TD6

Analyse fonctionnelle
ENS Cachan
A. Leclaire
M1 Hadamard 2016-2017
TD6
Exercice 1 Équation de la Chaleur sur le cercle
Fixons une condition initiale f ∈ C (T) et cherchons u : R+ × T → C continue sur R+ × T, de
classe C ∞ sur R∗+ × T et vérifiant
∂u
∂ 2u
(t,x ) = 2 (t,x )
∂t
∂x
u (0,x ) = f (x )
∀(t,x ) ∈ R∗+ × T
∀x ∈ T
1) (Unicité) Soit u : R+ × T → C une solution.
a) On fixe t > 0. Montrer qu’il existe des coefficients (c n (t ))n ∈Z tels que
X
∀x ∈ T, u (t,x ) =
c n (t )e inx ,
n ∈Z
où la série converge absolument.
b) Montrer que t 7→ c n (t ) est dérivable sur R∗+ et que ∀t > 0, c n0 (t ) = −n2c n (t ) .
c) Montrer que lim c n (t ) = c n où c n est le n-ième coefficient de Fourier de f .
t →0
d) En déduire que l’on a nécessairement pour tous t > 0 et x ∈ T,
X
2
u (0,x ) = f (x ) et u (t,x ) =
c n e −n t e inx .
(1)
n ∈Z
2) (Existence) Définissons u par les formules (1).
a) Montrer que sur R∗+ × T, u est de classe C ∞ et vérifie
b) Pour t > 0, posons
pt (x ) =
∂u ∂ 2u
= 2 .
∂t
∂x
1 X −n 2 t inx
e
e
2π n ∈Z
Montrer que pour t > 0, u (t, ·) = f ∗ pt .
c) Supposons que f ∈ C 2 (T). Montrer qu’alors les deux formules de (1) se recoupent pour
t = 0 et que u est continue sur R+ × T. En déduire au passage que pour f ∈ C 2 (T), f ∗ pt → f
uniformément lorsque t → 0.
d) Supposons encore f ∈ C 2 (T) et aussi que f > 0. Par l’absurde, supposons qu’il existe
t 0 > 0 et x 0 ∈ T tels que u (t 0 ,x 0 ) < 0. Pour β < 0, considérons alors v = e β t u. Montrer que v
admet un minimum relativement à [0,t 0 ] × T atteint un point (t 1 ,x 1 ) ∈ ]0,t 0 ] × T. Aboutir à une
contradiction avec les conditions nécessaires d’extremum. En déduire que u > 0.
e) En utilisant une approximation positive de l’unité sur le cercle (par exemple le noyau de
Fejér), en déduire que pour tout t > 0, on a pt > 0.
f) Montrer que kpt k1 = 1. En déduire que ku k∞ 6 k f k∞ (principe du maximum).
g) Déduire des questions précédentes que dans le cas général f ∈ C (T), on a encore
sup |u (t,x ) − f (x )| −−−→ 0 .
x ∈T
t →0
En déduire que u est continue sur R+ × T et conclure.
1/10
Exercice 2 Calculs de transformée de Fourier
Soit a > 0.
1) Calculer la transformée de Fourier de 1[−a,a] .
2) En déduire la transformée de Fourier de sinc : ξ 7→
sin ξ
.
ξ
3) En déduire la transformée de Fourier de sinc2 .
Z A
Z A
sin2 x
sin2 A
sin(2x )
dx = −
4) Montrer que pour A > 0,
+
dx .
2
x
A
x
0
0
5) Déduire de ce qui précède la valeur de l’intégrale semi-convergente
Z +∞
sin x
π
dx = .
x
2
0
Exercice 3 Formule sommatoire de Poisson
On rappelle que S (R) désigne l’ensemble des fonctions f de classe C ∞ sur R telles que
sup |x α f (β ) (x )| < ∞ .
∀α, β ∈ N,
x ∈R
Soit f ∈ S (R). Pour tout x ∈ R, on pose
X
f (x + 2nπ ) .
