Les probabilités (1)
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Mathématiques Stage n° Les probabilités (1) En voilà un qui n’a pas étudié les probabilités … CFA du bâtiment Ermont 1 Présentation Commençons directement par la pratique, avec une expérience simple mais parlante : un tirage à pile ou face. Le tirage à pile ou face est un symbole même du hasard. Qui n’a pas tiré à pile ou face pour décider qui engage en sport ? Ou pour savoir qui débarrasse la table après manger ? Nous supposons que la pièce de monnaie avec laquelle nous jouons est non-truquée, et qu’elle ne retombe jamais sur la tranche quand on la lance. Lançons-là une fois et regardons le résultat… Quels sont les tirages possibles ? Il n’y a que 2 possibilités : soit pile, soit face. Quelles sont les probabilités de chaque tirage ? une chance sur deux pour chaque face. Rien qu’avec cette petite expérience de pensée, nous entrons dans le monde des probabilités. C'est-à-dire dans la partie des mathématiques qui étudie le hasard. Pour décrire tout ça avec un exemple, on pourrait dire que les probabilités ne permettront jamais de prévoir le tirage que vous obtiendrez en lançant un dé, mais elles permettent d’affirmer à l’avance la chance que vous avez de tirer tel ou tel résultat – calculs à l’appui. 2 Vocabulaire minimal : Comme dans toute activité humaine, il existe un vocabulaire spécialisé pour l’étude des probabilités. Ce vocabulaire est assez vaste, parfois subtil, mais pas toujours nécessaire dans son intégralité pour comprendre les cas de figures que nous allons étudier dans ce dossier. Nous allons donc définir un vocabulaire minimal, mais strictement nécessaire à la poursuite de notre étude. Expérience aléatoire : L’aléatoire, c’est ce qui est régi par le hasard. Une expérience aléatoire, c’est donc une expérience dont le résultat est régi par le hasard. Et on n’en connait donc pas le résultat à l’avance. Un tirage au sort ou un lancé de dé sont des expériences aléatoires. On peut aussi utiliser l’expression tirage aléatoire. Évènement élémentaire : Une expérience aléatoire peut donner plusieurs résultats (on dit aussi avoir plusieurs issues). Chacune de ces possibilités prise seule est un évènement élémentaire de cette expérience. Par exemple, pour un tirage au sort avec une pièce, il y a deux évènements élémentaires : « tirer pile » et « tirer face ». Si vous lancez un dé, vous avez 6 évènements élémentaires … Évènement : Tout résultat que l’on veut étudier lors d’une expérience aléatoire en est un évènement. Par exemple, si on lance un dé, on peut vouloir étudier les chances de tirer un nombre pair, ou de tirer un nombre supérieur à 4, etc. « Tirer un nombre pair » n’est pas un évènement élémentaire, mais c’est un évènement. 3 On peut également ajouter : Univers des évènements : c’est l’ensemble des évènements élémentaires d’une expérience aléatoire. Évènement impossible : tirer le nombre 7 aux dés, ou bien tirer à la fois pile et face avec une pièce, bref, un résultat qui n’a aucune chance d’arriver, et qui au passage, ne laisse plus vraiment de place au hasard … Évènement certain : tirer un nombre plus grand ou égal à 1 avec un dé, bref, un résultat certain, qui arrive forcément, et qui au passage, ne laisse plus vraiment de place au hasard … La probabilité d’un évènement : Lors d’une expérience aléatoire, un évènement a plus ou moins de chance d’arriver. La probabilité de cet évènement est un nombre qui « mesure » justement s’il a plus ou moins de chance d’arriver. Attention : les probabilités sont des nombres compris entre 0 et 1. Par exemple : Dans un tirage au sort avec une pièce, l’évènement « Tirer pile » a une probabilité de 0,5. Dans un lancé de dé, chaque face a une probabilité de 1/6. Un évènement impossible a une probabilité de 0 Un évènement certain a une probabilité de 1. Évènements équiprobables : Quand 2 évènements ou plus ont la même probabilité, on dit qu’ils sont équiprobables. Par exemple, « Tirer pile » et « Tire face » sont équiprobables. 