TD 16 : Variables aléatoires et probabilités

Lycée Carnot — 2016-2017
PSI*
E XERCICE 5 On considère une suite ( Xn )n∈N∗ de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi de Bernouilli de paramètre p ∈]0, 1[. Pour
n ∈ N∗ , on pose
TD 16 : Variables aléatoires et probabilités
E XERCICE 1 On considère une variable aléatoire discrète X vérifiant X (Ω) =
1
Z et ∀n ∈ N, P( X = n + 1) = n+
1 P( X = n ) et P( X = − n ) = P( X = n ).
Sn =
X1 + . . . X n
n
Yn =
X n + X n +1
2
Tn =
Y1 + · · · + Yn
n
1. Justifier que ∀e > 0, limn→+∞ P (|Sn − p| ≥ e) = 0.
1. Exprimer, pour tout n ∈ Z, P( X = n) en fonction de P( X = 0). En
déduire P( X = 0) puis la loi de X.
2. Donner la loi et l’espérance de Yn .
2. Montrer que X admet une espérance et une variance et les calculer.
3. Soit n, m ∈ N∗ tels que n < m. Les variables aléatoires Yn et Ym sont-elles
indépendantes ?
E XERCICE 2 On considère une suite ( Xn )n∈N∗ de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant une même loi de Bernoulli de paramètre p, avec
0 < p < 1. On pose, pour tout n ∈ N∗ , Yn = Xn Xn+1 et Un = Y1 + · · · + Yn .
4. Montrer que ∀e > 0, limn→+∞ P (| Tn − p| ≥ e).
P ROBLÈME 1
1. Pour tout n ∈ N∗ , déterminer la loi de Yn puis calculer E(Yn ) et V(Yn ).
(E3A MP 2015)
Des bits d’information, c’est-à-dire des 0 ou des 1, sont transmis par l’in2. Soit n, m ∈ N∗ tels que n < m. Les variables aléatoires Yn et Ym sont-elles
termédiaire d’un canal. Ce canal n’est pas complètement fiable. On observe
indépendantes ? Calculer Cov(Yn , Ym ).
qu’un bit envoyé, un 0 ou un 1, peut être altéré en sortie, c’est-à-dire qu’un 0
3. Calculer, pour tout n ∈ N∗ , E(Un ) et V(Un ).
(respectivement un 1) en entrée du canal peut devenir un 1 (respectivement
0
0
E XERCICE 3 Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant toutes un 0) en sortie. On note b le bit envoyé et b le bit de sortie (b, b ∈ {0, 1}).
les deux la loi géométrique de même paramètre p, avec 0 < p < 1.
b
1. Déterminer la loi de X + Y, la loi de min( X, Y ) et la loi de max( X, Y ).
canal bruité
b0
0
2. Donner un exemple de situation faisant intervenir les variables aléatoires On modélise la transmission d’un bit de façon probabiliste, b et b sont des
variables aléatoires :
X et Y. Que représentent alors X + Y, min( X, Y ) et max( X, Y ) ?
• On note α la probabilité qu’un 1 soit envoyé, c’est-à-dire α = P(b = 1).
3. Calculer P( X = Y ) et P( X ≤ Y ).
• On désigne par p la probabilité qu’un 1 en entrée ne soit pas altéré pendant la transmission, c’est-à-dire p = P(b0 = 1|b = 1).
E XERCICE 4 On considère une variable aléatoire X définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P) à valeurs dans N. On définit la variable aléatoire Y par :
(
0
si X (ω ) est impair
∀ω ∈ Ω, Y (ω ) = X (ω )
si X (ω ) est pair
2
1. Exprimer 1 − p, q et 1 − q en terme de probabilités conditionnelles.
Déterminer la loi de Y et calculer son espérance, si :
2. Un bit est envoyé. Quelle est la probabilité de recevoir un 1 en sortie ?
• On désigne par q la probabilité qu’un 0 en entrée ne soit pas altéré pendant la transmission.
3. On reçoit le bit 1. Quelle est alors la probabilité qu’un 1 ait été envoyé en
entrée ?
1. X suit une loi géométrique, de paramètre p ∈]0, 1[.
2. X suit une loi de Poisson, de paramètre λ, avec λ ∈ R+
∗.
1
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(d) On suppose p = 0.95. Écrire un programme en langage P YTHON
qui prend en entrée l’entier naturel n et donne une estimation de
f ( n ).
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On décide d’envoyer n fois le même
bit b. On note b10 , b20 , . . . , bn0 les n bits obtenus en sortie et on note X la variable
aléatoire qui compte le nombre de 1 en sortie. On remarque que les valeurs
possiblement prises par X sont {0, 1, . . . , n}.
b
P ROBLÈME 2 (E3A PSI 2015)
0
1
1. Soit A =
∈ M2 (R). Déterminer une condition nécesy − 4 2x
saire et suffisante pour que A soit diagonalisable dans M2 (R).
b10
b20

