TS nombres complexes Amar 15-16

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TS. NOMBRES COMPLEXES.
I. Introduction. On rappelle la chaine d’inclusions suivantes : ℕ⊂ ℤ⊂ ℚ ⊂ ℝ
- L’équation
3 1
x
+ =
n’admet pas de solutions dans ℕ. Elle en admet dans ℤ.
- L’équation
7 3 1
x
− =
n’admet pas de solutions dans ℤ. Elle en admet dans ℚ.
- L’équation
² 2
x
=
n’admet pas de solutions dans ℚ. Elle en admet dans ℝ.
- L’équation
² 1 0
x
+ =
n’a pas de solutions dans ℝ.
II. Ensemble des nombres complexes et plan complexe.
1. Ensemble des nombres complexes.
Théorème (Admis)
Il existe un ensemble de nombres contenant ℝ, noté ℂ, dont les éléments sont appelés les nombres
complexes et qui vérifie :
- ℂ est muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles de ℝ et qui vérifient les
mêmes règles de calcul.
- ℂ contient un élément noté i tel que i ² = - 1.
- Tout nombre complexe z s’écrit de façon unique sous la forme
z a bi
= +
où a et b sont des réels.
Exercice. Résoudre dans ℂ les équations : a)
² 1
x
= −
b)
² 4 0
x
+ =
c)
(
)
2
1 9
x
+ = −
2. Forme algébrique d’un nombre complexe.
Définitions. 1
Soit z un nombre complexe. z s’écrit
z a bi
= +
où a et b sont des réels.
• L’écriture
a bi
+
s’appelle la forme algébrique de z.
a est la partie réelle de z. on note
( )
Re z a
=
.
b est la partie imaginaire de z. on note
( )
Im z b
=
.
( La partie imaginaire d’un nombre complexe est un nombre réel)
• Soit z un nombre complexe s’écrivant sous la forme algébrique
z a bi
= +
.
Le nombre complexe
a bi
−
, noté
z
, est le conjugué de z.
Exemple. Soit
3 2
z i
= −
. On a alors Re(z) = 3 , Im(z) = - 2 et
3 2
z i
= +
Remarque : De l’unicité de l’écriture algébrique d’un nombre complexe, on déduit que deux nombres
complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
Définitions 2.
- Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appelé imaginaire pur.
- Un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle est appelé nombre réel.
3. Représentation graphique d’un nombre complexe.
On munit le plan d’un nombre d’un repère orthonormé direct
(
)
; ;
O u v
r r
.
A chaque complexe
z a bi
= +
où a et b sont des réels, on peut associer le point
(
)
;
M a b
du plan et
réciproquement.

2
On dit que :
● Le point M est l’image du nombre complexe z. On note
( )M z
Le vecteur 
est l’image du nombre complexe z. On note 
● z est l’affixe du point M. z est aussi l’affixe du vecteur 
● l’axe des abscisses représente l’ensemble des nombres réels.
( )
;O u
r
est l’axe des réels.
● l’axe des ordonnées représente l’ensemble des imaginaires purs. 
est l’axe des imaginaires purs.
● le plan muni du repère
( )
; ;O u v
r r
et où sont représentés les complexes est alors appelé le plancomplexe.
Exemple et illustration.
Dans le plan complexe ci-contre :
- Le point M est l’image du nombre complexe   .
- Le vecteur   est l’image du nombre complexe   .
- Le nombre complexe    est l’affixe du point M.
C’est aussi l’affixe du vecteur 
III. Opérations dans ℂ.
1. Addition.
Théorème.
Soient z = a + bi et z’ = a’ + b’i deux nombres complexes d’images  et  dans le plan complexe.
On a alors
●
( ') ( ) ( ') et ( ') ( ) ( ')Re z z Re z Re z z z z z+ = + + = +Im Im Im
.
● L’image de z + z’ est  +
Démonstration.
● z + z’= (a + a’) + (b+ b’)i (a + a’) et (b+ b’) étant réels, par l’unicité de la forme algébrique, on en déduit
que
( ') ( ) ( ') et ( ') ( ) ( ')Re z z Re z Re z z z z z+ = + + = +Im Im Im
● L’image  de z + z’ dans le plan complexe a pour coordonnées ((a + a’) ; (b+ b’)).
Par ailleurs,  et  étant les images de z et z’, on a  (a ;b) et  ’ (a’ ;b’).
Donc ( + )((a + a’) ; (b+ b’)). On en déduit que ( + ) =
.
Définition.
L’opposé d’un nombre complexe z est le nombre complexe z’ tel que z + z’ = 0.
L’opposé de z est noté –z.
Théorème.
Soit z = a + bi un nombre complexe sous la forme algébrique.
L’opposé de z est
Preuve. z + (-a –bi) = a + bi+(-a –bi)= a + bi-a –bi = 0
Représentation graphique.
Soit A et A’ les images respectives d’un complexe z et de son opposé dans le plan complexe.
A et A’ sont alors symétriques par rapport à l’origine.
Définition.
Soient z et z’ deux complexes. z -z’ désigne le complexe z +(-z’).

