Analyse, séance 2 : Cours Résolution analytique de problèmes

Mathématiques 2 1
Analyse, séance 2 : Cours
Résolution analytique de problèmes canoniques.
Programme
– Problème aux limites pour l’équation de Poisson dans des domaines simples : para-
graphe 2.1.1.
– Problème de Cauchy pour une l’équation de la diffusion : paragraphe 2.1.2.
– Problème de Cauchy pour l’équation des ondes : paragraphe 2.1.4.
FIG. 1 – Représentation 3D d’une solution du problème de Laplace dans un disque
1 L’équation de Poisson
Soit un domaine plan Ω∈R2de bord Γ. On considère le “problème aux limites”
u∈C2(Ω)
−k∆u(x) = f(x)si x∈Ω
u(x) = gsi x∈Γ
(1)
où f∈C(Ω) et g∈C(Γ).
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1.1 Unicité de la solution
Soit
V0={u∈C2(Ω) / uΓ= 0}
Pour u, v ∈V0on a
ZΩ
−∆uv dΩ = ZΩ ∇u˙ ∇v dΩ
On en déduit l’unicité de la solution de (1).
1.2 Domaine carré
On suppose g= 0, le problème (1) est alors un “problème aux limites homogène” pour “l’équa-
tion de Laplace”. Soit Ω = [0, π]×[0, π]un carré et fest une fonction suffisamment régulière. On
obtient une solution explicite sous la forme d’un développement en série de Fourier
u=X
n,p
fn,p
n2+p2sin nx sin py (2)
où
fn,p =4
π2Zπ
0Zπ 0
f(x, y) sin nx sin py dxdy
1.3 Domaine circulaire
On considère le cas où f= 0 : le problème (1) est alors problème de Laplace, qui équivaut à
chercher une fonction harmonique dont les valeurs au bord d’un domaine sont connues.
Soit Ωle disque unité {x / kxk ≤ 1}. En utilisant les propriétés des fonctions analytiques ou en
cherchant la solution de (1) en coordonnées polaires sous la forme d’un développement en série de
Fourier en θ, on obtient l’expression intégrale
u(r, θ) = 1
2πZ2π
0
g(φ)
r2−2rcos(θ−φ)+1dφ (3)
1.4 Propriétés de la solution
La solution générale de (1) est la somme de la solution d’un problème de Laplace (f= 0), qui
est une fonction harmonique, et de la solution d’un problème aux limites homogènes (g= 0).
En utilisant (3), on vérifie qu’une fonction harmonique vérifie la formule de la moyenne et on en
déduit le principe du maximum
Proposition 1 Les extrémums d’une fonction harmonique sur un domaine Ωsont atteints sur le bord
de Ω.
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2 Le problème de la diffusion
On cherche une fonction u(x, t)du point d’abscisse x, au temps t,u∈C2([0,1]×[0, T ]) solution
du problème
∂u
∂t =c∂2u ∂x2x∈]0,1[
u(x, 0) = u0(x)
u(0) = u(1) = 0
(4)
On a d
dt Z1
0
u2dx =Z1
0
2u∂u
∂t dx =cZ1
0
2u∂2u
∂t2dx (5)
d’où en intégrant par parties la dernière intégrale et en notant que le “crochet” est nul
d
dt Z1
0
u2dx =−cZ1
0
2∂u
∂t 2
dx < 0
On en déduit la décroissance de kuk2
2: l’équation est dissipative.
On en déduit l’unicité de la solution et sa stabilité vis à vis d’une perturbation.
2.1 Utilisation des séries de Fourier
On peut exprimer la solution à l’aide d’un développement en série de Fourier
u(x, t) = X
k
akexp (−k2π2ct) sin (kπx)(6)
où la constante akest définie par la condition initiale comme un coefficient de Fourier de u0(x)
ak= 2 Z1
0
u0(x) sin (kπx)dx
2.2 Utilisation de la transformée de Fourier
Voir dans le chapitre 3 le paragraphe sur la transformée de Fourier. Si on remplace dans (4)
l’intervalle ]0,1[ par Ron peut trouver une expression intégrale de la solution de (4) qui est nulle à
l’infini
u(x, t) = Z+∞
−∞
u0(x−y)1
p(4πct)exp −y2
4ctdy
2.3 Propriétés de la solution
En déduire des propriétés qualitatives de la solution.
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3 L’équation des ondes
On cherche une fonction u(x, t)du point d’abscisse xau temps t,u∈C2([0,1]×[0, T ]), solution
du problème
∂2u
∂t2=c2∂2u ∂x2
u(x, 0) = u0(x)
∂u
∂t (x, 0) = 0
u(0, t) = u(1, t) = 0
(7)
où u0(x)∈C2([0, L]) est la position initiale. Ce problème se retrouve dans tous les domaines de la
physique, pour modéliser des phénomènes vibratoires unidimensionnels : les cordes vibrantes (u(x, t)
est la position du point xau temps t), les ondes sonores dans un tuyau.... C’est un problème de Cauchy,
ou à valeur initiale : au temps t= 0 l’état initial est donné (position u0et vitesse nulle pour les cordes
vibrantes), le problème est de déterminer l’évolution ultérieure.
3.1 Unicité
On a la propriété de conservation de l’énergie totale :
L
Z
0
(∂u
∂t )2+c2(∂u ∂x)2dx =Cte (8)
On en déduit l’unicité de la solution et sa stabilité vis à vis d’une perturbation.
3.2 Utilisation des séries de Fourier
On appelle harmoniques les solutions de l’équation des ondes qui représentent des mouvements
dont tous les points oscillent en phase
u(x, t) = u(x)v(t)
Les harmoniques sont de la forme
uk(x, t) = aksin kπx cos (kπct +φk)
Les fonctions aksin kπx qui définissent la forme des harmoniques sont par construction les fonctions
propres du problème de statique associé.
On a une expression de la solution sous la forme d’une superposition d’harmoniques, i.e. ici d’un
développement en série de Fourier
u(x, t) = X
k
akcos (kπct) sin (kπx)
où
ak= 2 Z1
0
u0(x) sin (kπx)dx
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