Mathématiques 2 1 Analyse, séance 2 : Cours Résolution analytique de problèmes canoniques. Programme – Problème aux limites pour l’équation de Poisson dans des domaines simples : paragraphe 2.1.1. – Problème de Cauchy pour une l’équation de la diffusion : paragraphe 2.1.2. – Problème de Cauchy pour l’équation des ondes : paragraphe 2.1.4. F IG . 1 – Représentation 3D d’une solution du problème de Laplace dans un disque 1 L’équation de Poisson Soit un domaine plan Ω ∈ R2 de bord Γ. On considère le “problème aux limites” u ∈ C 2 (Ω) −k∆u(x) = f (x) si x ∈ Ω u(x) = g si x ∈ Γ (1) où f ∈ C(Ω) et g ∈ C(Γ). ECP 2006-2007 Analyse Mathématiques 2 1.1 2 Unicité de la solution Soit V0 = {u ∈ C 2 (Ω) / uΓ = 0} Pour u, v ∈ V0 on a Z Z −∆uv dΩ = ˙ dΩ ∇u∇v Ω Ω On en déduit l’unicité de la solution de (1). 1.2 Domaine carré On suppose g = 0, le problème (1) est alors un “problème aux limites homogène” pour “l’équation de Laplace”. Soit Ω = [0, π] × [0, π] un carré et f est une fonction suffisamment régulière. On obtient une solution explicite sous la forme d’un développement en série de Fourier fn,p sin nx sin py n 2 + p2 X u= n,p où fn,p 1.3 4 = 2 π Z π Z (2) π f (x, y) sin nx sin py dxdy 0 0 Domaine circulaire On considère le cas où f = 0 : le problème (1) est alors problème de Laplace, qui équivaut à chercher une fonction harmonique dont les valeurs au bord d’un domaine sont connues. Soit Ω le disque unité {x / kxk ≤ 1}. En utilisant les propriétés des fonctions analytiques ou en cherchant la solution de (1) en coordonnées polaires sous la forme d’un développement en série de Fourier en θ, on obtient l’expression intégrale Z 2π 1 g(φ) u(r, θ) = dφ (3) 2π 0 r2 − 2r cos(θ − φ) + 1 1.4 Propriétés de la solution La solution générale de (1) est la somme de la solution d’un problème de Laplace (f = 0), qui est une fonction harmonique, et de la solution d’un problème aux limites homogènes (g = 0). En utilisant (3), on vérifie qu’une fonction harmonique vérifie la formule de la moyenne et on en déduit le principe du maximum Proposition 1 Les extrémums d’une fonction harmonique sur un domaine Ω sont atteints sur le bord de Ω. ECP 2006-2007 Analyse Mathématiques 2 2 3 Le problème de la diffusion On cherche une fonction u(x, t) du point d’abscisse x, au temps t, u ∈ C 2 ([0, 1]×[0, T ]) solution du problème ∂2u ∂u x ∈]0, 1[ = c ∂t ∂x2 (4) u(x, 0) = u0 (x) u(0) = u(1) = 0 On a d dt Z 1 1 Z 2 u dx = 0 0 ∂u 2u dx = c ∂t Z 1 2u 0 ∂2u dx ∂t2 (5) d’où en intégrant par parties la dernière intégrale et en notant que le “crochet” est nul d dt Z 1 Z 2 1 u dx = −c 0 2 0 ∂u ∂t 2 dx < 0 On en déduit la décroissance de kuk22 : l’équation est dissipative. On en déduit l’unicité de la solution et sa stabilité vis à vis d’une perturbation. 2.1 Utilisation des séries de Fourier On peut exprimer la solution à l’aide d’un développement en série de Fourier X u(x, t) = ak exp (−k 2 π 2 ct) sin (kπx) (6) k où la constante ak est définie par la condition initiale comme un coefficient de Fourier de u0 (x) Z ak = 2 1 u0 (x) sin (kπx) dx 0 2.2 Utilisation de la transformée de Fourier Voir dans le chapitre 3 le paragraphe sur la transformée de Fourier. Si on remplace dans (4) l’intervalle ]0, 1[ par R on peut trouver une expression intégrale de la solution de (4) qui est nulle à l’infini Z +∞ 1 y2 u(x, t) = u0 (x − y) p exp − dy 4ct (4πct) −∞ 2.3 Propriétés de la solution En déduire des propriétés qualitatives de la solution. ECP 2006-2007 Analyse Mathématiques 2 3 4 L’équation des ondes On cherche une fonction u(x, t) du point d’abscisse x au temps t, u ∈ C 2 ([0, 1]×[0, T ]), solution du problème 2 ∂2u 2∂ u = c ∂t2 ∂x2 u(x, 0) = u0 (x) (7) ∂u (x, 0) = 0 ∂t u(0, t) = u(1, t) = 0 où u0 (x) ∈ C 2 ([0, L]) est la position initiale. Ce problème se retrouve dans tous les domaines de la physique, pour modéliser des phénomènes vibratoires unidimensionnels : les cordes vibrantes (u(x, t) est la position du point x au temps t), les ondes sonores dans un tuyau.... C’est un problème de Cauchy, ou à valeur initiale : au temps t = 0 l’état initial est donné (position u0 et vitesse nulle pour les cordes vibrantes), le problème est de déterminer l’évolution ultérieure. 3.1 Unicité On a la propriété de conservation de l’énergie totale : ZL ( ∂u 2 ∂u ) + c2 ( )2 dx = Cte ∂t ∂x (8) 0 On en déduit l’unicité de la solution et sa stabilité vis à vis d’une perturbation. 3.2 Utilisation des séries de Fourier On appelle harmoniques les solutions de l’équation des ondes qui représentent des mouvements dont tous les points oscillent en phase u(x, t) = u(x)v(t) Les harmoniques sont de la forme uk (x, t) = ak sin kπx cos (kπct + φk ) Les fonctions ak sin kπx qui définissent la forme des harmoniques sont par construction les fonctions propres du problème de statique associé. On a une expression de la solution sous la forme d’une superposition d’harmoniques, i.e. ici d’un développement en série de Fourier X u(x, t) = ak cos (kπct) sin (kπx) k où Z ak = 2 1 u0 (x) sin (kπx) dx 0 ECP 2006-2007 Analyse