Probabilités – Rappels

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Probabilités – Rappels
I. Le langage des probabilités :
a) Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.
L'ensemble de toutes les issues possibles ( ou éventualités) de cette expérience est appelé
Univers. On note  ou E cet univers.
Lorsqu'on effectue une expérience aléatoire, certains faits liés à cette expérience peuvent se
produire ou non, on les appelle événements. Lorsque  est un ensemble fini, on identifie
chaque événement à une unique partie de  (un sous-ensemble de ).
Un événement élémentaire est constitué d'une seule éventualité.
b) Réunion de deux événements :
La réunion de deux événements A et B est l'événement A  B constitué des éventualités
réalisant A ou B.
c) Intersection de deux événements :
L'intersection de deux événements A et B est l'événement A  B constitué des éventualités
réalisant à la fois A et B.
d) Evénement contraire :

On donne un événement A. L'événement contraire de A, noté A
, est constitué des éventualités
de  ne réalisant pas A.
e) Evénements incompatibles ou disjoints :
Deux événements A et B sont incompatibles ou disjoints lorsque leur intersection est vide.
A  B = . A et B ne peuvent pas se réaliser simultanément.
II. Probabilités :
a) Definition d'une probabilité :
On désigne par P() l'ensemble de tous les événements liés à une expérience aléatoire sur 
On appelle probabilité toute application p : P()  [ 0 ; 1 ] possédant les propriétés suivantes :
1. P(  ) = 1
2. Si A et B sont incompatibles (A  B =  ) alors p(A  B ) = p(A) + p(B)
b) Propriétés :
 La probabilité d'un événement A est égale à la somme des probabilités des événements
élémentaires constituant A .
Pour tout événement A, le nombre p(A) est compris entre 0 et 1. 0  p(A)  1 .
 La somme de toutes les probabilités des événements liés à une expérience aléatoire sur 
n
est égale à 1.
 pi = 1
i=1
 La probabilité de l'événement impossible est nulle. p() = 0
 Pour tous événements A et B, on a
p(A  B ) = p(A) + p(B) – p(A  B)

