Trigonométrie Xavier Hallosserie Lycée Blaise Pascal janvier 2016 Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 1 / 33 Sommaire 1. Le cercle trigonométrique 1.1 Enroulement de la droite numérique 1.2 Le radian 1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel 1.4 Valeurs remarquables 2. Mesures d’un angle orienté 2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté 2.2 Propriétés des angles orientés 3. Trigonométrie 3.1 Cosinus et sinus d’angles associés 3.2 Équations trigonométriques 3.3 Équations trigonométriques Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 2 / 33 Définition 1 C Le cercle trigonométrique C de centre O a pour rayon 1 et est orienté dans le . Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 J O + I janvier 2016 3 / 33 Définition 1 C Le cercle trigonométrique C de centre O a pour rayon 1 et est orienté dans le sens direct . Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 J O + I janvier 2016 3 / 33 Définition 1 C Le cercle trigonométrique C de centre O a pour rayon 1 et est orienté dans le sens direct (sens giratoire) . Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 J O + I janvier 2016 3 / 33 Sommaire 1. Le cercle trigonométrique 1.1 Enroulement de la droite numérique 1.2 Le radian 1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel 1.4 Valeurs remarquables 2. Mesures d’un angle orienté 2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté 2.2 Propriétés des angles orientés 3. Trigonométrie 3.1 Cosinus et sinus d’angles associés 3.2 Équations trigonométriques 3.3 Équations trigonométriques Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 4 / 33 Enroulement J O Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 • 9π 6 • 8π 6 • 7π 6 • 6π 6 • 5π 6 • 4π 6 • 3π 6 • 2π 6 • 1π 6 • I + 0π 6 janvier 2016 5 / 33 Enroulement CJ -K O x •M I - 2π - 3π 2 -−π 2 -π + – - −π CJ - π 2 -K - − 3π 2 O x •M I - −2π Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 6 / 33 Propriété 1 Si M est un point du cercle trigonométrique sur lequel s’enroule un réel x alors tous les réels de la forme , où k est un entier relatif, s’enroulent sur le même point M. Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 7 / 33 Propriété 1 Si M est un point du cercle trigonométrique sur lequel s’enroule un réel x alors tous les réels de la forme x + k × 2π , où k est un entier relatif, s’enroulent sur le même point M. Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 7 / 33 Sommaire 1. Le cercle trigonométrique 1.1 Enroulement de la droite numérique 1.2 Le radian 1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel 1.4 Valeurs remarquables 2. Mesures d’un angle orienté 2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté 2.2 Propriétés des angles orientés 3. Trigonométrie 3.1 Cosinus et sinus d’angles associés 3.2 Équations trigonométriques 3.3 Équations trigonométriques Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 8 / 33 Définition 2 Le radian est la mesure de l’angle au centre qui . intercepte sur le cercle C + J C 1 rad O Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 I janvier 2016 9 / 33 Définition 2 Le radian est la mesure de l’angle au centre qui intercepte sur le cercle C un arc de longueur 1 . + J C 1 rad O Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 I janvier 2016 9 / 33 Définition 2 Le radian est la mesure de l’angle au centre qui intercepte sur le cercle C un arc de longueur 1 . + J C 1 rad O I Remarques : Les mesures en degrés et en radian d’un angle sont Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 . janvier 2016 9 / 33 Définition 2 Le radian est la mesure de l’angle au centre qui intercepte sur le cercle C un arc de longueur 1 . + J C 1 rad O I Remarques : Les mesures en degrés et en radian d’un angle sont proportionnelles . Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 9 / 33 Définition 2 Le radian est la mesure de l’angle au centre qui intercepte sur le cercle C un arc de longueur 1 . + J C 1 rad O I Remarques : Les mesures en degrés et en radian d’un angle sont proportionnelles . 