д(x ) =
n ∈Z
1) Montrer que д est une fonction 2π -périodique et de classe C 1 .
2) Calculer les coefficients de Fourier de д.
3) En déduire que
X
f (2nπ ) =
n ∈Z
1 X ˆ
f (n) .
2π n ∈Z
4) Pour α > 0, et toute f ∈ S (R), on définit
hΠ α , f i =
X
f (αn) .
n ∈Z
Montrer que l’on définit ainsi Π α ∈ S 0 (R).
5) Calculer la transformée de Fourier de Π α au sens des distributions tempérées.
2/10
Correction :
Exercice 1 Équation de la Chaleur sur le cercle
1) a) Comme x 7→ u (t,x ) est 2π -périodique de classe C ∞ , elle est égale à sa série de Fourier, qui
converge normalement. Ainsi, en notant
Z 2π
1
u (t,x )e −inx dx ,
c n (t ) =
2π 0
P
on a bien l’égalité désirée, et de plus |c n (t )| < ∞.
b) En dérivant sous le signe somme, on voit que c n est dérivable sur R∗+ et que
c n0 (t )
1
=
2π
Z
2π
0
∂u
(t,x )e −inx dx .
∂t
La dérivation sous le signe somme est justifiée par le fait que ∂u
∂t est continue et donc bornée sur
∗
les compacts de R+ × T ; par suite, si t ∈ [t 0 ,t 1 ], on a une constante M > 0 telle que
∀x ∈ T ,
∂u
(t,x )e −inx 6 M
∂t
ce qui donne Rbien une dominante intégrable, et permet d’appliquer le théorème de dérivation
sous le signe .
Avec l’expression trouvée pour c n0 , comme u est solution de l’équation de la chaleur, on a
c n0 (t )
1
=
2π
Z
2π
0
1
∂ 2u
(t,x )e −inx dx = (−in) 2
∂x 2
2π
Z
2π
u (t,x )e −inx dx ,
0
où la deuxième égalité s’obtient par une double intégration par parties (les termes de bord s’annulent par périodicité). Il s’ensuit que c n0 (t ) = −n2c n (t ).
c) Comme u est continue sur le compact [0, 1] × T, on peut passer à la limite quand t → 0
dans l’expresion de c n . Puisque u (0,x ) = f (x ), on en déduit
1
lim c n (t ) =
t →0
2π
Z
2π
f (x )e −inx dx = c n .
0
d) Les questions précédentes montrent que t 7→ c n (t ) est solution d’une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants, que l’on résout explicitement par
c n (t ) = c n e −n
2t
.
En réinjectant dans le développement en série de Fourier de x 7→ u (t,x ), il vient que pour t > 0,
X
2
u (t,x ) =
c n e −n t e inx .
n ∈Z
Enfin la condition initiale u (0,x ) = f (x ) est satisfaite puisque u est solution du problème par
hypothèse.
Remarque : Attention ! Dans l’égalité précédente, on ne peut pas a priori prendre t = 0.
En effet, comme f n’est supposée que continue, on ne sait pas qu’elle est somme de sa série de
P
Fourier. En fait, on ne sait même pas que la série c n e inx converge, et donc on n’essaye pas
3/10
P
d’écrire u (0,x ) = c n e inx . Cependant, ce sera le cas si la condition initiale est suffisamment
régulière (par exemple C 2 (T) ou continue et C 1 par morceaux).
2) a) Considérons t 0 > 0, et montrons que u a des dérivées partielles continues sur [t 0 , +∞[×T.
