FICHE METHODE PROBABILITES CONDITIONNELLES I) A quoi

FICHE METHODE
PROBABILITES
CONDITIONNELLES
I) A quoi servent les probabilités Conditionnelles
a) Exemples :
. On jette un dé à 8 faces numérotées de 1 à 8 et on obtient un score pair !
1
= 0,25 = 25% .
4
( cette probabilité est deux fois plus grande que celle obtenue si l ’on n’avait pas su que
le score était pair )
Quelle est la probabilité d ‘ avoir fait 2 points ?
. On choisit au hasard un élève dans un groupe composé de 8 filles dont 6 sont droitières et
12 garçons dont 10 sont droitiers !
Quelle est la probabilité d’être tombé sur un élève droitier sachant que l’élève est une fille ?
6
= 0,75 = 75%
8
Quelle est la probabilité d’être tombé sur un élève droitier sachant que l’élève est un garçon ?
10
≈ 83,3%
12
8
Quelle est la probabilité d’être tombé sur un élève droitier ?
= 0,8 = 80%
10
b) Remarques :
Le monde dans lequel nous vivons n’est pas prévisible à 100% ! On ne peut connaître le temps
qu’il fera dans un mois ! On ne peut savoir quels seront les numéros gagnants du prochain
tirage du loto !…. Cependant, on peut constater que même le hasard respecte certaines lois et
c’est l’objet de ce qui suit.
II) Qu’est ce qu’une probabilité conditionnelle ?
Définition 1 : ( PROBABILITE CONDITIONNELLE )
Soit E, un sous-ensemble non vide de l’univers U d’une expérience aléatoire.
( E est un événement ) on note E ⊂ U et E ≠ φ
Soit A un sous ensemble de U
U
La « probabilité de A sachant E » est notée pE(A) et est définie par :
pE(A) =
p(A ∩ E)
p(E)
Remarque :
On a : pE(E)= 1
A
Exemples :
. On choisit une carte au hasard avec équiprobabilité dans un jeu de 32 cartes.
( 32 cartes = 16 rouges dont 8 cœurs et 8 carreaux + 16 noires dont 8 piques et 8 trèfles )
8
32
8
p( cœur ∩ rouge )
prouge( cœur) =
=
=
p( rouge )
16 16
32
8
32
p( cœur ∩ rouge )
pcoeur (rouge) =
=
= 1
p( coeur )
8
32
. On lance le dé truqué suivant :
Score
1 2 3 4 5 6 Σ
Probabilité 0,1 0,1 0,1 0,1 0,5 0,1 1
PPAIR(2) =
P2(PAIR) =
p( 2 ∩ PAIR ) 0,1
=
≈ 33%
p( PAIR )
0,3
p( 2 ∩ PAIR ) 0,1
=
= 100 %
p( 2 )
0,1
III) Propriétés fondamentales des probabilités conditionnelles.
■ Propriété 1 : ( PROBABILITE CONDITIONNELLE SI EQUIPROBABILITE )
Soit U = { x1 ; x2 ; … xn } l’univers d’une expérience aléatoire où les xi sont les issues.
Si toutes les issues ont la même probabilité on dit qu’il y a équiprobabilité et on a :
1
1
p(x1) = p(x2) = … = p(xn ) = ( Chaque événement élémentaire a pour probabilité )
n
n
Soit E un événement non nulle de U
Soit A un événement quelconque de U
On a
pE(A) =
|A ∩ E|
|E|
=
nombre d'issues favorables à A ∩ E
.
nombre d'issues favorables à E
. On choisit une carte au hasard avec équiprobabilité dans un jeu de 32 cartes.
( 32 cartes = 16 rouges dont 8 cœurs et 8 carreaux + 16 noires dont 8 piques et 8 trèfles )
8
 cœur ∩ rouge 
prouge( cœur) =
= .
 rouge 
16
pcoeur( rouge) =
 cœur ∩ rouge 
8
= = 1.
 coeur 
8
■ Propriété 2 : ( OPERATION SUR LES EVENEMENTS )
Soit E, un sous-ensemble non vide de l’univers U.