1 rad Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 9 / 33 Définition 2 Le radian est la mesure de l’angle au centre qui intercepte sur le cercle C un arc de longueur 1 . + J C 1 rad O I Remarques : Les mesures en degrés et en radian d’un angle sont proportionnelles . 1 rad = 180 degrés π Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 9 / 33 Définition 2 Le radian est la mesure de l’angle au centre qui intercepte sur le cercle C un arc de longueur 1 . + J C 1 rad O I Remarques : Les mesures en degrés et en radian d’un angle sont proportionnelles . 1 rad = 180 degrés π Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) ≈ 57o 3 Chapitre 8 janvier 2016 9 / 33 Sommaire 1. Le cercle trigonométrique 1.1 Enroulement de la droite numérique 1.2 Le radian 1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel 1.4 Valeurs remarquables 2. Mesures d’un angle orienté 2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté 2.2 Propriétés des angles orientés 3. Trigonométrie 3.1 Cosinus et sinus d’angles associés 3.2 Équations trigonométriques 3.3 Équations trigonométriques Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 10 / 33 Définition 3 Soit (O ; I, J) un repère orthonormé direct et C le cercle trigonométrique de centre O. M est le point de C où s’enroule le réel x. Les coordonnées de M dans le repère (O ; I, J) sont : C J M sin x x cos x I O cos x = 0.81915 sin x = 0.57358 Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 11 / 33 Définition 3 Soit (O ; I, J) un repère orthonormé direct et C le cercle trigonométrique de centre O. M est le point de C où s’enroule le réel x. Les coordonnées de M dans le repère (O ; I, J) sont : (cos x ; C J M sin x sin x) x cos x I O cos x = 0.81915 sin x = 0.57358 Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 11 / 33 Propriété 2 Pour tout réel x : −1 6 cos x 6 1 Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 12 / 33 Propriété 2 Pour tout réel x : −1 6 cos x 6 1 −1 6 sin x 6 1 Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 12 / 33 Propriété 2 Pour tout réel x : −1 6 cos x 6 1 −1 6 sin x 6 1 cos (x + k2π) = cos x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 12 / 33 Propriété 2 Pour tout réel x : −1 6 cos x 6 1 −1 6 sin x 6 1 cos (x + k2π) = cos x sin (x + k2π) = sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 12 / 33 Propriété 2 Pour tout réel x : −1 6 cos x 6 1 −1 6 sin x 6 1 cos (x + k2π) = cos x sin (x + k2π) = sin x cos2 x + sin2 x = 1 Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 12 / 33 Sommaire 1. Le cercle trigonométrique 1.1 Enroulement de la droite numérique 1.2 Le radian 1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel 1.4 Valeurs remarquables 2. Mesures d’un angle orienté 2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté 2.2 Propriétés des angles orientés 3. Trigonométrie 3.1 Cosinus et sinus d’angles associés 3.2 Équations trigonométriques 3.3 Équations trigonométriques Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 13 / 33 Valeurs remarquables x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 cos x sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 14 / 33 Valeurs remarquables π 2 π 3 π 4 π 6 0 x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 cos x sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 14 / 33 Valeurs remarquables π 2 π 3 π 4 π 6 1 2 x 0 π 6 0 π 4 π 3 π 2 cos x sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 14 / 33 Valeurs remarquables π 2 π 3 π 4 π 6 1 2 x 0 π 6 √ 2 2 π 4 0 π 3 π 2 cos x sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 14 / 33 Valeurs remarquables π 2 π 3 π 4 π 6 1 2 x 0 π 6 √ √ 2 3 2 2 π 4 0 π 3 π 2 cos x sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 14 / 33 Valeurs remarquables π 2 π 3 √ 3 2 √ 2 2 π 4 π 6 1 2 1 2 x 0 π 6 √ √ 2 3 2 2 π 4 0 π 3 π 2 cos x sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 14 / 33 Valeurs