TD6

Analyse fonctionnelle A. Leclaire
ENS Cachan M1 Hadamard 2016-2017
TD6
Exercice 1 Équation de la Chaleur sur le cercle
Fixons une condition initiale f∈C(T)et cherchons u:R+×T→Ccontinue sur R+×T, de
classe C∞sur R∗
+×Tet vériant
∂u
∂t(t,x)=
∂2u
∂x2(t,x)∀(t,x)∈R∗
+×T
u(0,x)=f(x)∀x∈T
1) (Unicité) Soit u:R+×T→Cune solution.
a) On xe t>0. Montrer qu’il existe des coecients (cn(t))n∈Ztels que
∀x∈T,u(t,x)=X
n∈Z
cn(t)einx ,
où la série converge absolument.
b) Montrer que t7→ cn(t)est dérivable sur R∗
+et que ∀t>0,c0 n(t)=−n2cn(t).
c) Montrer que lim
t→0cn(t)=cnoù cnest le n-ième coecient de Fourier de f.
d) En déduire que l’on a nécessairement pour tous t>0 et x∈T,
u(0,x)=f(x)et u(t,x)=X
n∈Z
cne−n2teinx .(1)
2) (Existence) Dénissons upar les formules (1).
a) Montrer que sur R∗
+×T,uest de classe C∞et vérie ∂u
∂t=
∂2u
∂x2.
b) Pour t>0, posons
pt(x)=1
2πX
n∈Z
e−n2teinx
Montrer que pour t>0, u(t,·)=f∗pt.
c) Supposons que f∈C2(T). Montrer qu’alors les deux formules de (1) se recoupent pour
t=0 et que uest continue sur R+×T. En déduire au passage que pour f∈C2(T),f∗pt→f
uniformément lorsque t→0.
d) Supposons encore f∈C2(T)et aussi que f>0. Par l’absurde, supposons qu’il existe
t0>0 et x0∈Ttels que u(t0,x0)<0. Pour β<0, considérons alors v=eβtu. Montrer que v
admet un minimum relativement à [0,t0]×Tatteint un point (t1,x1)∈]0,t0]×T. Aboutir à une
contradiction avec les conditions nécessaires d’extremum. En déduire que u>0.
e) En utilisant une approximation positive de l’unité sur le cercle (par exemple le noyau de
Fejér), en déduire que pour tout t>0, on a pt>0.
f) Montrer que kptk1=1. En déduire que kuk∞6kfk∞(principe du maximum).
g) Déduire des questions précédentes que dans le cas général f∈C(T), on a encore
sup
x∈T
|u(t,x)−f(x)| −−−→
t→00.
En déduire que uest continue sur R+×Tet conclure.
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Exercice 2 Calculs de transformée de Fourier
Soit a>0.
1) Calculer la transformée de Fourier de 1[−a,a].
2) En déduire la transformée de Fourier de sinc : ξ7→ sin ξ
ξ.
3) En déduire la transformée de Fourier de sinc2.
4) Montrer que pour A>0, ZA
0
sin2x
x2dx =−sin2A A+ZA
0
sin(2x)
xdx .
5) Déduire de ce qui précède la valeur de l’intégrale semi-convergente
Z+∞
0
sin x
xdx =π 2.
Exercice 3 Formule sommatoire de Poisson
On rappelle que S(R)désigne l’ensemble des fonctions fde classe C∞sur Rtelles que
∀α,β∈N,sup
x∈R
|xαf(β)(x)|<∞.
Soit f∈S(R). Pour tout x∈R, on pose
д(x)=X
n∈Z
f(x+2nπ).
1) Montrer que дest une fonction 2π-périodique et de classe C1.
2) Calculer les coecients de Fourier de д.
3) En déduire que
X
n∈Z
f(2nπ)=1
2πX
n∈Z
ˆ
f(n).
4) Pour α>0, et toute f∈S(R), on dénit
hΠα,fi=X
n∈Z
f(αn).
Montrer que l’on dénit ainsi Πα∈S0(R).
5) Calculer la transformée de Fourier de Παau sens des distributions tempérées.
