant
à la conclusion attendue. La démonstration permet d’établir qu’une assertion est
vraie.
•Une conjecture est une assertion dont on pense qu’elle est vraie, mais qui n’a
pas été démontrée.
Définition 2.1
Exercice 2.1. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses : « Tout carré d’un nombre
réel est un réel positif », « La fonction logarithme est toujours positive ».
Une assertion est complète si toutes les variables qui interviennent dedans sont quanti-
fiées par un quantificateur ∀ou ∃.
Définition 2.2
Exemple 2.1. L’ assertion « ∀x∈R, x > 1» est complète (à noter qu’elle est fausse), de même
que « 3>7».
Par contre, l’assertion « x > 1»n’est pas complète, car elle dépend de la variable xet de ce fait on
ne peut pas dire si cette assertion est vraie ou fausse.
Le jeu mathématiques consiste ensuite à établir si des assertions complètes sont vraies ou fausses.
Pour cela, il faut savoir convertir en formules mathématiques des énoncés du langage courant et
inversement. La conversion passe généralement par l’utilisation de quantificateurs, comme ceux
introduits au chapitre précédent (∀,∃, etc.)
Exemple 2.2. « Etant donné un nombre entier naturel quelconque, en lui ajoutant 2, on obtient
encore un nombre entier naturel », se traduit par :
∀n∈N, n + 2 ∈N.
Exercice 2.2. Traduire en français ou en termes mathématiques, suivant les cas, les assertions
suivantes :
1. « La somme de deux nombres positifs quelconque est un nombre positif ».
2. « ∀x∈R+,∃y∈R, x =y2».
26 Cour ECE1

2.1. QUELQUES BASES DE VOCABULAIRE ET DE LOGIQUE
3. « Le carré de n’importe quel réel est un nombre positif ».
Un prédicat est un énoncé qui dépend d’une ou plusieurs variables et qui est une forme
incomplète d’assertion.
Définition 2.3
Exemple 2.3. P(x): « x≥0» est un prédicat dépendant d’un nombre réel x. En spécifiant x,
on obtient une assertion complète. Par exemple P(2) est une assertion complète vraie, alors que
P(−2) est une assertion complète fausse.
Deux prédicats Pet Qsont logiquement équivalents s’ils ont la même valeur de vérité
pour toutes les valeurs des variables dont ils dépendent (c’est à dire si pour une valeur
donnée de x, ils sont soient tous les deux vrais, soient tous les deux faux). On note P ≡ Q.
Définition 2.4
Exemple 2.4. Le prédicat Q(x): « −x≤0» est logiquement équivalent à P(x): « x≥0».
2.1.2 Connecteurs logiques et opérations
Exemples de connecteurs logiques
Les connecteurs logiques permettent de créer une nouvelle proposition à partir d’une ou plusieurs
proposition. On les définit à l’aide de tables de vérité.
Soit Pet Qdeux propositions
•Négation : considérer la négation d’une proposition c’est dire le contraire de ce
que la proposition dit. La négation de (P) est (non P).
•Et : (Pet Q) est la proposition qui est vraie lorsque Pet Qsont toutes les deux
vraies.
•Ou : (Pou Q) est la proposition qui est vraie sauf si Pet Qsont toutes les deux
fausses. Autrement dit, la proposition est vraie si Pseule est vraie ou si Qseule
est vraie ou si les deux sont vraies.
•Implication : si Pet Qsont des propositions, la proposition (P ⇒ Q)exprime
l’idée que si Pest vraie alors Qdoit être vraie aussi, sans qu’il y ait pour autant
une relation de cause à effet.
•Equivalence : si Pet Qsont des propositions, la proposition (P ⇔ Q)exprime
l’idée que Pet Qsont vraies simultanément. Autrement dit
(P ⇔ Q)signifie (P ⇒ Q)et (Q⇒P)
Par conséquent, démontrer une équivalence, c’est démontrer deux implications.
Sauf dans des situations simples, je vous conseille de démontrer une équivalence
en démontrant séparément les deux implications. Cela vous évitera des erreurs.
Définition 2.5 (Connecteurs logiques)
https://blazerece1.blogspot.fr/ 27

CHAPITRE 2. LOGIQUE, VOCABULAIRE ENSEMBLISTE ET RAISONNEMENT
Le « ou » mathématique est inclusif, il est vrai lorsque exactement l’une des
propositions qui le compose est vraie, mais aussi lorsque les deux sont vraies
simultanément (c’est un ou au sens large). Il ne faut pas le confondre avec le
« ou » exclusif, qui marque l’alternative (par exemple « fromage ou dessert »).
Remarque 2.7
Soit Pet Qdeux propositions. On définit
Pnon P
VF
FV
P Q P et Q
V V V
VF F
FVF
F F F
P Q P ou Q
V V V
VFV
FV V
F F F
P Q P ⇒ Q
V V V
VF F
FV V
F F V
P Q P ⇔ Q
V V V
VF F
FVF
F F V
Proposition 2.17 (Tables de vérités)
2.1.3 Règles relatives à la négation
Voici quelques règles relatives à la négation.
1. La négation « échange » les quantificateurs :
non ∀x∈E, P(x)≡∃x∈E, non P(x)
non ∃x∈E, P(x)≡∀x∈E, non P(x)
2. non (non P(x)=P(x).
Propriétes 2.6
Exemple 2.5. non (x<y)donne (x≥y), non (0 <x<1) ⇔(x≤0) ou (x≥1)
Exercice 2.3. Donner la négation des propositions suivantes
1. x > 7
2. f:R→Rest majorée, c’est à dire : ∃M∈R,∀x∈R, f(x)≤M.
28 Cour ECE1

2.1. QUELQUES BASES DE VOCABULAIRE ET DE LOGIQUE
2.1.4 Règles relatives au et et au ou
Soient P,Qet Rtrois propositions. Alors les connecteurs vérifient :
1. Distributivité :
(Pet (Qou R)) ≡((Pet Q)ou (Pet R));
(Pou (Qet R)) ≡((Pou Q)et (Pou R)).
2. Lois de Morgan
(non (Pou Q)) ≡(non (P)et non (Q));
(non (Pet Q)) ≡(non (P)ou non (Q)).
Proposition 2.18
Démonstration. Il suffit de comparer les tables de vérité de chaque membre de l’équivalence logique.
Par exemple :
P Q P ou Qnon (Pou Q)non (Q)non (P)non (P)et non (Q)
V V V FF F F
VFVFVFF
FV V FFVF
F F F VV V V
2.1.5 Règles relatives à l’implication et à l’équivalence
Soient Pet Qdeux propositions.
•Réciproque : la réciproque de l’implication ( P⇒Q) est l’implication (Q⇒P).
L’implication et sa réciproque sont vraies toutes les deux si et seulement si (P⇔
Q) est vraie.
•Contraposée : la proposition (non Q⇒non P) est appelée la contraposée de
P⇒Q.
Définition 2.6
Exemple 2.6. L’implication ∀x∈R,(x=x2)⇒(x≥0) est vraie, mais l’implication réciproque
est fausse.
Soit Pune proposition. On appelle :
•condition nécessaire (CN) pour Ptoute proposition Qqui vérifie P ⇒ Q.
•condition suffisante (CS) pour Ptoute proposition Qqui vérifie Q⇒P.
•condition nécessaire et suffisante (CNS) pour Ptoute proposition Qqui
vérifie Q⇔P.
Définition 2.7
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