1 Un peu de logique

Lycée Sainte Geneviève
BCPST 1
Chapitre 0 : Logique et ensembles
1 Un peu de logique
1.1 Assertion et connecteurs logiques
Définition 1. Une assertion est une propriété mathématique à laquelle on peut attribuer sans ambiguïté une valeur
booléenne, i.e. Vrai ou Faux.
Remarque Pour éviter le paradoxe de Russel (dit encore paradoxe du barbier), on interdit à une assertion d’être
autoréférentielle i.e. de parler d’elle même.
Définition 2. Si Pest une assertion, on définit sa négation, notée « non P». C’est l’assertion qui est vraie quand P
est fausse et inversement.
Définition 3. Soient Pet Qdeux assertions.
•On définit l’assertion « Pet Q» qui est vraie si et seulement si Pet Qsont toutes les deux vraies.
•On définit l’assertion « Pou Q» qui est vraie si et seulement si l’une au moins des assertions P,Qest vraie.
On dit alors que « et » et « ou » sont des connecteurs logiques.
Proposition 1. Soient P, Q, R trois assertions.
1. La négation de (Pet Q) est (non Pou non Q).
2. La négation de (Pou Q) est (non Pet non Q).
3. Distributivité du « et » sur le « ou » : les assertions (Pet (Qou R)) et ((Pet Q) ou (Pet R)) sont les mêmes.
4. Distributivité du « ou » sur le « et » : les assertions (Pou (Qet R)) et ((Pou Q) et (Pou R)) sont les mêmes.
1.2 Implication
Définition 4. Soient Pet Qdeux assertions. On définit l’assertion (P⇒Q) qui se lit « Pimplique Q» qui est vraie
si et seulement si Pest fausse ou Pet Qsont toutes les deux vraies.
Remarque En bon français, on dit alors que Pest une condition suffisante pour que Qsoit vraie et que Qest une
condition nécessaire pour que Psoit vraie.
Proposition 2. Soient P, Q, R trois assertions.
1. Les assertions (P⇒Q) et (non Pou Q) sont les mêmes.
2. La négation de (P⇒Q) est (Pet non Q).
3. Transitivité : si (P⇒Q) et (Q⇒R) alors (P⇒R)
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Définition 5. Soient Pet Qdeux assertions.
•on dit que (Q⇒P) est l’implication réciproque de (P⇒Q).
•((non Q)⇒(non P)) s’appelle la contraposée de (P⇒Q)
Attention Ne pas confondre « réciproque » et « contraposée » : c’est une grave erreur de logique !
Proposition 3. Une implication et sa contraposée ont la même signification. On peut dire en anticipant un peu
qu’elles sont équivalentes.
1.3 Équivalence
Définition 6. Soient Pet Qdeux assertions. On définit l’assertion P⇔Qqui se lit « Pet Qsont équivalentes » ou
encore « Psi et seulement si Q» qui est vraie si et seulement si Pet Qont la même valeur booléenne.
Remarque On dit alors que Pest une « condition nécessaire et suffisante » pour Q.
Proposition 4. Soient Pet Qdeux assertions. L’assertion P⇔Qest équivalente à ((P⇒Q) et (Q⇒P))
2 Ensembles
2.1 Définition
On se contentera d’une définition intuitive de la notion d’ensemble.
Définition 7. Un ensemble est une collection d’objets qui sont appelés ses éléments.
On note ∅l’ensemble vide qui ne contient aucun élément. Un ensemble contenant un seul élément est appelé un
singleton.
Définition 8. Soit Eun ensemble. On note x∈Esi l’élément xappartient à Eet x /∈Es’il n’appartient pas à E.
On peut définir un ensemble de plusieurs façons. Par exemple si on considère l’ensemble des nombres entiers pairs
entre 1 et 6 :
•Définition en extension : on liste tous les éléments de l’ensemble. Pour l’exemple cela donne {2,4,6}
•Définition en compréhension : on caractérise les éléments de l’ensemble cherché parmi les éléments d’un ensemble
plus vaste avec une propriété. Par exemple {x∈ {1,2,3,4,5,6}: 2|x}(où 2|xsignifie « 2divise x»)
D’autres ensembles comme N,Z,Q,R,C,... sont définis par des axiomes et des règles un peu plus complexes.
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2.2 Parties et inclusion
Définition 9. Soient Eet Fdeux ensembles. On dit que Eet Fsont égaux et on écrit E=Fs’ils possèdent
exactement les mêmes éléments, i.e. si
∀x, (x∈E⇐⇒ x∈F).
Définition 10. Soient Eet Fdeux ensembles. On dit que Eest inclus dans Fet on écrit E⊂F, si tout élément
de Eest un élément de F, i.e. si
∀x∈E, x ∈F.
On dira aussi que Eest une partie de Fou encore que Fcontient E.