Pour cela on procède par dérivatin sous le signe somme : pour tout α, β ∈ N,
X
2
β
∂tα ∂x u (t,x ) =
c n (−n 2 ) α (in) β e −n t e inx .
n ∈Z
Cette dérivation est justifiée par les majorations suivantes. D’abord, (c n ) étant la suite des coefficients de Fourier de f , on a |c n | 6 k f k1 . Ensuite, pour tout t 6 t 0 ,
|c n (−n2 ) α (in) β e −n t e inx | 6 |n| 2α +β e −n
2
2t
0
et le membre de droite est sommable. Cela prouve que u admet des dérivées partielles de tous
ordres sur [t 0 , +∞[×T. Ceci étant vrai pour tout t 0 on en déduit que u est C ∞ sur R∗+ × T.
b) Remarquons que pt est bien définie et continue (et même C ∞ ) sur R∗+ × T car la série
converge normalement sur [t 0 , +∞[×T pour tout t 0 > 0. Par définition, pt est définie comme
somme d’une série trigonométrique qui converge normalement ; ses coefficients de Fourier peuvent
2
donc se lire sur cette somme, à savoir c n (pt ) = e −n t . De même x 7→ u (t,x ) est définie par une
somme trigonométrique dont on a montré en 2a qu’elle convergeait normalement. Ainsi on voit
que
2
∀n ∈ Z, c n (u (t, ·)) = c n e −n t = 2πc n ( f )c n (pt ) = c n ( f ∗ pt ) .
Ainsi, u (t, )˙ et f ∗ pt sont deux fonctions continues qui ont les mêmes coefficients de Fourier,
donc elles sont égales en tout point.
c) Lorsque f ∈ C 2 (T), f est somme de sa série de Fourier avec convergence normale
X
X
f (x ) =
c n e inx avec
|c n | < ∞ .
n ∈Z
P
On peut donc passer à la limite sous le signe quand t → 0 dans (1). Ceci donne que les deux
formules de (1) se recoupent. De plus, la série
X
2
c n e −n t e inx
n ∈Z
converge normalement sur R+ × T, donc y définit une fonction continue.
En particulier, on obtient (par continuité uniforme sur les compacts) que quand t → 0,
u (t, ·) → f uniformément sur T, ce qui revient à dire que f ∗ pt → f uniformément.
d) Comme v est continue sur le compact [0,t 0 ] × T, elle y admet un minimum atteint en un
point (t 1 ,x 1 ). De plus
v (t 1 ,x 1 ) 6 v (t 0 ,x 0 ) = e β t0 u (t 0 ,x 0 ) < 0 .
Comme f 6 0, on a donc nécessairement t 1 > 0. Que l’on ait t 1 < t 0 ou t 1 = t 0 , les conditions
nécessaires d’extremum donnent
∂v
(t 1 ,x 1 ) 6 0 ,
∂t
∂v
=0,
∂x
et
∂ 2v
>0.
∂x 2
Mais alors
∂
∂v
∂u
(t,x ) = (e β t u (t,x )) = βe β t u (t,x ) + e β t (t,x )
∂t
∂t
∂t
2u
∂
∂ 2v
= βe β t u (t,x ) + e β t 2 (t,x ) = βv (t,x ) + 2 (t,x ) .
∂x
∂x
4/10
Si l’on prend (t,x ) = (t 1 ,x 1 ) dans cette égalité, on obtient que le membre de gauche est négatif
alors que le membre de droite est > 0 (on a pris β < 0), ce qui donne une contradiction.
On a ainsi montré que si f > 0, alors on a u (t,x ) > 0 pour tout (t,x ) ∈ R∗+ × T.
e) Considérons le noyau de Fejér (Fn ), et fixons n > 1. On considère l’équation de la chaleur
avec condition initiale f = Fn . Comme f est C 2 , on a montré dans ce qui précède que cette EDP
admet une unique solution donnée par
u (t,x ) = Fn ∗ pt (x ) .
De plus avec la question précédente, le fait que Fn > 0 donne que la solution correspondante u
est > 0. Autrement dit, on obtient que
∀t > 0,
F n ∗ pt > 0 .