Soit A un sous ensemble de U
On a :
1.
pE(A) = 1 – pE( A)
2.
pE(A ∪ B ) = pE(A ) + pE(B ) – pE(A ∩ B )
3. Si A ∩ B = φ alors pE(A ∪ B ) = pE(A ) + pE(B )
Exemple : On choisit une carte dans un jeu de 32 cartes avec équiprobabilité.
1. pROUGE ( 9 ) = 1 – pROUGE ( 9) = 1 –
2
14
=
.
16
16
2. p PIQUE ( ROI ∪ NOIR ) = p PIQUE ( ROI ) + p PIQUE ( NOIR ) – p PIQUE ( ROI ∩ NOIR )
1
8 1
p PIQUE ( ROI ∪ NOIR ) = + – = 1
8
8 8
3. p PIQUE ( ROI ∪ AS ) = p PIQUE ( ROI ) + p PIQUE ( AS )
1
1 2
p PIQUE ( ROI ∪ AS ) = +
=
8
8 8
■ Propriété 3 : ( EVENEMENTS COMPOSES )
Soient A et B deux sous ensembles non vides de U
On a :
1.
p(A ∩ B) = p(B) × pB(A)
2.
p(A ∩ B) = p(A) × pA(B)
Remarque : Il est commode de représenter la propriété précédente par un graphe :
P(A)
A
pA(B)
A∩B
P(B)
B
pB(A)
B∩A
(=A∩B)
Pour obtenir p( A ∩ B )on multiplie les probabilités des branches suivies.
Exemples :
1. On choisit une carte dans un jeu de 32 cartes avec équiprobabilité.
p ( cœur ∩ rouge ) = p ( Rouge ) × prouge( cœur) =
8
8 16
×
= .
16 32 32
Ou encore : p ( cœur ∩ rouge ) = p ( cœur ) × pcoeur( rouge) =
8
8 8
× =
.
32 8
32
2. On choisit au hasard avec équiprobabilité un dé parmi 3 dés équilibrés puis on
lance le dé choisit. ( le premier a 8 faces, le deuxième 6 faces et le troisième 4.
Les faces sont numérotées respectivement de 1 à 8, de 1 à 6 et de 1 à 4.
on cherche p( dé1 ∩ 5), la probabilité d’être tombé sur le dé1 puis d’avoir fait 5.
On peut représenter la situation par un arbre pondéré de probabilités.
pdé1(5) =
p1(dé1) =
1
3
dé1
1
3
1
3
dé2
dé3
dé1 ∩ 5
1
8
7
8
1
pdé2(5) =1
66
5
6
0 (5) = 0
pdé3
4
4
4
4
dé1 ∩5
dé2 ∩ 5
dé2 ∩5
dé3 ∩ 5
dé3 ∩5
Pour calculer la probabilité il suffit de multiplier les probabilités des branches suivies
1
1
et pdé1(5) = .
3
8
1
1 1
et on a de même
Donc p( dé1 ∩ 5) = p(dé1) × pdé1(5) = × =
3 8 24
1 1 1
p( dé2 ∩ 5) = p(dé2) × pdé2(5) = × =
3 6 18
1 0
p( dé3 ∩ 5) = p(dé3) × pdé3(5) = × = 0
3 4
On connaît p1(dé1) = p (dé1) =
■ Propriété 4 : ( PROBABILITE TOTALE )
Soient A et B deux sous ensembles non vides de U
Soit E un événement quelconque de U
Si A et B forment une partition de U , c’est à dire :
A ∩ B = φ et A ∪ B = U
ALORS
1. p( E ) = p ( A ∩ E) + p (B ∩ E)
2. p ( E ) = p (A) × p A(E) + p (B)× p B(E)
A
U
B
E
Exemples :
1. Dans l’exemple du jeu de 32 cartes :
(1) Rouge , Noir sont disjoints ( Rouge ∩ noir = ∅ ).