3
Théorème.
Soient M et M ’ deux points du plan ayant pour affixes respectives z et z’.
Alors  a pour affixe z’- z.
Preuve. Soient a + bi et a’+ b’i les formes algébriques respectives de z et z’.
On a alors z’ -z = (a’ -a) + (b’-b)i . Cette écriture étant la forme algébrique de z’ - z.
Ainsi l’affixe 
 de z’ -z a pour coordonnées 
Or, M (a ;b) et M ’(a’ ; b’) donc      . On a donc  .
2. Multiplication.
La multiplication et l’addition dans ℂ suivent les mêmes règles que dans ℂ en tenant compte de l’égalité
² 1i= −
pour simplifier les calculs. Ainsi :
Si z = a + bi et z’ = a’ + b’i sont deux nombres complexes données sous la forme algébrique, alors
z z’ =
( ' ') ( ' ' )aa bb ab a b i− + +
Théorème. Tout nombre complexe z non nul admet un inverse noté
1
z
.
C’est l’unique complexe z’ tel que z z’ = 1
Preuve. Soit complexe z non nul de forme algébrique a + bi.
 étant non nul, a et b ne sont pas tous les deux nuls. Donc     
On vérifie alors aisément que
² ² ² ²
a b i
a b a b
−
+ +
est l’inverse de z :
( )
² ² ² ² ² ²
² 1
² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ²
a b a ab ab b a b a b
i a bi i i i
a b a b a b a b a b a b a b a b a b
+
− + = + − − = + = =
+ + + + + + + + +
Exemple. L’inverse de 1+ i est
1 1
2 2i−
. En effet,
( )
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ² 1
2 2 2 2 2 2 2 2
i i i i i − + = + − − = + =
Définition.
Pour tous nombres complexes z et z’ avec z’ non nul, le quotient de z par z’, noté
'
z
z
est défini par
1
' '
zz
z z
= ×
IV. Forme trigonométrique des nombres complexes.
1. Module et argument d’un nombre complexe.
Définition.
Soit z un nombre complexe non nul d’image M dans le plan complexe.
 Le module de z, noté  est défini par  
Soit θ une mesure de l’angle de vecteurs !" #.
$ est un argument de z. On le note %&. Ainsi, '() *+

