TD 16 : Variables aléatoires et probabilités

Lycée Carnot — 2016-2017 PSI*
TD 16 : Variables aléatoires et probabilités
EXERCICE 1 On considère une variable aléatoire discrète Xvérifiant X(Ω) =
Zet ∀n∈N,P(X=n+1) = 1
n+1P(X=n)et P(X=−n) = P(X=n).
1. Exprimer, pour tout n∈Z,P(X=n)en fonction de P(X=0). En
déduire P(X=0)puis la loi de X.
2. Montrer que Xadmet une espérance et une variance et les calculer.
EXERCICE 2 On considère une suite (Xn)n∈N∗de variables aléatoires mutuel-
lement indépendantes suivant une même loi de Bernoulli de paramètre p, avec
0<p<1. On pose, pour tout n∈N∗,Yn=XnXn+1et Un=Y1+· · · +Yn.
1. Pour tout n∈N∗, déterminer la loi de Ynpuis calculer E(Yn)et V(Yn).
2. Soit n,m∈N∗tels que n<m. Les variables aléatoires Ynet Ymsont-elles
indépendantes ? Calculer Cov(Yn,Ym).
3. Calculer, pour tout n∈N∗,E(Un)et V(Un).
EXERCICE 3 Soit Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes suivant toutes
les deux la loi géométrique de même paramètre p, avec 0 <p<1.
1. Déterminer la loi de X+Y, la loi de min(X,Y)et la loi de max(X,Y).
2. Donner un exemple de situation faisant intervenir les variables aléatoires
Xet Y. Que représentent alors X+Y, min(X,Y)et max(X,Y)?
3. Calculer P(X=Y)et P(X≤Y).
EXERCICE 4 On considère une variable aléatoire Xdéfinie sur un espace pro-
babilisé (Ω,A,P)à valeurs dans N. On définit la variable aléatoire Ypar :
∀ω∈Ω,Y(ω) = (0 si X(ω)est impair
X(ω)
2si X(ω)est pair
Déterminer la loi de Yet calculer son espérance, si :
1. Xsuit une loi géométrique, de paramètre p∈]0, 1[.
2. Xsuit une loi de Poisson, de paramètre λ, avec λ∈R+
∗.
EXERCICE 5 On considère une suite (Xn)n∈N∗de variables aléatoires indépen-
dantes suivant toutes la même loi de Bernouilli de paramètre p∈]0, 1[. Pour
n∈N∗, on pose
Sn=X1+. . . Xn
nYn=Xn+Xn+1 2Tn=Y1+· · · +Yn n
1. Justifier que ∀e>0, limn→+∞P(|Sn−p| ≥ e)=0.
2. Donner la loi et l’espérance de Yn.
3. Soit n,m∈N∗tels que n<m. Les variables aléatoires Ynet Ymsont-elles
indépendantes ?
4. Montrer que ∀e>0, limn→+∞P(|Tn−p| ≥ e).
PROBLÈME 1(E3A MP 2015)
Des bits d’information, c’est-à-dire des 0 ou des 1, sont transmis par l’in-
termédiaire d’un canal. Ce canal n’est pas complètement fiable. On observe
qu’un bit envoyé, un 0 ou un 1, peut être altéré en sortie, c’est-à-dire qu’un 0
(respectivement un 1) en entrée du canal peut devenir un 1 (respectivement
un 0) en sortie. On note ble bit envoyé et b0le bit de sortie (b,b0∈ {0, 1}).
b canal bruité b0
On modélise la transmission d’un bit de façon probabiliste, bet b0sont des
variables aléatoires :
•On note αla probabilité qu’un 1 soit envoyé, c’est-à-dire α=P(b=1).
•On désigne par pla probabilité qu’un 1 en entrée ne soit pas altéré pen-
dant la transmission, c’est-à-dire p=P(b0=1|b=1).