Maintenant, fixons t > 0. Comme (Fn ) est une approximation de l’unité et comme pt est
continue, Fn ∗ pt −→ pt uniformément sur R. En passant à la limite, on obtient donc pt > 0.
f) Comme pt > 0, on a
Z
2π
kpt k1 =
pt (x )dx .
0
Comme pt est définie comme une somme de série trigonométrique absolument convergente, on
lit directement ses coefficients de Fourier sur sa définition. Ainsi, pour tout n entier,
c n (pt ) =
1 −n 2 t
e
.
2π
En particulier,
1
2π
Z
2π
pt (x )dx = c 0 (pt ) =
0
1
.
2π
Il en résulte que kpt k1 = 1.
L’inégalité triangulaire pour les intégrales donne alors que
k f ∗ pt k∞ 6 k f k∞ kpt k1 = k f k∞
ce qui donne ku k∞ 6 k f k∞ .
g) On a vu que u (t, ·) = f ∗ pt . Dans la questeion 2c, on a vu que si f ∈ C 2 (T), alors
f ∗ pt −→ f
uniformément sur R.
Maintenant, soit f ∈ C (T) quelconque. Fixons ε > 0. Comme les polynômes trigonométriques sont denses dans C (T) (grâce au théorème de Fejér), il existe une fonction д ∈ C 2 (T)
telle que k f − дk∞ 6 ε. Alors
k f ∗ pt − f k∞ 6 k( f − д) ∗ pt k∞ + kд ∗ pt − дk∞ + kд − f k∞ 6 kд ∗ pt − дk∞ + 2ε .
Comme д ∈ C 2 (T), on en déduit f ∗ pt → f uniformément.
Pour finir, montrons que u est continue sur R+ × T. Soient (tn ,x n ) qui converge vers (t,x )
dans R+ × T. Comme u est C ∞ sur R∗+ × T, il suffit de traiter le cas t = 0. Alors
|u (tn ,x n ) − u (0,x )| 6 |u (tn ,x n ) − u (0,x n )| + |u (0,x n ) − u (0,x )| 6 k f ∗ pt − f k∞ + | f (x n ) − f (x )| .
Avec ce qui précède, et comme f est continue sur T, on en déduit que u (tn ,x n ) converge vers
u (t,x ). Ceci prouve que u est continue sur R+ × T.
Finalement, on a construit une fonction u C ∞ sur R∗+ × T, continue sur R+ × T et qui vérifie
l’équation de la chaleur avec condition initiale f .
5/10
Exercice 2 Calculs de transformée de Fourier
1) La fonction 1[−a,a] est bien intégrable sur R, donc on peut calculer sa transformée de Fourier
par la formule intégrale : pour tout ξ ∈ R,
Z
Z a
−i ξ x
F
1[−a,a] (ξ ) =
1[−a,a]e
dx =
e −i ξ x dx ,
−a
R
qui vaut 2a lorsque ξ = 0, et qui, lorsque ξ , 0, vaut
"
e −i ξ x
−iξ
# x =a
x =−a
=
sin(ξa)
e i ξ a − e −i ξ a
=2
.
iξ
ξ
(Remarquez que 1F
[−a,a] est bien continue en zéro).
2) En prenant a = 1 dans le calcul précédent, on voit que sinc est la transformée de Fourier de
1
l’inversion de Fourier pour en déduire la transformée de Fourier de sinc.
2 1[−1,1] . On va appliquer
R sin ξ
Attention, puisque R | ξ | = ∞, la fonction sinc n’est pas intégrable sur R. Cependant, sinc est
une fonction L2 (R) car c’est la transformée de Fourier d’une fonction L2 (R). Or sur L2 (R) la
transformée de Fourier F est un isomorphisme de réciproque 2π1 F̌ (en notant fˇ (x ) = f (−x )).
