Complément n°14

Complément Chapitre n°14 ECE1-Ozenne-2016/2017
Complément n°14
Continuité : points fondamentaux de rédaction
Ce chapitre revient essentiellement à faire des calculs de limites (il est donc primordial de bien
maîtriser le chapitre précédent) et à savoir parfaitement rédiger un certain nombre de points
fondamentaux autour de la notion de continuité.
On rappelle que :
•fest continue en x0si lim
x→x0
f(x) = f(x0)
•fest continue à gauche en x0si lim
x→
<x0
f(x) = f(x0)
•fest continue à droite en x0si lim
x→
>x0
f(x) = f(x0)
fest continue en x0ssi fest continue à droite et à gauche en x0.
1. Continuité d’un quotient de fonction.
Considérons la fonction fdéfinie sur Ipar f(x) = g(x)
h(x), avec get hcontinue sur Iet
∀x∈I, h(x)6= 0. Montrons que fest continue sur I.
La fonction g:x7→ g(x)est continue sur I.
La fonction h:x7→ h(x)est continue sur Iet ne s’annule pas sur I(puisque ∀x∈I, h(x)6= 0).
D’où, par quotient, on en déduit que fest continue sur I.
Exemple concret : etudier la continuité de la fonction f:x7→ ln x
x.
Df={x∈R, x > 0}=R∗
+.
La fonction x7→ ln(x)est continue sur R∗
+.
La fonction x7→ xest continue sur R∗
+et ne s’annule pas sur R∗ +(car ∀x∈R∗ +, x 6= 0).
D’où, par quotient, on en déduit que fest continue sur R∗
+.
2. Continuité d’une composition de fonction.
Considérons la fonction fdéfinie sur Ipar f(x) = h(g(x)), avec gcontinue sur Iet hcontinue
sur Javec g(I)⊂J(c’est à dire ∀x∈I, g(x)∈J). Montrons que fest continue sur I.
La fonction g:x7→ g(x)est continue sur I.
La fonction h:x7→ h(x)est continue sur J.
De plus, g(I)⊂J(car ∀x∈I, g(x)∈J).
D’où, par composition, on en déduit que fest continue sur I.
1

Exemple concret : etudier la continuité de la fonction f:x7→ √3x−1.
Df={x∈R,3x−1≥0}=1
3; +∞.
Montrons que fest continue sur Df.
Pour tout x∈Df, on a f(x) = h(g(x)) avec g(x) = 3x−1et h(x) = √x. Autrement dit f=h◦g.
La fonction g:x7→ 3x−1est continue sur Df(car gest une fonction polynomiale donc continue
sur R).
La fonction h:x7→ √xest continue sur R+(c’est une fonction usuelle).
De plus, g(Df)⊂R+, car ∀x∈Df, g(x) = 3x−1≥0(cf. définition de Df).
D’où, par composition, on en déduit que fest continue sur Df=1
3; +∞.
Attention ; si fest continue sur I∪J, on sépare l’étude de la continuité sur Iet J.
3. Continuité en un point d’une fonction définie par disjonction de cas.
Pensez, avant d’étudier la continuité, à donner l’ensemble de définition de f(pour que fsoit
continue en un point, il faut à minima quelle soit définie en ce point).
Exemple concret 1 :
Montrer que la fonction f(x) = 2(√1+x−1)
xsi x > 0
1 + xsi x≤0est continue sur R.
L’ensemble de définition de fest Df=R. La fonction étant définie d’une certaine façon sur ]0,+∞[
et d’une autre sur ]− ∞,0], on étudie d’abord la continuité séparément sur ces intervalles.
Etude sur ]0,+∞[:
La fonction x7→ 2(√1 + x−1) est continue sur ]0,+∞[(c’est une composition, je vous laisse le
rédiger).
La fonction x7→ xest continue sur ]0,+∞[et ne s’annule pas sur ]0,+∞[.
D’où, par quotient, on en déduit que x7→ 2(√1+x−1)
xest continue sur ]0,+∞[.
Etude sur ]− ∞,0] :
La fonction x7→ 1 + xest continue sur ]− ∞,0] (car fonction polynomiale) .
Problème en 0 :
A t-on lim
x→0−
f(x) = lim
x→0+f(x)?
•lim
x→0−
f(x) = f(0) = 1 + 0 = 1 (fétant définie en 0−, sa limite est f(0)).
•lim
x→0+f(x) = lim x→0+
2(√1 + x−1)
x= 1 (car d’après le cours lim
x→0
√1 + x−1
x=1 2).
D’où lim
x→0−
f(x) = 1 = lim
x→0+f(x).
D’où lim
x→0f(x) = 1 = f(0). Donc fest bien continue en 0.
Conclusion : fest continue sur R.
Attention à bien penser à vérifier que la limite de fen 0 égale f(0). Il ne s’agit pas juste de
montrer que la limite existe.
Exemple concret 2 :
2

