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TS. NOMBRES COMPLEXES.
I. Introduction. On rappelle la chaine d’inclusions suivantes : ℕ⊂ ℤ⊂ ℚ ⊂ ℝ
- L’équation
n’admet pas de solutions dans ℕ. Elle en admet dans ℤ.
- L’équation
n’admet pas de solutions dans ℤ. Elle en admet dans ℚ.
- L’équation
n’admet pas de solutions dans ℚ. Elle en admet dans ℝ.
- L’équation
n’a pas de solutions dans ℝ.
II. Ensemble des nombres complexes et plan complexe.
1. Ensemble des nombres complexes.
Théorème (Admis)
Il existe un ensemble de nombres contenant ℝ, noté ℂ, dont les éléments sont appelés les nombres
complexes et qui vérifie :
- ℂ est muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles de ℝ et qui vérifient les
mêmes règles de calcul.
- ℂ contient un élément noté i tel que i ² = - 1.
- Tout nombre complexe z s’écrit de façon unique sous la forme
où a et b sont des réels.
Exercice. Résoudre dans ℂ les équations : a)
b)
c)
2. Forme algébrique d’un nombre complexe.
Définitions. 1
Soit z un nombre complexe. z s’écrit
où a et b sont des réels.
• L’écriture
s’appelle la forme algébrique de z.
a est la partie réelle de z. on note
.
b est la partie imaginaire de z. on note
.
( La partie imaginaire d’un nombre complexe est un nombre réel)
• Soit z un nombre complexe s’écrivant sous la forme algébrique
.
Le nombre complexe
, noté
, est le conjugué de z.
Exemple. Soit
. On a alors Re(z) = 3 , Im(z) = - 2 et
Remarque : De l’unicité de l’écriture algébrique d’un nombre complexe, on déduit que deux nombres
complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
Définitions 2.
- Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appelé imaginaire pur.
- Un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle est appelé nombre réel.
3. Représentation graphique d’un nombre complexe.
On munit le plan d’un nombre d’un repère orthonormé direct
.
A chaque complexe
où a et b sont des réels, on peut associer le point
du plan et
réciproquement.