Puisque 1[−1,1] est paire, on en déduit que
1 M
1
1[−1,1] =
sinc
2
2π
c’est-à-dire que
M = π 1[−1,1] .
sinc
3) On notera que cette fois sinc2 est bien une fonction intégrable sur R. Admettons provisoirement
(cf. la remarque suivant cet exercice) que l’on a pour f ,д ∈ L2 (R),
1 ˆ
L
fд =
f ∗ д̂ ,
2π
les deux membres étant bien définis (et sont des fonctions continues bornées). En appliquant cela
à f = д = sinc, on en déduit
E2 = π 1
sinc
[−1,1] ∗ 1[−1,1]
2
De plus, par le calcul, on obtient l’autoconvolée de 1[1,1] :
∀x ∈ R, 1[−1,1] ∗ 1[−1,1] (x ) = λ [−1, 1] ∩ [x − 1,x + 1] ,
où λ est la mesure de Lebesgue sur R. Autrement dit, 1[−1,1] ∗ 1[−1,1] est une fonction continue
sur R, de support [−2, 2], valant 2 en zéro, et est affine sur [−2, 0] et sur [0, 2].
Remarque à propos de l’extension des formules à L2 (RN ) :
Dans l’exercice précédent, on a utilisé les formules suivantes
ˇ L2 , fˆˆ = (2π ) N fˇ , L
h fˆ,дiL2 = hf , д̂i
fд =
1 ˆ
f ∗ д̂
(2π ) N
valables sur L2 (RN ). Ces formules se montrent d’abord sur une classe de fonctions plus restreintes, puis en raisonnant par densité.
6/10
Montrons d’abord la première formule. Soient d’abord f ,д ∈ L1 ∩ L2 . On a
Z
Z Z
ˆ
ˆ
h f ,дiL2 =
f (x )д(x )dx =
f (y)e −ixy д(x )dydx .
R
R
R
Puisque
Z Z
R
| f (y)||д(x )|dxdy = k f k1 kдk1 < ∞ ,
R
on peut appliquer le théorème de Fubini qui donne
h fˆ,дiL2 =
Z
f (y)
R
Z
д(x )e iyx dxdy =
Z
R
ˇ L2 .
f (y)д̂(−y)dy = hf , д̂i
R
D’où la formule désirée pour L1 ∩ L2 . De plus, comme L1 ∩ L2 est dense dans L2 , et comme les
deux membres sont des fonctions continues sur L2 × L2 , on en déduit que l’égalité reste vraie
pour f ,д ∈ L2 . Au passage, remarquons que ˆ et ˇ commutent, c’est-à-dire que
ˇ
fˆˇ = fˆ .
Montrons maintenant la deuxième formule. On part de la formule de Parseval
∀f ∈ L2 (RN ),
k fˆ k22 = (2π ) N k f k22
qui a permis d’étendre la transformée de Fourier de L1 ∩L2 à tout L2 et qui est donc valable sur L2 .
En utilisant une identité de polarisation, on peut retrouver le produit scalaire à partir de la norme.
On en déduit que
∀f ,д ∈ L2 (RN ), h fˆ, д̂iL2 = (2π ) N hf ,дiL2 .
En utilisant la première formule, il vient
∀f ,д ∈ L2 (RN ),
ˇˆ
h fˆ,дiL2 = (2π ) N hf ,дiL2 ,
ˇˆ
d’où l’on tire que fˆ = (2π ) N f ce qui est bien l’identité voulue. Il est bon de retenir cette preuve
instructive : elle a permis de retrouver l’inversion de Fourier sur L2 à partir de la formule de
Plancherel qui exprime que la transformée de Fourier est une isométrie à constante près. (C’est
la même preuve que pour montrer qu’une isométrie linéaire sur Rd est inversible et que son
inverse est égal à son adjoint).
On termine en montrant la troisième formule. En cours, vous avez vu que pour f ,д ∈ L1 ,
E
f ∗ д = fˆд̂ .