remarquables π 2 π 3 √ 3 2 √ 2 2 π 4 π 6 1 2 1 2 x cos x 0 π 6 √ √ 2 3 2 2 π 4 0 π 3 π 2 1 sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 14 / 33 Valeurs remarquables π 2 π 3 √ 3 2 √ 2 2 π 4 π 6 1 2 1 2 x cos x 0 π 6 1 √ 3 2 √ √ 2 3 2 2 π 4 0 π 3 π 2 sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 14 / 33 Valeurs remarquables π 2 π 3 √ 3 2 √ 2 2 π 4 π 6 1 2 1 2 x cos x 0 π 6 1 √ 3 2 √ √ 2 3 2 2 π 4 0 π 3 π 2 √ 2 2 sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 14 / 33 Valeurs remarquables π 2 π 3 √ 3 2 √ 2 2 π 4 π 6 1 2 1 2 x cos x 0 π 6 1 √ 3 2 √ √ 2 3 2 2 0 π 4 π 3 √ 2 2 1 2 π 2 sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 14 / 33 Valeurs remarquables π 2 π 3 √ 3 2 √ 2 2 π 4 π 6 1 2 1 2 x cos x 0 π 6 1 √ 3 2 √ √ 2 3 2 2 0 π 4 π 3 π 2 √ 2 2 1 2 0 sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 14 / 33 Valeurs remarquables π 2 π 3 √ 3 2 √ 2 2 π 4 π 6 1 2 1 2 x cos x sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) 0 π 6 1 √ 3 2 √ √ 2 3 2 2 0 π 4 π 3 π 2 √ 2 2 1 2 0 0 Chapitre 8 janvier 2016 14 / 33 Valeurs remarquables π 2 π 3 √ 3 2 √ 2 2 π 4 π 6 1 2 1 2 x cos x sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) 0 π 6 1 √ 3 2 0 1 2 √ √ 2 3 2 2 0 π 4 π 3 π 2 √ 2 2 1 2 0 Chapitre 8 janvier 2016 14 / 33 Valeurs remarquables π 2 π 3 √ 3 2 √ 2 2 π 4 π 6 1 2 1 2 x cos x sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) 0 π 6 1 0 √ √ 2 3 2 2 0 π 4 π 3 π 2 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 1 2 √ 2 2 Chapitre 8 janvier 2016 14 / 33 Valeurs remarquables π 2 π 3 √ 3 2 √ 2 2 π 4 π 6 1 2 1 2 x cos x sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) 0 π 6 1 0 √ √ 2 3 2 2 0 π 4 π 3 π 2 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 Chapitre 8 janvier 2016 14 / 33 Valeurs remarquables π 2 π 3 √ 3 2 √ 2 2 π 4 π 6 1 2 1 2 x cos x sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) 0 π 6 1 0 √ √ 2 3 2 2 0 π 4 π 3 π 2 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 Chapitre 8 janvier 2016 14 / 33 Sommaire 1. Le cercle trigonométrique 1.1 Enroulement de la droite numérique 1.2 Le radian 1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel 1.4 Valeurs remarquables 2. Mesures d’un angle orienté 2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté 2.2 Propriétés des angles orientés 3. Trigonométrie 3.1 Cosinus et sinus d’angles associés 3.2 Équations trigonométriques 3.3 Équations trigonométriques Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 15 / 33 Définition 4 Sur le cercle C , M et N sont deux points sur lesquels s’enroulent deux réels x et y. Les mesures en radian de l’angle orienté J N y−x C sont les nombres réels entier relatif. où k est un On note . Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) + M y x O Chapitre 8 I janvier 2016 16 / 33 Définition 4 Sur le cercle C , M et N sont deux points sur lesquels s’enroulent deux réels x et y. Les mesures en radian de l’angle orienté −→ −→ OM; ON sont les nombres réels entier relatif. où k est un On note . Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) + J N y−x C M y x O Chapitre 8 I janvier 2016 16 / 33 Définition 4 Sur le cercle C , M et N sont deux points sur lesquels s’enroulent deux réels x et y. Les mesures en radian de l’angle orienté −→ −→ OM; ON sont les nombres réels y − x + k × 2π entier relatif. où k est un On note . Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) + J N y−x C M y x O Chapitre 8 I janvier 2016 16 / 33 Définition 4 Sur le cercle C , M et N sont deux points sur lesquels s’enroulent deux réels x et y. Les mesures en radian de l’angle orienté sont les nombres réels y − x + k × 2π entier relatif. On note −→ −→ −→ −→ OM; ON + J N y−x C M y où k est un x O I OM; ON = y − x + k × 2π . Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 16 / 33 Définition 4 Sur le cercle C , M et N sont deux points sur lesquels s’enroulent deux réels x et y. Les mesures en radian de l’angle orienté sont les nombres réels y − x + k × 2π entier relatif. On note −→ −→ −→ −→ OM; ON + J N y−x C M y où k est un x O I OM; ON = y − x + k × 2π . On peut alors définir les mesures de n’importe quel angle orienté de deux vecteurs non → → nuls u et v Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 16 / 33 Définition 5 −→ → −→ → Soient OA= u et OB= v deux vecteurs non nuls et A’ et B’ les points d’intersection des demi-droites [OA) et [OB) avec C . B Les mesures en radian de l’angle orienté → v sont les mesures en radians de + l’angle orienté . J B0 C y−x A0 y A → u x O Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 I janvier 2016 17 / 33 Définition 5 −→ → −→ → Soient OA= u et OB= v deux vecteurs non nuls et A’ et B’ les points d’intersection des demi-droites [OA) et [OB) avec C . B Les mesures en radian de l’angle orienté → → u; v → v sont les mesures en radians de + l’angle orienté . J B0 C y−x A0 y A → u x O Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 I janvier 2016 17 / 33 Définition 5 −→ → −→ → Soient OA= u et OB= v deux vecteurs non nuls et A’ et B’ les points d’intersection des demi-droites [OA) et [OB) avec C . B Les mesures en radian de l’angle orienté → → u; v → v sont les mesures en radians de l’angle orienté −→ −→ OA’; OB’ + . J B0 C y−x A0 y A → u x O Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 I janvier 2016 17 / 33 Définition 5 −→ → −→ → Soient OA= u et OB= v deux vecteurs non nuls et A’ et B’ les points d’intersection des demi-droites [OA) et [OB) avec C . B Les mesures en radian de l’angle orienté → → u; v → v sont les mesures en radians de l’angle orienté −→ −→ OA’; OB’ + . J B0 C y−x A0 y A → u x O I Remarque : On appelle comprise dans l’intervalle Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) de l’angle → → u; v l’unique mesure de cet angle . Chapitre 8 janvier 2016 17 / 33 Définition 5 −→ → −→ → Soient OA= u et OB= v deux vecteurs non nuls et A’ et B’ les points d’intersection des demi-droites [OA) et [OB) avec C . B Les mesures en radian de l’angle orienté → → u; v → v sont les mesures en radians de l’angle orienté −→ −→ OA’; OB’ + . J B0 C y−x A0 y A → u x O I Remarque : On appelle mesure principale comprise dans l’intervalle Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) de l’angle → → u; v l’unique mesure de cet angle . Chapitre 8 janvier 2016 17 / 33 Définition 5 −→ → −→ → Soient OA= u et OB= v deux vecteurs non nuls et A’ et B’ les points d’intersection des demi-droites [OA) et [OB) avec C . B Les mesures en radian de l’angle orienté → → u; v → v sont les mesures en radians de l’angle orienté −→ −→ OA’; OB’ + . J B0 C y−x A0 y A → u x O I Remarque : On appelle mesure principale de l’angle → → u; v l’unique mesure de cet angle comprise dans l’intervalle ] − π; π] . Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 17 / 33 Exercice 1 + C B D Dans le repère (O; I, J) ci-contre, OABC est un carré direct de côté 4 et OAD et OEA des triangles équilatéraux directs. Donner la mesure principale des angles orientés : −→ −→ −→ −→ −→ OE, OD , BC, BA et −→ −→ OC, OE , −→ −→ −→ −→ AB, AD , −→ OB, OA , DB, DA . ~ O A ~ı E Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 18 / 33 Sommaire 1. Le cercle trigonométrique 1.1 Enroulement de la droite numérique 1.2 Le radian 1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel 1.4 Valeurs remarquables 2. Mesures d’un angle orienté 2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté 2.2 Propriétés des angles orientés 3. Trigonométrie 3.1 Cosinus et sinus d’angles associés 3.2 Équations trigonométriques 3.3 Équations trigonométriques Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 19 / 33 Définition 6 Le cosinus (ou le sinus) d’un angle orienté est le cosinus (ou le sinus) de l’une quelconque de ses mesures exprimée en radian. Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 20 / 33 Sommaire 1. Le cercle trigonométrique 1.1 Enroulement de la droite numérique 1.2 Le radian 1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel 1.4 Valeurs remarquables 2. Mesures d’un angle orienté 2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté 2.2 Propriétés des angles orientés 3. Trigonométrie 3.1 Cosinus et sinus d’angles associés 3.2 Équations trigonométriques 3.3 Équations trigonométriques Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 21 / 33 Propriété 3 −→ −→ Soient u et v deux vecteurs non nuls. −→ −→ u et v sont colinéaires et de même sens, si et seulement si : ; −→ −→ u et v sont colinéaires et de sens contraires, si et seulement si : . Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 22 / 33 Propriété 3 −→ −→ Soient u et v deux vecteurs non nuls. −→ −→ u et v sont colinéaires et de même sens, si et seulement si : → → u; v −→ = 0 + k × 2π ; −→ u et v sont colinéaires et de sens contraires, si et seulement si : . Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 22 / 33 Propriété 3 −→ −→ Soient u et v deux vecteurs non nuls. −→ −→ u et v sont colinéaires et de même sens, si et seulement si : → → u; v −→ = 0 + k × 2π ; −→ u et v sont colinéaires et de sens contraires, si et seulement si : → → u; v = π + k × 2π . Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 22 / 33 Propriété 4 → → → Relation de Chasles Pour tous vecteurs non nuls u , v et w : . Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 23 / 33 Propriété 4 → → → Relation de Chasles Pour tous vecteurs non nuls u , v et w : → → u; v + → → v; w = → → u ; w + k × 2π . Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 23 / 33 Sommaire 1. Le cercle trigonométrique 1.1 Enroulement de la droite numérique 1.2 Le radian 1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel 1.4 Valeurs remarquables 2. Mesures d’un angle orienté 2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté 2.2 Propriétés des angles orientés 3. Trigonométrie 3.1 Cosinus et sinus d’angles associés 3.2 Équations trigonométriques 3.3 Équations trigonométriques Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 24 / 33 Sommaire 1. Le cercle trigonométrique 1.1 Enroulement de la droite numérique 1.2 Le radian 1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel 1.4 Valeurs remarquables 2. Mesures d’un angle orienté 2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté 2.2 Propriétés des angles orientés 3. Trigonométrie 3.1 Cosinus et sinus d’angles associés 3.2 Équations trigonométriques 3.3 Équations trigonométriques Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 25 / 33 Propriété 5 Pour tout réel x : x −x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 26 / 33 Propriété 5 Pour tout réel x : x −x cos (−x) = cos x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 26 / 33 Propriété 5 Pour tout réel x : x −x cos (−x) = cos x sin (−x) = − sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 26 / 33 Propriété 5 Pour tout réel x : x π−x x −x cos (−x) = cos x sin (−x) = − sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 26 / 33 Propriété 5 Pour tout réel x : x π−x x −x cos (−x) = cos x cos (π − x) = − cos x sin (−x) = − sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 26 / 33 Propriété 5 Pour tout réel x : x π−x x −x cos (−x) = cos x cos (π − x) = − cos x sin (−x) = − sin x sin (π − x) = sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 26 / 33 Propriété 5 Pour tout réel x : x π−x x −x π+x cos (−x) = cos x cos (π − x) = − cos x sin (−x) = − sin x sin (π − x) = sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) x Chapitre 8 janvier 2016 26 / 33 Propriété 5 Pour tout réel x : x π−x x −x π+x cos (−x) = cos x cos (π − x) = − cos x sin (−x) = − sin x sin (π − x) = sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) x Chapitre 8 cos (π + x) = − cos x janvier 2016 26 / 33 Propriété 5 Pour tout réel x : x π−x x −x x π+x cos (−x) = cos x cos (π − x) = − cos x cos (π + x) = − cos x sin (−x) = − sin x sin (π − x) = sin x sin (π + x) = − sin x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 26 / 33 Propriété 6 Pour tout réel x : π 2 −x