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Correction :
Exercice 1 Équation de la Chaleur sur le cercle
1) a) Comme x7→ u(t,x)est 2π-périodique de classe C∞, elle est égale à sa série de Fourier, qui
converge normalement. Ainsi, en notant
cn(t)=1
2πZ2π
0
u(t,x)e−inxdx ,
on a bien l’égalité désirée, et de plus P|cn(t)|<∞.
b) En dérivant sous le signe somme, on voit que cnest dérivable sur R∗
+et que
c0
n(t)=1
2πZ2π
0
∂u
∂t(t,x)e−inx dx .
La dérivation sous le signe somme est justiée par le fait que ∂u
∂test continue et donc bornée sur
les compacts de R∗
+×T; par suite, si t∈[t0,t1], on a une constante M>0 telle que
∀x∈T,
∂u
∂t(t,x)e−inx 6M
ce qui donne bien une dominante intégrable, et permet d’appliquer le théorème de dérivation
sous le signe R.
Avec l’expression trouvée pour c0
n, comme uest solution de l’équation de la chaleur, on a
c0
n(t)=1
2πZ2π
0
∂2u
∂x2(t,x)e−inxdx =(−in)21 2πZ2π
0
u(t,x)e−inxdx ,
où la deuxième égalité s’obtient par une double intégration par parties (les termes de bord s’an-
nulent par périodicité). Il s’ensuit que c0
n(t)=−n2cn(t).
c) Comme uest continue sur le compact [0,1] ×T, on peut passer à la limite quand t→0
dans l’expresion de cn. Puisque u(0,x)=f(x), on en déduit
lim
t→0cn(t)=1
2πZ2π
0
f(x)e−inxdx =cn.
d) Les questions précédentes montrent que t7→ cn(t)est solution d’une équation diéren-
tielle du premier ordre à coecients constants, que l’on résout explicitement par
cn(t)=cne−n2t.
En réinjectant dans le développement en série de Fourier de x7→ u(t,x), il vient que pour t>0,
u(t,x)=X
n∈Z
cne−n2teinx .
Enn la condition initiale u(0,x)=f(x)est satisfaite puisque uest solution du problème par
hypothèse.
Remarque : Attention ! Dans l’égalité précédente, on ne peut pas a priori prendre t=0.
En eet, comme fn’est supposée que continue, on ne sait pas qu’elle est somme de sa série de
Fourier. En fait, on ne sait même pas que la série Pcneinx converge, et donc on n’essaye pas
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d’écrire u(0,x)=Pcneinx .Cependant, ce sera le cas si la condition initiale est susamment
régulière (par exemple C2(T)ou continue et C1par morceaux).
2) a) Considérons t0>0, et montrons que ua des dérivées partielles continues sur [t0,+∞[×T.
Pour cela on procède par dérivatin sous le signe somme : pour tout α,β∈N,
∂α
t∂β
xu(t,x)=X
n∈Z
cn(−n2)α(in)βe−n2teinx .
Cette dérivation est justiée par les majorations suivantes. D’abord, (cn)étant la suite des coef-
cients de Fourier de f, on a |cn|6kfk1. Ensuite, pour tout t6t0,
|cn(−n2)α(in)βe−n2teinx |6|n|2α+βe−n2t0
et le membre de droite est sommable. Cela prouve que uadmet des dérivées partielles de tous
ordres sur [t0,+∞[×T. Ceci étant vrai pour tout t0on en déduit que uest C∞sur R∗
+×T.
b) Remarquons que ptest bien dénie et continue (et même C∞) sur R∗
+×Tcar la série
converge normalement sur [t0,+∞[×Tpour tout t0>0. Par dénition, ptest dénie comme
somme d’une série trigonométrique qui converge normalement ; ses coecients de Fourier peuvent
donc se lire sur cette somme, à savoir cn(pt)=e−n2t. De même x7→ u(t,x)est dénie par une
somme trigonométrique dont on a montré en 2a qu’elle convergeait normalement. Ainsi on voit
que
∀n∈Z,cn(u(t,·)) =cne−n2t=2πcn(f)cn(pt)=cn(f∗pt).
Ainsi, u(t,˙ )et f∗ptsont deux fonctions continues qui ont les mêmes coecients de Fourier,
donc elles sont égales en tout point.
c) Lorsque f∈C2(T),fest somme de sa série de Fourier avec convergence normale
f(x)=X
n∈Z
cneinx avec X|cn|<∞.