(c’est une simple application du théorème de Fubini). Par suite, si f ,д ∈ L2 sont telles que
fˆ, д̂ ∈ L1 , on a
ˆ
E
f̂ ∗ д̂ = fˆд̂ˆ = (2π ) 2N fˇд̌ ,
et donc par inversion de la transformée de Fourier L2 ,
1
2N ˇ
F̌
(2π
)
f
д̌
= (2π ) N L
fд ,
fˆ ∗ д̂ =
(2π ) N
ce qui prouve la troisième formule dans le cas où f ,д ∈ L2 sont des fontions telles que fˆ, д̂ ∈ L1 .
Comme la transformée de Fourier est une isométrie à constante près, F −1 (L1 ∩ L2 ) est dense
dans L2 et donc on va pouvoir prolonger cette identité à L2 . Pour cela, il faut montrer que les
7/10
deux membres définissent des fonctions continus de ( f ,д) ∈ L2 × L2 à valeurs dans L∞ . Cela
découle de l’inégalité de Cauchy-Schwarz et des propriétés de la transformée de Fourier sur L1
et sur L2 :
k fˆ ∗ д̂k∞ 6 k fˆ k2 kд̂k2 = (2π ) 2N k f k2 kдk2
et
kL
f дk∞ 6 k f дk1 6 k f k2 kдk2 .
Ainsi, on obtient que la troisième formule est valable pour f ,д ∈ L2 .
Au passage, remarquons que f д ∈ L1 et donc L
f д est une fonction continue qui tend vers zéro à
l’infini. Mais rappelons que l’on peut démontrer directement que si f ,д ∈ L2R, alors f ∗д ∈ C0 (RN ).
En effet, lorsque f ,д ∈ Cc (RN ), cela découle de la continuité sous le signe . De plus on vient de
voir que ( f ,д) 7→ f ∗ д est continue de L2 × L2 dans L∞ . Or Cc (RN ) est dense dans L2 (RN ). Par
suite, si f ,д ∈ L2 et si fn ∈ Cc (RN ) et дn ∈ Cc (RN ) tendent respectivement vers f et д dans L2 ,
alors fn ∗ дn est une fonction continue à support compact qui converge uniformément sur RN
vers f ∗ д. Comme C0 (RN ) est fermé dans L∞ (RN ), on en déduit que f ∗ д ∈ C0 (RN ).
Revenons aussi pour finir sur la formule
E
f ∗ д = fˆд̂ .
Vous avez vu en cours qu’elle était valable pour f ,д ∈ L1 (RN ). Mais peut-elle s’étendre en un
certain sens à L2 (RN ) ? Ceci n’est pas tout à fait évident car, lorsque f ,д ∈ L2 , alors f ∗ д ∈ C0 (R)
mais f ∗д n’est pas forcément intégrable ni de carré intégrable. Ainsi, le membre de gauche n’est
pas défini a priori. En fait, cette formule sera toujours valable dans le cadre de la transformée
de Fourier des distributions tempérées S 0 (RN ) (une fonction C0 (R) étant une distribution tempérée, on peut considérer sa transformée de Fourier en ce sens). La morale à retenir est que les
formules s’étendent bien à partir du moment où on parvient à leur donner un sens.
4) Une intégration par parties donne que pour ε > 0,
"
#A Z A
Z A
Z A
sin2 x
sin2 x
sin2 ε sin2 A
2 sin x cos x
sin(2x )
dx
=
−
+
dx
=
−
+
dx ,
2
x
x
x
ε
A
x
ε
ε
ε
ε
d’où le résultat en faisant ε → 0.
M = π 1[−1,1] au sens de la transformée de Fourier sur L2 . Par
5) On a vu dans la question 2 que sinc
conséquent, la formule de Plancherel donne
Z
Z
Z 1
sin2 x
1
1
2
M )| dξ =
dx =
π 2dξ = π ,
| sinc(ξ
2
x
2π
2π
R
−1
R
et comme l’intégrande est pair, il vient
Z
+∞
0
π
sin2 x
dx = .
x2
2
En reprenant le calcul de la question précédente, il vient
Z A
sin(2x )
π
lim
dx = .