 Probabilité de l'événement contraire : Pour tout événement A ; P(A ) = 1 – p(A)
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c) Univers équiprobable :
On dit qu'un univers est équiprobable si on peut attribuer à chaque événement élémentaire la
même probabilité (exemples : dé non truqué, choix au hasard d'une personne ou d'un objet,
tirage au hasard de cartes dans un jeu de 32 cartes, boules indiscernables au toucher... .)
 Dans le cas d'un univers équiprobable la probabilité d'un événement A est :
p(A) =
Nombre de cas favorables
Nombre de cas possibles
Le nombre de cas favorables est le nombre de tous les éléments de A.
Le nombre de cas possibles est le nombre de tous les éléments de .
III. Les variables aléatoires :
1) Définition d'une loi de probabilité :
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X , c'est donner toutes les valeurs de
P( X = x i ) = p i , pour 1  i  4.
On présente les résultats dans un tableau :
xi
–3
0
3
6
TOTAL
1
3
3
1
pi = P( X = xi )
1
8
8
8
8
Toujours vérifier que la somme des probabilités du tableau fait 1.
2) Espérance, variance, écart-type d'une variable aléatoire :
Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x1, ….,xn avec les probabilités p1, …, pn .
a) Espérance :
L'espérance mathématique de X , notée E(X), est la moyenne des valeurs xi ,
pondérées par les valeurs pi .
n
E(X) = x1 p1 + x2 p2 + … + xn pn =  xi pi
i=1
Remarque :
Dans le domaine des jeux (le terme "espérance" vient de là), E(X) est le gain moyen que
peut espérer un joueur sur un grand nombre de parties.
Cela permet de qualifier un jeu d'équitable (ou honnête) lorsque E(X) = 0 ;
lorsque E(X) > 0, le jeu est favorable au joueur
lorsque E(X) < 0, le jeu est défavorable au joueur
b) Variance :
La variance de X, notée Var(X) est la moyenne des écarts au carré entre les xi et E(X),
pondérés par les p i .
n
Var(X) = p1 ( x1 – E(X) )² + … + pn ( xn – E(X) )² =  pi ( xi – E(X) )².
i=1
Donc Var(X) = E(X – E(X))².
Formule pratique pour le calcul de Var(X) :
n
On peut montrer que
Var(X) =  pi xi² – [E(X)]².
i=1
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c) Ecart–type :
L' écart-type de X, noté (X), est la racine carrée de la variance de X .
(X) = Var(X).
Remarque :
Tout comme en statistique, variance et écart-type sont des paramètres de dispersion.
Plus qu'à leur valeur intrinsèque, il faut accorder une signification à leur comparaison, pour deux
variables aléatoires définies sur un même ensemble.
En terme de jeu, cette dispersion traduit le risque de gagner ou perdre gros.
d)Propriété ( linéarité de l'espérance) :
Soit X et Y deux variables aléatoires définies sur la même situation, et a un réel.
Alors l'espérance des nouvelles variables aléatoires X + Y et a X est donnée par :
E( X + Y) = E(X) + E(Y) et E(a X) = a E(X).
Conséquences :
Soit X une variable aléatoire, a et b deux réels.
Alors :
E( X + b ) = E(X) + b
Var(a X) = a² Var(X)
et
(a X) = a  (X)
Var(X + b) = Var(X)
et
(X + b) = (X)
IV. La loi binomiale :
1) Epreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues,
l'une appelée succès (S) , l'autre échec(E) ou (
S)
2) Loi de Bernoulli
Une loi de Bernoulli est une loi de probabilité définie sur un ensemble E = {S; 
S}
des issues d'une épreuve de Bernoulli.
On associe au succès S une probabilité p ( 0 ≤ p ≤ 1) et à l'échec 
S une probabilité 1 – p.
3) Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli est une répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et
indépendantes.
Attention, si le tirage a lieu sans remise, il ne s'agit pas d'un schéma de Bernoulli car les expériences
ne sont pas identiques et indépendantes.
4) Définition de la loi binomiale
On considère un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et
indépendantes de même paramètre p ( probabilité du succès).
On note X la variable aléatoire qui associe à cette répétition de n épreuves, le nombre de
succès.
La loi de probabilité de X est appelé loi binomiale de paramètres n et p.
Elle sera souvent notée B (n ; p).
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5) Coefficients binomiaux
On représente, à l'aide d'un arbre, un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves de
Bernoulli identiques et indépendantes.
n
Pour tout entier k, 0 ≤ k ≤ n, le nombre de chemins réalisant k succès est noté  k .
n
 k  se lit " k parmi n".
Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux.
n
n
 Pour tout entier n, n ≥1;  0  =1 et  n  =1
n  n 
 Pour tout entiers n et k, n ≥ 1 et 0 ≤ k ≤ n,  k  =  n-k 
 n   n   n+1 
 Pour tout entiers n et k, n ≥ 1 et 0 ≤ k ≤ n – 1,  k  +  k+1  =  k+1  Triangle de Pascal
5
 Pour calculer  2  avec la calculette on tape
5 puis MATH PRB 3:Combinaison puis 2 .
La calculette affiche 10.
6) Calcul d'une probabilité avec la loi binomiale :
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p .
n
Alors , pour tout entier k, 0 ≤ k ≤ n, P(X = k) =  k  pk ×(1 – p) n-k
Explication de la formule:
Un chemin de longueur n réalise:
~ k succès de probabilité p
~ n – k échecs de probabilité 1 – p
Ce qui conduit à une issue dont la probabilité est pk(1-p)n-k
n
n
Il y a  k  chemins qui réalisent k succès d'où la formule: P(X =k) =  k  pk ×(1-p) n-k
Pour calculer P(X = 12) avec X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de
paramètres 20 et 0,8 on tape :
2nde VARS A: binomFdP(
puis on tape 20,0.8,12) .
La calculette affiche 0,0221608768….
7) Espérance et variance d'une loi binomiale
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètre n et p.
 Espérance: E(X) = n × p
 Variance: V(X) = n × p × ( 1 – p )
 Ecart–type :  (X) =
V(X) = n × p × ( 1 – p )
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