Attention Ne pas confondre ∈et ⊂. Par exemple 0∈Nmais 06⊂ Npar contre on a bien {0} ⊂ N! Et
{−1,0,1} ⊂ Zmais {−1,0,1}/∈Z.
Théorème 1. Soient Eet Fdeux ensembles. Eet Fsont égaux si et seulement si E⊂Fet F⊂E.
Définition 11. Soit Eun ensemble. L’ensemble des parties de Eest noté P(E). Pour tout ensemble Aon a donc
A∈ P(E)⇐⇒ A⊂E.
2.3 Opérations sur les ensembles
Définition 12. Soit Aet Bdeux ensembles.
On appelle réunion de Aet Bl’ensemble suivant :
A∪B={x;x∈Aou x∈B}.
On appelle intersection de Aet Bl’ensemble suivant :
A∩B={x;x∈Aet x∈B}.
On peut généraliser cette définition avec plus de deux ensembles. Soit {Ai}i∈Iun ensemble d’ensembles (i.e. Iest un
ensemble et pour tout i∈I,Aiest un ensemble). On appelle réunion des Ai,i∈I, l’ensemble suivant :
[
i∈I
Ai={x;∃i∈I;x∈Ai}.(xest dans l’un des Ai)
On appelle intersection des Ai,i∈I, l’ensemble suivant :
\
i∈I
Ai={x;∀i∈I, x ∈Ai}.(xest dans tous les Ai)
Définition 13. Soient Eet Fdeux ensembles. On dit que Eet Fsont disjoints si E∩F=∅.
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AB
AB
A∩B
A∪B
Théorème 2. Soit {Ai}i∈Iun ensemble d’ensembles et Bun ensemble. On a
[
i∈I
Ai∩B=[
i∈I
(Ai∩B)et \
i∈I
Ai∪B=\
i∈I
(Ai∪B).
Définition 14. Soit Aet Bdeux ensembles. On appelle différence de Bdans A, l’ensemble suivant :
A\B={x;x∈Aet x /∈B}.
AB
A\B
Définition 15. Soient Eun ensemble et Aune partie de E. L’ensemble E\Aest appelé le complémentaire de A
dans E. Il est noté A.
A
E
A
Théorème 3. Relations de Morgan
Soit {Ai}i∈Iun ensemble de parties d’un même ensemble E. On a
[
i∈I
Ai=\
i∈I
Aiet \
i∈I
Ai=[
i∈I
Ai
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Définition 16. Soit {Ai}i∈Iun ensemble de parties d’un même ensemble E. On dit que ces parties forment un
système complet de Esi elles sont deux à deux disjointes et que leur réunion est égale à E. Autrement dit :
[
i∈I
Ai=Eet ∀(i, j)∈I2, i 6=j⇒Ai∩Aj=∅
Si de plus les Aisont toutes non vides, on dit que {Ai}i∈Iest une partition de E.
Définition 17. Soient E1,...,Endes ensembles. On appelle n-uplet (x1,...,xn)des éléments x1∈E1,...xn∈En
considérés dans cet ordre.
L’ensemble constitué de tous les n-uplets (x1,...,xn)avec x1∈E1,...xn∈Enest appelé le produit cartésien de
E1, E2,...Enet est noté E1×E2×...×En.
Dans le cas particulier où tous les ensembles sont égaux on note Enau lieu de E×E×...×E(n-fois). Et dans ce
cas les n-uplets de Ensont aussi appelés des n-listes de E.
Attention Ne pas confondre une partie {x1,...,xn}où l’ordre n’a pas d’importance et un n-uplet (x1,...,xn)
où l’ordre a de l’importance.
3 Quantificateurs
Définition 18. On appelle quantificateur universel, le symbole noté ∀et qui se lit « pour tout » ou encore « quelque
soit ».
Quand on veut traduire le fait qu’une propriété P(x)qui dépend d’une variable xest vraie pour tout xdans un
ensemble Eon peut écrire :
∀x∈E, P (x)
Définition 19. On appelle quantificateur existentiel, le symbole noté ∃et qui se lit « il existe ».
Quand on veut traduire le fait qu’une propriété P(x)qui dépend d’une variable xest vraie pour au moins un élément
xdans un ensemble Eon peut écrire :
∃x∈E, P (x)
Remarque Quand on veut signifier l’existence et l’unicité on peut utiliser les symboles : ∃!
Proposition 5. La négation des quantificateurs se fait selon les règles suivantes :
•La négation de « ∀x∈E, P (x)» est « ∃x∈E, non P(x)».
•La négation de « ∃x∈E, P (x)» est « ∀x∈E, non P(x)».
Attention Quand deux quantificateurs se suivent, on peut toujours échanger deux quantificateurs universels
entre eux ou deux quantificateurs existentiels entre eux. Mais il est totalement interdit d’échanger un quantificateur
universel avec un quantificateur existentiel (sauf si vous le démontrer !)
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