A→+∞ 0
x
2
Enfin, en remarquant que
A
Z 2A
sin y
sin(2x )
dx =
dy ,
x
y
0
0
on obtient la convergence et la valeur de l’intégrale semi-convergente
Z +∞
sin x
π
dx = .
x
2
0
Z
8/10
Exercice 3 Formule sommatoire de Poisson
1) Comme f ∈ S (R), la série définissant д(x ) converge uniformément sur les compacts. En effet,
en notant M = sup(1 + x 2 )| f (x )| < ∞, on a
∀|n| > N , ∀|x | 6 N π ,
| f (x + 2nπ )| 6
1
1
6
,
1 + (x + 2nπ ) 2
1 + (2|n|π − N π ) 2
avec
X
|n |>N
1
<∞
1 + (2|n|π − N π ) 2
car le terme général est équivalent à (2|n1|π ) 2 lorsque |n| → ∞. Cela prouve qu’on a convergence
normale sur [−N π , N π ] pour tout N > 1, et donc qu’on a convergence uniforme sur les compacts.
On montre immédiatement que д(x + 2π ) = д(x ) par un changement d’indice dans la somme.
De plus, comme f 0 ∈ S (R), la série
X
f 0 (x + 2nπ )
P
converge elle aussi uniformément sur les compacts. Par le théorème de dérivation sous le signe ,
on en déduit que д est de classe C 1 avec
X
д 0 (x ) =
f 0 (x + 2nπ ) .
2) Soit n ∈ Z. Le n-ième coefficient de Fourier s’écrit
Z 2π
dx
c n (д) =
д(x )e −inx
2π
0
Z 2π X
dx
=
f (x + 2pπ )e −inx
2π
0
p ∈Z
Z
1 X 2π
=
f (x + 2pπ )e −inx dx
2π p ∈Z 0
Z
1 X 2(p+1)π
=
f (y)e −iny dy
2π p ∈Z 2pπ
Z
1 ˆ
1
f (y)e −iny dy =
=
f (n) ,
2π R
2π
P R
où l’interversion - est justifiée par le théorème de Fubini, étant donné que
Z
X Z 2π
| f (x + 2pπ )|dx =
| f (y)|dy < ∞ .
p ∈Z
0
R
3) Puisque д est de classe C 1 et 2π -périodique, sa série de Fourier converge normalement et est
égale à д partout, c’est-à-dire que pour tout x ∈ R, on a
X
1 X ˆ
д(x ) =
c n (д)e inx =
f (n)e inx .
2π
n ∈Z
n ∈Z
En prenant x = 0, on en déduit que
X
n ∈Z
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f (2nπ ) =
1 X ˆ
f (n) .
2π n ∈Z
4) Soit f ∈ S (R). On a
X
1
+ sup (1 + x 2 )| f (x )| ,
| f (αn)| 6 *
2
1
+
(αn)
n ∈Z
,n ∈Z
- x ∈R
X
où la série entre parenthèses converge. Cela prouve d’une part que la série définissant hΠ α , f i
converge, et de plus donne l’existence d’une constante c α > 0 telle que
∀f ∈ S (R),
Comme f 7→
P
|hΠ α , f i| 6 c α sup (1 + x 2 )| f (x )| .
x ∈R
f (αn) est bien linéaire, on en déduit que Πα est une distribution tempérée.
5) L’égalité de la question 3 donne que pour f ∈ S (R),
hΠ 2π , f i =
1
hΠ 1 , fˆi .
2π
Par conséquent, pour toute f ∈ S (R),
D1 , f i = hΠ 1 , fˆi = 2π hΠ2π , f i ,
hΠ
D1 = 2π Π2π au sens des distributions tempérées.
ce qui donne que Π
Aussi, comme Π 1 est une distribution paire, on obtient par inversion de Fourier sur les distributions tempérées que
D
D2π = 1 Π
D1 = Π 1 .
Π
2π
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