canal bruité




 canal bruité
..


.



canal bruité
bn0
2. On note E1 = {u ∈ R+ | u2 ∈
/ N} et E2 son complémentaire dans R+ .
Prouver que E2 est un ensemble dénombrable.
4. Soit k un entier entre 0 et n. Exprimer P( X = k ) en fonction des paramètres p, q et α.
3. Soit (Ω, A) un espace probabilisable et f définie de R+ dans R par
(
0 si u2 ∈
/N
∀u ≥ 0, f (u) =
λ
sinon
u2
5. En déduire l’espérance de X en fonction des paramètres p, q et α,
6. Soit k un entier entre 0 et n. Exprimer la probabilité que le bit 1 ait été
envoyé sachant que le nombre de 1 en sortie vaut k.
2
Déterminer λ pour qu’il existe une probabilité P tel que f soit la loi de
probabilité d’une variable aléatoire X définie sur Ω et à valeurs dans R+ .
Préciser X (Ω).
Le canal est désormais supposé symétrique, c’est-à-dire que chaque bit, que
ce soit un 0 ou un 1, peut être altéré avec une même probabilité (1 − p). On
suppose 12 < p < 1.
7.
4. Déterminer X 2 (Ω) et la loi de probabilité de X 2 .
(a) Déterminer en fonction des paramètres p et α, l’ensemble des valeurs k prises par X pour lesquelles il est plus probable (au sens
strict) qu’un 1 ait été envoyé plutôt qu’un 0.
(b) Que devient ce résultat lorsque α =
1
2
5. Déterminer l’espérance E( X 2 ) de la variable aléatoire X 2 .
6. Déterminer la fonction génératrice de la variable aléatoire X 2 . Retrouver
alors la valeur de E( X 2 ) obtenue à la question précédente.
?
7. Soit Y une variable aléatoire définie sur Ω, indépendante de la variable
aléatoire X et suivant la loi
0 si u ∈
/N
+
∀ u ∈ R , P (Y = u ) =
1
sinon
2u +1
8. On suppose α = 21 . On note f (n) la probabilité que l’interprétation de
l’observation en sortie soit fausse, c’est-à-dire que le bit en entrée n’est
pas celui le plus probable en sortie.
(a) Exprimer f (n) en fonction des P( X = k ), pour des entiers k entre 0
et n.
Soit alors Z la variable aléatoire définie sur Ω par Z = X 2 + Y. Déterminer la fonction génératrice de Z. En déduire sa loi de probabilité.
0
1
8. Déterminer enfin la probabilité pour que la matrice A =
Y − 4 2X
soit diagonalisable.
(b) Donner une expression de f (n) en fonction de n et p.
(c) Écrire une fonction binom en langage P YTHON qui prend en entrée
un entier naturel N et un entier k ∈ J0; NK et retourne la valeur du
coefficient binomial ( Nk ).
2