4
Théorème.
Soit z un nombre complexe non nul de forme algébrique
z a bi
= +
.
Alors
² ²
z a b
= +
Preuve immédiate avec la représentation géométrique.
3. Forme trigonométrique d’un nombre complexe.
Soit z un nombre complexe non nul de forme algébrique
z a bi
= +
.
Soit M l’image de z dans le plan complexe. Posons  ,. On a alors -  ,./0*
  , 123*
On a donc
(
)
cos sin cos sin
z a bi r ir r i
θ θ θ θ
= + = + = +
. D’où le théorème :
Théorème.
Tout nombre complexe non nul z s’écrit sous la forme
(
)
cos sin
z r i
θ θ
= +
où
r z
=
et
θ
est un argument de z.
Théorème réciproque.
Soit z un nombre complexe s’écrivant sous la forme
(
)
cos sin
z r i
θ θ
= +
avec , 4 ℝ
5
6
et *7 ℝ .
Alors,
r z
=
et
θ
est un argument de z.
Exemple. Ecrire sous la forme trigonométrique
1
z i
= − +
.
( 1)² 1² 2.
1 1 2 2
1 2 2 2 cos sin
2 2 2 2 4 4
3 3
2 cos sin
4 4
z
z i i i i
z i
π π
π π
π π
= − + =
− −
= − + = + = + = − + −
= + 
4. Affixe d’un vecteur.
Théorème.
Soit z un nombre complexe non nul d’image 
dans le plan muni d’un repère orthonormé direct
(
)
; ;
O u v
r r
.
Alors 8
8 et '()" +
5 . Egalité de deux nombres complexes.
Rappels. L’écriture algébrique d’un nombre complexe est unique. Donc pour tous réels a, b, a’ et b’,
'
' '
'
a a
a bi a b i
b b
=
+ = + ⇔ 
=
En particulier,
0
0
0
a
a bi b
=
+ = ⇔ 
=
Théorème. Soient
et
'
z z
deux nombres complexes non nuls.
9 et ,:  ,:;  <+ avec < 4 ℤ .
Théorème. Soit z un nombre complexe non nul.
4
ℝ
9
,:
<+
avec
<
4
ℤ .
z est un imaginaire pur
9
,:
=
>
<+
avec
<
4
ℤ .

5
Preuve : z étant non nul, écrivons z sous forme trigonométrique.
(
)
cos sin
z r i
θ θ
= + .
 4 ℝ
6
9 123*  
 4 ℝ
6
9 *    <+ avec < 4 ℤ .
?0"@A:@,?B", 9 CD1*  , ce qui équivaut à * 
=
>
 <+ avec < 4 Z .
V. Conjugué d’un nombre complexe.
1. Définition.
Soit z = a + bi un nombre complexe sous la forme algébrique.
On appelle conjugué du complexe z, le complexe noté
z
égal à a – bi.
Exemples.
1 2 1 2
i i
+ = −
;
1 3 1 3
i i
− − = − +
;
2 2
=
;
5 5
i i
− =
.
Représentation graphique.
 Un nombre complexe et son conjugué ont des images dans le plan complexe symétriques par rapport à
l’axe des réels.
Propriétés du conjugué.
Théorèmes.
► Soit z un complexe.
a)
z z
=
;
2Re( )
z z z
+ =
;
2 ( )
z z z i
− = Im
;
(
)
(
)
Re( ) ² ( ) ² ²
zz z z z
= + =Im
z est un réel
z z
⇔ =
;
z est un imaginaire pur
z z
⇔ = −
► Pour tous nombres complexes
et '
z z
:
' '
z z z z
+ = +
;
' '
zz z z
=
; Pour tout entier naturel n non nul
n
n
z z
=
Si
z
est non nul, alors
1 1
z
z
=
et
' '
z z
z
z
=
.
Démonstrations.
► Soit a + bi la forme algébrique de
z
.
(
)
( )
z a bi a bi a bi z
= + = − = + =
2 2Re( )
z z a bi a i a z
+ = + + − = =
;
(
)
2 2 ( )
z z a bi a bi bi z i
− = + − − = = Im
z est un réel
Im( ) 0 2Im( ) 0 0
z z z z z z
⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =
.
► Soient respectivement a + bi et a’ + b’i les formes algébriques de
z
et
z
’.
Somme : Immédiat.
Produit : Immédiat avec les formes algébriques.
n
n
z z
=
par récurrence sur n.
1 1
1 1 z z
z z
= = × = × d’où
1 1
z
z
=
.
' 1 1 1 '
' ' '
z z
z z z
z z z
z z
= × = × = × =