On peut donc passer à la limite sous le signe Pquand t→0 dans (1). Ceci donne que les deux
formules de (1) se recoupent. De plus, la série
X
n∈Z
cne−n2teinx
converge normalement sur R+×T, donc y dénit une fonction continue.
En particulier, on obtient (par continuité uniforme sur les compacts) que quand t→0,
u(t,·)→funiformément sur T, ce qui revient à dire que f∗pt→funiformément.
d) Comme vest continue sur le compact [0,t0]×T, elle y admet un minimum atteint en un
point (t1,x1). De plus
v(t1,x1)6v(t0,x0)=eβt0u(t0,x0)<0.
Comme f60, on a donc nécessairement t1>0. Que l’on ait t1<t0ou t1=t0, les conditions
nécessaires d’extremum donnent
∂v
∂t(t1,x1)60,∂v ∂x=0,et ∂2v ∂x2>0.
Mais alors
∂v
∂t(t,x)=
∂
∂t(eβtu(t,x)) =βeβtu(t,x)+eβt∂u ∂t(t,x)
=βeβtu(t,x)+eβt∂2u
∂x2(t,x)=βv (t,x)+
∂2v
∂x2(t,x).
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Si l’on prend (t,x)=(t1,x1)dans cette égalité, on obtient que le membre de gauche est négatif
alors que le membre de droite est >0 (on a pris β<0), ce qui donne une contradiction.
On a ainsi montré que si f>0, alors on a u(t,x)>0 pour tout (t,x)∈R∗
+×T.
e) Considérons le noyau de Fejér (Fn), et xons n>1. On considère l’équation de la chaleur
avec condition initiale f=Fn. Comme fest C2, on a montré dans ce qui précède que cette EDP
admet une unique solution donnée par
u(t,x)=Fn∗pt(x).
De plus avec la question précédente, le fait que Fn>0 donne que la solution correspondante u
est >0. Autrement dit, on obtient que
∀t>0,Fn∗pt>0.
Maintenant, xons t>0. Comme (Fn)est une approximation de l’unité et comme ptest
continue, Fn∗pt−→ ptuniformément sur R. En passant à la limite, on obtient donc pt>0.
f) Comme pt>0, on a
kptk1=Z2π
0
pt(x)dx .
Comme ptest dénie comme une somme de série trigonométrique absolument convergente, on
lit directement ses coecients de Fourier sur sa dénition. Ainsi, pour tout nentier,
cn(pt)=1
2πe−n2t.
En particulier,
1
2πZ2π
0
pt(x)dx =c0(pt)=1
2π.
Il en résulte que kptk1=1.
L’inégalité triangulaire pour les intégrales donne alors que
kf∗ptk∞6kfk∞kptk1=kfk∞
ce qui donne kuk∞6kfk∞.
g) On a vu que u(t,·)=f∗pt. Dans la questeion 2c, on a vu que si f∈C2(T), alors
f∗pt−→ f
uniformément sur R.
Maintenant, soit f∈C(T)quelconque. Fixons ε>0. Comme les polynômes trigonomé-
triques sont denses dans C(T)(grâce au théorème de Fejér), il existe une fonction д∈C2(T)
telle que kf−дk∞6ε. Alors
kf∗pt−fk∞6k(f−д)∗ptk∞+kд∗pt−дk∞+kд−fk∞6kд∗pt−дk∞+2ε.
Comme д∈C2(T), on en déduit f∗pt→funiformément.
Pour nir, montrons que uest continue sur R+×T. Soient (tn,xn)qui converge vers (t,x)
dans R+×T. Comme uest C∞sur R∗
+×T, il sut de traiter le cas t=0. Alors
|u(tn,xn)−u(0,x)|6|u(tn,xn)−u(0,xn)|+|u(0,xn)−u(0,x)|6kf∗pt−fk∞+|f(xn)−f(x)|.
Avec ce qui précède, et comme fest continue sur T, on en déduit que u(tn,xn)converge vers
u(t,x). Ceci prouve que uest continue sur R+×T.
Finalement, on a construit une fonction uC∞sur R∗
+×T, continue sur R+×Tet qui vérie
l’équation de la chaleur avec condition initiale f.
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