x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 27 / 33 Propriété 6 Pour tout réel x : π 2 −x x cos π − x = sin x 2 Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 27 / 33 Propriété 6 Pour tout réel x : π 2 −x x π − x = sin x 2 π − x = cos x sin 2 cos Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 27 / 33 Propriété 6 Pour tout réel x : π 2 π −x 2 x +x x π − x = sin x 2 π − x = cos x sin 2 cos Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 27 / 33 Propriété 6 Pour tout réel x : π 2 π −x 2 +x x x π − x = sin x 2 π − x = cos x sin 2 cos Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) cos Chapitre 8 π + x = − sin x 2 janvier 2016 27 / 33 Propriété 6 Pour tout réel x : π 2 π −x 2 +x x x π − x = sin x 2 π − x = cos x sin 2 cos π + x = − sin x 2 π + x = cos x sin 2 Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) cos Chapitre 8 janvier 2016 27 / 33 Sommaire 1. Le cercle trigonométrique 1.1 Enroulement de la droite numérique 1.2 Le radian 1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel 1.4 Valeurs remarquables 2. Mesures d’un angle orienté 2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté 2.2 Propriétés des angles orientés 3. Trigonométrie 3.1 Cosinus et sinus d’angles associés 3.2 Équations trigonométriques 3.3 Équations trigonométriques Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 28 / 33 Propriété 7 L’équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels et où k ∈ Z. x a L’équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels et où k ∈ Z. a x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 29 / 33 Propriété 7 L’équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels x = a + k2π et où k ∈ Z. x a L’équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels et où k ∈ Z. a x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 29 / 33 Propriété 7 L’équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels x = a + k2π x = −a + k2π et où k ∈ Z. x a L’équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels et où k ∈ Z. a x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 29 / 33 Propriété 7 L’équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels x = a + k2π x = −a + k2π et où k ∈ Z. x a L’équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels x = a + k2π et où k ∈ Z. a x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 29 / 33 Propriété 7 L’équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels x = a + k2π x = −a + k2π et où k ∈ Z. x a L’équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels x = a + k2π x = π − a + k2π a et où k ∈ Z. x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 29 / 33 Sommaire 1. Le cercle trigonométrique 1.1 Enroulement de la droite numérique 1.2 Le radian 1.3 Cosinus et sinus d’un nombre réel 1.4 Valeurs remarquables 2. Mesures d’un angle orienté 2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté 2.2 Propriétés des angles orientés 3. Trigonométrie 3.1 Cosinus et sinus d’angles associés 3.2 Équations trigonométriques 3.3 Équations trigonométriques Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 30 / 33 Propriété 8 L’équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels x = a + k2π et x = −a + k2π où k ∈ Z. x a L’équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels x = a + k2π et x = π − a + k2π où k ∈ Z. a x Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 31 / 33 Exemples : π L’équation trigonométrique cos x = cos 6 π π x = + k2π et x = − + k2π où k ∈ Z. 6h 6 i a pour solutions dans R : Dans 0 ; 2π il n’y a plus que deux solutions : π π π 12π 11π x= et x = − + 2π = − + = 6 6 6 6 6 π 6 −π 6 Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 32 / 33 2π a pour solutions dans R : L’équation trigonométrique sin x = sin 3 2π 2π 6π 2π 4π x= + k2π et x = π − + k2π = − + k2π = + k2π où k ∈ Z. 3 3 3 3 3 h i Dans 0 ; 2π il n’y a plus que deux solutions : 2π 4π x= et x = 3 3 2π 3 4π 3 Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 8 janvier 2016 33 / 33