Montrer que la fonction i:R+→R, x 7→ xln(x)si x > 0
0si x= 0 est continue sur R∗.
Etude sur ]0,+∞[:
La fonction x7→ xln(x)est continue sur ]0,+∞[(car produit de fonctions usuelles continues sur
]0,+∞[).
Problème en 0 :
A t-on lim
x→0+f(x) = f(0) ?
•lim
x→0+f(x) = lim x→0−
xln x= 0 (par croissance comparée).
•f(0) = 0
D’où lim
x→0+f(x) = 0 = f(0).
Donc fest bien continue en 0.
Conclusion : fest continue sur R+.
4. Prolongement par continuité d’une fonction en un point
Exemple concret
La fonction f(x) = ln(1 + x)
xest définie sur Df=] −1,0[∪]0,+∞[.
Peut-elle être prolongée en 0 ?
Continuité sur ]−1,0[ :
La fonction x7→ ln(1 + x)est continue sur ]−1,0[.
La fonction x7→ xest continue et ne s’annule pas sur ]−1,0[.
On en déduit, par quotient, que fest continue sur ]−1,0[.
Continuité sur ]0,+∞[:
De même fest continue sur ]0,+∞[.
Etude de la limite en 0:
lim
x→0f(x) = lim x→0
ln(1 + x)
x= 1 (c’est une limite usuelle).
Conclusion :
fpeut être prolongée par continuité en 0 par la fonction e fdéfinie par
e
f(x) = (ln(1 + x)
xsi x∈]−1,0[∪]0,+∞[
1si x= 0
qui est bien définie et continue sur ]−1,+∞].
Attention, à bien faire la différence entre continuité en un point et prolongement par continuité
en un point.
On parle de prolongement par continuité en un point x0quand la fonction n’est pas définie en x0,
il s’agit surtout de montrer que lim
x→x0
f(x)existe. Lorsque la fonction est définie en x0, on parle de
continuité en x0et il s’agit de montrer que lim
x→x0
f(x) = f(x0).
5. Théorème des valeurs intermédiaires
Exemple concret
Montrer que l’équation ln(x)ex= 3 admet au moins une solution sur [1,+∞[.
Cela revient à montrer que l’équation ln(x)ex−3=0admet au moins une solution sur [1,+∞[.
Pour tout x∈[1,+∞[, on définit la fonction fpar f(x) = ln(x)ex−3.
3

•La fonction f:x7→ ln(x)ex−3est continue sur [1,+∞[(car produit et somme de fonctions
usuelles continues sur [1,+∞[).
•f(1) = −3<0
•lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞(ln(x)ex−3) = +∞
Comme, 0∈]−3; +∞[, on en déduit qu’il existe au moins un point α∈[1,+∞[tel que f(α) = 0,
autrement dit tel que ln(α)eα= 3.
6. Théorème de la bijection
Théorème utilise pour montrer qu’une fonction fréalise une bijection de Isur J, sans avoir
à résoudre pour cela l’équation y=f(x)sur Iet à montrer qu’elle admet une unique solution.
Application 1 : montrer qu’une fonction réalise une bijection
Ce théorème permet de montrer qu’une fonction réalise une bijection, sans avoir besoin de montrer
qu’elle est injective et surjective en résolvant y=f(x)et en montrant qu’il y a une unique solution.
Ce théorème ne donne cependant pas, contrairement à cette première méthode, l’expression de la
fonction réciproque. Mais si on en a pas besoin, il est beaucoup plus simple de l’utiliser que de
revenir aux définitions.
Exemple concret
Soit la fonction définie sur ]0,+∞[par f(x) = x+ln(x). Prouver que fest une bijection strictement
croissante de ]0,+∞[sur un intervalle à préciser.
La fonction f:x→x+ ln(x)est continue, strictement croissante (pour le voir il suffit de
dériver).
Elle réalise donc, d’après le théorème de la bijection, une bijection de ]0; +∞[dans f(]0; +∞[) =
lim
x→0+f(x); lim
x→+∞
f(x)= ]−∞;∞[.
Pour bien le voir faire le tableau de variation.
Application 2 : montrer qu’une équation admet une unique solution
Le théorème de la bijection est aussi utile lorsqu’on veut montrer qu’une équation admet une unique
solution, sans avoir besoin de donner la valeur exacte de la solution.
Exemple concret
Montrer que l’équation x+ ln(x)=1possède une unique solution sur ]0; +∞[.
Cela revient à montrer que l’équation x+ ln(x)−1=0possède une unique solution sur ]0; +∞[.
Définition de la fonction à étudier :
On définit sur ]0; +∞[la fonction fpar f(x) = x+ ln(x)−1.
Continuité de f:
La fonction f:x7→ x+ ln(x)−1est continue sur ]0; +∞[(somme de fonctions continues sur cet
intervalle).
Sens de variation de f:
fest dérivable sur ]0; +∞[et ∀x∈]0; +∞[, f 0(x) = 1 + 1
x=x+ 1 x>0(car x > 0).
Donc fest strictement croissante sur ]0; +∞[.
Tracer ensuite le tableau de variation en donnant les limites :
lim
x→0+f(x) = −∞ et lim
x→+∞
f(x)=+∞.
Application du théorème de la bijection
D’après le théorème de la bijection, comme fest continue et strictement croissante sur ]0; +∞[,
elle réalise une bijection de ]0; +∞[sur f(]0; +∞[) = ]limx→0+f(x); limx→+∞f(x)[=]−∞;∞[.
Or 0∈]−∞;∞[, donc il existe un unique α∈]0; +∞[tel que f(α)=0, autrement dit tel que
α+ ln(α) = 1
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Remarque : bien préciser que fréalise une bijection de Isur f(I)et préciser ce que vaut f(I).
N’oubliez pas de préciser que 0 appartient à l’intervalle image f(I)avant de conclure.
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