4 Activité 1 : Voyons si nous avons bien compris tout ça, en refaisant la même chose avec autre chose qu’une pièce … On suppose désormais qu’on lance un dé, un dé classique à 6 faces. Ce dé est non-truqué. (Dans l’Antiquité, on jouait déjà aux dés) Quels sont les évènements élémentaires ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Quelle est la probabilité de tirer le nombre 1 ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Quelle est la probabilité de tirer le nombre 2 ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Les évènements élémentaires sont-ils tous équiprobables ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Sauriez-vous trouver un évènement impossible ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Sauriez-vous trouver un évènement certain ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 5 Plus sympathique maintenant … puisque nous allons en tirer une loi importante … Tirer un nombre pair est-il un évènement élémentaire ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Quelle est la probabilité de tirer un nombre pair ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Tirer un nombre multiple de 3 est-il un évènement élémentaire ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Quelle est la probabilité de tirer un nombre multiple de 3 ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Quelle est la probabilité de tirer un nombre multiple de 5 ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Tirer un nombre multiple de 5 est-il un évènement élémentaire ? (piège) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Propriété très importante : Supposons un tirage aléatoire, et deux évènements élémentaires différents A et B de ce tirage. Alors, la probabilité de l’évènement « A OU B » vaut la somme de la probabilité de l’évènement A et de la probabilité de l’évènement B, ou plus simplement : p ( A OU B ) = p ( A ) + p ( B ) C’est généralisable : p (A OU B OU C OU D OU E) = p(A) + p(B) + p(C) + p(D) + p(E) Exemple : On lancé un dé. p (Tirer un nombre pair) = p(2 OU 4 OU 6) = p(2) + p(4) + p(6) ce qui d’un point de vue du calcul donne = = 0,5. 6 Exercice 1 : On dispose d’un dé à 8 faces, numérotées de 1 à 8. Ce dé est non-pipé. 1) Pourquoi peut-on dire que les évènements élémentaires sont équiprobables ? Parce que le dé est à 8 faces Parce que les faces sont numérotées de 1 à 8 Parce que le dé est non-pipé 2) Quelle est la probabilité d’un évènement élémentaire ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3) Quelle est la probabilité de tirer un nombre pair ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 4) Quelle est la probabilité de tirer un nombre supérieur ou égal à 7 ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 5) Quelle est la probabilité de tirer un nombre inférieur strictement à 7 ? (2 méthodes) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. (Si vous souhaitez savoir comment faire un tel dé …) 7 Activité 2 : Une autre expérience classique maintenant : le tirage d’une boule dans une urne. On a donc une urne contenant des boules de couleurs différentes. On tire une boule au hasard, sans pouvoir connaitre sa couleur à l’avance, et on regarde. On suppose que l’urne contient en tout 20 boules : 2 boules jaunes (J) 4 boules vertes (V) 6 boules bleues (B) 8 boules rouges (R) Quels sont les évènements élémentaires possibles : ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Quelle est la probabilité de tirer J ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Quelle est la probabilité de tirer V ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Quelle est la probabilité de tirer B ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Quelle est la probabilité de tirer R ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Les évènements élémentaires sont-ils équiprobables ici ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Quelle est la probabilité de tirer R ou J ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Quelle est la probabilité de tirer V ou B ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Quelle est la probabilité de ne pas tirer B ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 8 Exercice 2 : On dispose d’un jeu de 32 cartes : 4 familles : cœur, carreau, pique, trèfle 8 cartes par familles : 7, 8, 9, 10, V, D, R, A On tire une carte au hasard. 1) Quelle est la probabilité de tirer le 7 de carreau ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2) Quelle est la probabilité de tirer un 7 ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3) Quelle est la probabilité de tirer un trèfle ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 4) Quelle est la probabilité de tirer une reine ou un Roi de couleur rouge ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 5) Quelle est la probabilité de ne pas tirer le 7 de carreau ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6) Quelle est la probabilité de ne pas tirer un 7 ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 9
