5. Fonctions trigonométriques 5.1 Cercle trigonométrique

5. Fonctions trigonométriques
5.1 Cercle trigonométrique
+
α
cos α
sin α
tan α
OI
1
MM
+
Quelques rappels géométriques :
•Lecercle trigonométrique est le cercle de centre Oet de rayon 1, orienté comme indiqué.
•Lamesureα∈[0; 2π[ (en radians) de l’angle  IOM est par définition la mesure de l’arc
de cercle 6.0ptIM
.
•SiM(x;y) est un point de ce cercle associé à un angle αalors par définition x=cosα
et y=sinα.
•Latangente tan α=sin α
cos αpeut s’interpréter comme la pente de la droite (OM), qui est
aussi la distance indiquée IMsur le dessin.
Définition. •Lafonctionqui,àα∈R, associe cos α,estlafonction cosinus.
•Lafonctionqui,àα∈R, associe sin α,estlafonction sinus.
5.2 Dérivabilité
5.2.1 Résultats préparatoires
Lemme. Pour un petit angle α>0, on a sin ααtan α.
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Preuve.On a clairement aire(OMI)aire(6.0pt24.88ptIOM )aire(OMI), ce qui se
traduit par 1.sin α
2α 2ππ.121.tan α 2.
Le résultat souhaité est obtenu par simplification évidente. ¤
Lemme. La fonction cosinus est continue en 0.
Preuve.La longueur de la corde [IM] est inférieure ou égale à la longueur de l’arc 6.0ptIM
.
Ainsi sin2α+(1−cos α)2α,soit√2−2cosαα.Onpasseaucarré:2−2cosαα2,
ce qui donne cos α1−α2
2.Finalement1−α2 2cos α1. Le théorème d’encadrement
prouve alors que cos αtend vers 1 = cos 0 lorsque αtend vers 0+.¤
Lemme. On a lim
α→0
sin α
α=1.
Preuve.Soit α>0. On sait alors que sin ααtan α=sin α
cos α, ce qui donne d’une part
sin α
α1 et d’autre part sin α αcos α. Il vient donc cos αsin α α1. Lorsque αtend vers 0+,
le théorème d’encadrement montre lim
α→0+
sin α
α= 1 car lim
α→0+cos α=1.Vuquesin(−α)
−α=sin α α,
le résultat reste vrai en 0−.¤
Remarque. Ceci prouve au passage que la fonction sinus est dérivable en 0.
Lemme. On a lim
α→0
cos α−1
α=0.
Preuve.On a vu pour α>0que1−α2
2cos α1 (forumule qui reste inchangée si α<0). Il
suit −α
2cos α−1 α0 et le théorème d’encadrement montre la limite nulle. Même méthode
avec α<0, ce qui permet d’obtenir le résultat souhaité. ¤
Remarque. Ceci prouve au passage que la fonction cosinus est dérivable en 0.
5.2.2 Dérivées du sinus et du cosinus
Théorème. La fonction sin est dérivable sur Ret sa dérivée est la fonction cos.
Preuve.Soit x∈R; on écrit le taux d’accroissement du sinus en x:sin(x+h)−sin x
h=
sin xcos h+sinhcos x−sin x
h=sinxcos h−1 h+cosxsin h h. Nos résultats précédents montrent
alors que la limite de ce taux lorsque htend vers 0 vaut sin x.0+cosx.1=cosx.¤
Théorème. La fonction cos est dérivable sur Ret sa dérivée est la fonction −sin.
Preuve.Il suffit de noter que cos x=sin
π
2−x. Le théorème de dérivation d’une fonction
composée montre que cos est dérivable et que cosx=−cos π
2−x=−sin x.¤
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Théorème. Si uest une fonction dérivable alors cos uet sin usont dérivables, avec :
(cos u)=−usin uet (sin u)=ucos u.
Preuve.C’est une application directe du théorème de dérivation d’une composée. ¤
5.3 Propriétés
5.3.1 Étude
Théorème. • La fonction sinus est impaire.
• La fonction cosinus est paire.
Preuve.Il suffit de noter que ces fonctions sont définies sur Ret vérifient sin(−x)=−sin xet
cos(−x)=cosxde par leur définition géométrique. ¤
Définition. Une fonction fdéfinie sur Rest T-périodique si f(x+T)=f(x)pourtoutx∈R.
Théorème. Les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques.
Preuve.Ceci découle de leur construction géométrique. ¤
Remarque. Initialement nous devions étudier sin et cos sur R. Leur périodicité permet de
ramener l’étude à l’intervalle (de la mesure principale) ] −π;π], puis leur parité permet de se
contenter de [0; π[. Sur cet intervalle réduit, on obtient facilement :
x0π
2π
cos x+0−
sin x0
1
0
x0π
2π
−sin x−0−
cos x10
−1
5.3.2 Courbes
Sinus
0π
2π
−π
2
−π
1
−1
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Cosinus
0π
2π
−π
2
−π
1
−1
Sinusoïde Asin(ωt +ϕ)
0π
2π
−π
2
−π
A
−A
T
Ici Aest l’amplitude,ωla pulsation (i.e. vitesse angulaire), Tla période et ϕle déphasage
(décalage temporel horizontal).
On a les relations ω=2π
T=2πf,oùfest la fréquence.
Théorème. Une fonction f(t)=Acos ωt +Bsin ωt est une sinusoïde.
Preuve.Soit C=√A2+B2.Ona:f(t)=CA
Ccos ωt +B Csin ωt.OnnotealorsqueA C2
+
B
C2
= 1 et donc il existe un angle ϕvérifiant sin ϕ=A
Cet cos ϕ=B C.Onvoitalors
apparaître la formule sommatoire du sinus : f(t)=C(sin ϕcos ωt +cosϕsin ωt) qui donne
f(t)=Csin(ωt +ϕ). ¤
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