•On désigne par qla probabilité qu’un 0 en entrée ne soit pas altéré pen-
dant la transmission.
1. Exprimer 1 −p,qet 1 −qen terme de probabilités conditionnelles.
2. Un bit est envoyé. Quelle est la probabilité de recevoir un 1 en sortie ?
3. On reçoit le bit 1. Quelle est alors la probabilité qu’un 1 ait été envoyé en
entrée ?
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Soit nun entier supérieur ou égal à 2. On décide d’envoyer nfois le même
bit b. On note b0
1,b0
2, . . . , b0
nles nbits obtenus en sortie et on note Xla variable
aléatoire qui compte le nombre de 1 en sortie. On remarque que les valeurs
possiblement prises par Xsont {0, 1, . . . , n}.
b 
canal bruité b0
1
canal bruité b0
2
.
.
.
canal bruité b0
n
4. Soit kun entier entre 0 et n. Exprimer P(X=k)en fonction des para-
mètres p,qet α.
5. En déduire l’espérance de Xen fonction des paramètres p,qet α,
6. Soit kun entier entre 0 et n. Exprimer la probabilité que le bit 1 ait été
envoyé sachant que le nombre de 1 en sortie vaut k.
Le canal est désormais supposé symétrique, c’est-à-dire que chaque bit, que
ce soit un 0 ou un 1, peut être altéré avec une même probabilité (1−p). On
suppose 1
2<p<1.
7. (a) Déterminer en fonction des paramètres pet α, l’ensemble des va-
leurs kprises par Xpour lesquelles il est plus probable (au sens
strict) qu’un 1 ait été envoyé plutôt qu’un 0.
(b) Que devient ce résultat lorsque α=1
2?
8. On suppose α=1
2. On note f(n)la probabilité que l’interprétation de
l’observation en sortie soit fausse, c’est-à-dire que le bit en entrée n’est
pas celui le plus probable en sortie.
(a) Exprimer f(n)en fonction des P(X=k), pour des entiers kentre 0
et n.
(b) Donner une expression de f(n)en fonction de net p.
(c) Écrire une fonction binom en langage PYTHON qui prend en entrée
un entier naturel Net un entier k∈J0; NKet retourne la valeur du
coefficient binomial (N
k).
(d) On suppose p=0.95. Écrire un programme en langage PYTHON
qui prend en entrée l’entier naturel net donne une estimation de
f(n).
PROBLÈME 2 (E3A PSI 2015)
1. Soit A=0 1
y−4 2x∈ M2(R). Déterminer une condition néces-
saire et suffisante pour que Asoit diagonalisable dans M2(R).
2. On note E1={u∈R+|u2/∈N}et E2son complémentaire dans R+.
Prouver que E2est un ensemble dénombrable.
3. Soit (Ω,A)un espace probabilisable et fdéfinie de R+dans Rpar
∀u≥0, f(u) = (0 si u2/∈N
λ
2u2sinon
Déterminer λpour qu’il existe une probabilité Ptel que fsoit la loi de
probabilité d’une variable aléatoire Xdéfinie sur Ωet à valeurs dans R+.
Préciser X(Ω).
4. Déterminer X2(Ω)et la loi de probabilité de X2.
5. Déterminer l’espérance E(X2)de la variable aléatoire X2.
6. Déterminer la fonction génératrice de la variable aléatoire X2. Retrouver
alors la valeur de E(X2)obtenue à la question précédente.
7. Soit Yune variable aléatoire définie sur Ω, indépendante de la variable
aléatoire Xet suivant la loi
∀u∈R+,P(Y=u) = 0 si u/∈N
1
2u+1sinon
Soit alors Zla variable aléatoire définie sur Ωpar Z=X2+Y. Détermi-
ner la fonction génératrice de Z. En déduire sa loi de probabilité.
8. Déterminer enfin la probabilité pour que la matrice A=0 1
Y−4 2X
soit diagonalisable.
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