(2) Rouge ∪ Noir = Ω ( rouges et noires réunies = toutes les cartes ).
Donc Rouge, Noire forment une PARTITION de Ω.
Donc : p(Roi ) = p(Roi ∩ Noire) + p ( Roi ∩ Rouge)
Donc
p(Roi ) = p ( Noire) × p Noire (Roi) + p( Rouge )× pRouge ( Roi)
16
32
Donc p(Roi ) =
2
16
×
+
16
32
×
2
16
=
4
2
2
+
=
32
32 32
2. Pour l’exemple des dés précédents ( voir l’arbre de probabilité ci dessous )
on cherche p(5) = ? ( la probabilité d’avoir fait 5 à l’issue des deux expériences )
(1) dé1 , dé2 et dé3 sont 2 à 2 disjoints ( incompatibles ).
(2) dé1 ∪ dé2 ∪ dé3 = Ω1. ( pour l’issue de la 1ère expérience, il n’y a que ces 3 cas ! )
Donc
dé1 , dé2 et dé3 forment une PARTITION de Ω1
Donc p(5) = p( dé1 ∩ 5)
+
p( dé2 ∩ 5) +
p( dé3 ∩ 5)
ou encore
p(5) = p(dé1) × pdé1(5) + p(dé2) × pdé2(5) + p(dé3) × pdé3(5)
p(5) =
7
1
1
42
1 1 1 1 1 0
× + × + × = + + 0=
=
.
432
3 8 3 6 3 4 24 18
72
1 7 1 5 1 4 65
de même : p(5) = × + × + × =
3 8 3 6 3 4 72
( ou bien 1 –
dé1 ∩ 5
1
8
1
3
dé1
1
3
1
3
7
8
1
6
dé2
5
6
dé3
4
4
7
65
=
)
72 72
0
4
dé1 ∩5
dé2 ∩ 5
dé2 ∩5
dé3 ∩ 5
dé3 ∩5
Remarque : Il suffit de repérer dans l’arbre , les branches qui conduisent à l’obtention d’un
5 à l’issu des deux expériences et pour chacune, de multiplier les probabilités des
branches suivies puis d’additionner le tout.
III) INDEPENDANCE de DEUX EVENEMENTS
Définition 2 : ( INDEPENDANCE )
Soient A et B deux sous ensembles ( événements ) non vides de U.
Les événements A et b sont indépendants si : pA(B) = p (B)
Exemple : Dans un jeu usuel de 32 cartes. Roi, Rouge sont-ils indépendants ?
2
1
4 1
=
et p(Roi ) =
= donc pRouge(Roi) = p(Roi )
16
8
32 8
Donc Roi et Rouge sont indépendants
pRouge(Roi) =
Propriété 5 : ( INDEPENDANCE )
Soient A et B deux sous ensembles ( événements ) non vides de U.
Les événements A et B sont indépendants si au moins une des trois
conditions suivantes est vérifiée :
1. pA(B) = p (B)
2. pB(A) = p (A)
3. p(A ∩ B ) = p(A) × p(B)
Exemple : On choisit une carte au hasard avec équiprobabilité dans un jeu de 32 cartes.
Déterminons si les événements Cœur , Rouge sont indépendants ou pas.
8 16
4
8
×
=
, p ( Cœur ∩ Rouge ) =
32 32 32
32
p(cœur) × p(Rouge) ≠ p( Cœur ∩ Rouge ) ,Cœur et Rouge ne sont pas indépendants.
p(cœur) × p( Rouge ) =
Remarque : Ne pas confondre 2 événements incompatibles avec 2 événements indépendants.
( A ∩ B = ∅ pour l’un et p(A) × p(B) = p(A ∩ B) pour l’autre )