TRAVAUX DIRIGES DE MATHEMATIQUES seconde c

Club math du collège privé laïc les « pigeons »
TRAVAUX DIRIGES DE MATHEMATIQUES
e
CLASSE 2 S
Année scolaire 2011-2012
Fiche numéro 1et 2
Structure :
Angles orientés-Trigonométrie-Produit scalaire-Droites et cercles dans le plan
Exercice 1 .
x étant la mesure principale d’un angle orienté , démontrer que :
a) ( cos x + sin x ) + ( cos x − sin x ) = 2
b) cos 4 x + sin 4 x = 1 − 2sin 2 x cos 2 x
c) cos 4 x − sin 4 x = 1 − 2sin 2 x
d) si x ≠ ±
2
2
2
f)1-sinx ≥ 0
e)1 + cos x ≥ 0
g ) cos
π
10
+ cos
π
, montrer tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x sin 2 x
9π
4π
6π
+ cos
+ cos
=0
10
10
10
Exercice 2
1. Compléter le tableau suivant
Degrés
0°
30°
45°
60°
90°
180°
Radians
Cos
Sin
Tan
2. Compléter les égalités suivantes à l’aide de cos x et sin x (excepté pour la 1°).
cos2x + sin2x =
1 + tan2x =
cos (
π
cos (π – x) =
sin (π – x) =
sin (
π
2
2
− x) =
− x) =
3.En s’aidant éventuellement du rapporteur ,Placer les points associés aux angles orientés suivants
sur le cercle trigonométrique :
π 2π π −π 3π
3
,
3
,
4
,
3
,
4
,
EXERCICE 3.
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I- ABC est un triangle rectangle. Démontrer que
1) cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1
2) sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2
→
m + 4
→
 m
II- Soient u 
 et v   où m est un réel.
 m 
2
1-Déterminer m pour que les vecteurs soient colinéaires.
→ →
2-Déterminer m pour que  u , v  soit une base du plan


Exercice 4 QCM
1.Les droites passant par (−1, 2) et de coefficient directeur 1/m ont pour équation :
a
mx−y+2m+1=0
b
m(x−y)+2=m
c
my=x+2m
d
x−my+2m+1=0
EXERCICE 5
ABC est un triangle quelconque dont les angles sont aigus ; S est l’aire de ABC, H le projeté orthogonal de C sur
[AB]. On pose AB = c, AC = b, BC = a.
⌢
1
bc sin A ; donner deux autres relations similaires exprimant S. En déduire la « formule
2
a
b
c
des sinus » :
⌢ =
⌢=
⌢.
sin A
sin B sin C
a. Montrer que S =
b. Application numérique : ABCD est un quadrilatère tel que
⌢
⌢
⌢
⌢
ACB = 30°, BCD = 70°, ADB = 25° et ADC = 60°. La longueur CD vaut 8. Calculer les longueurs CA et CB à
10—3 près.
1-1 : Basique 1
La figure ci-dessous représente un rectangle ABCD tel que : AB = 5 et BC = 3 ; un triangle ABF équilatéral et un
triangle BCE rectangle et isocèle en C. Le point H est le milieu du segment [AB].
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F
A
B
D
E
C
Calculer les produits scalaires suivants :
1. AB ⋅ AH ; 2. BC ⋅ BE ; 3. AB ⋅ AF ; 4. BD ⋅ CE ; 5. BE ⋅ BA ; 6. AD ⋅ CE .
1-2 : Basique 2
Sachant que les vecteurs u et v sont tels que u = 3 , v = 7 et u ⋅ v = 13 , calculer les produits scalaires
suivants :
1. u ⋅ ( u + 3 v ) .
2. ( u − 2 v )2 .
1-3 : Basique 3
Le plan est rapporté au repère orthonormal (O ; i , j ) . Soient les points A(1 ; 1), B(4 ; 3) et C(−1 ; 6).
1. Calculer le produit scalaire AB. AC .
2. En déduire cos  , puis une valeur approchée de  en degré à 10−1 près.
1-4 : Basique 4
π
ABC = . Calculer BC.
On considère un triangle ABC tel que AB = 4, AC = 6 et 3
1-5 : Basique 5
ABC est un triangle tel que AB = 6, AC = 7 et BC = 5.
1. Calculer le cosinus de l’angle ACB .
2. En déduire la valeur exacte du sinus de l’angle ACB .
3. On note I le milieu de [AB]. Calculer la longueur CI.
4. On note J le projeté orthogonal du sommet B sur le côté [AC]. Calculer la longueur BJ.
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1-6 : Cercles 1
Soit (C) et (C') les cercles d'équations : x 2 + y2 + 4 x + 2y + 2 = 0 et x 2 + y2 − 4 x − 4y − 2 = 0 . Déterminez les centres
et les rayons de ces cercles. Sont-ils sécants ?
1-7 : Cercles 3 (c)
On considère le cercle C d’équation x 2 + y2 + x + y − 8 = 0 et le cercle C’ de centre O’(−1 ;
17
.
2
3
) et de rayon
2
1. Déterminez le centre O et le rayon r de C puis déterminez une équation de C’. Tracez les 2 cercles.
1-8 : Cercles 4 (c)
a. Montrer que l'équation x 2 + y2 − 2 x − 8 y − 8 = 0 est celle d'un cercle (C) dont on précisera le centre et le
rayon.
b. Calculer les coordonnées des points d'intersection A et B de (C) avec la droite (D) d'équation x + 2 y + 1 = 0 .
1-9 : Cercles 6
Le plan est rapporté au repère orthonormal (O ; i , j ) . On considère les points A(–2 ; 1), B(6 ; 2) et C(4 ; 5).
1. Montrer que le triangle ABC est rectangle en C.
2. Déterminer l’équation du cercle de diamètre [AB].
3. Déterminer l’équation du cercle Γ circonscrit au triangle ABC.
1-10 : Cercle et droites
Dans un plan, muni d’un repère orthonormal (O ; i , j ) , on considère les points : A ( 2 ; 1 ) , B ( 5 ; 7 ) ,
C ( 3 ; − 1 ) et D
(
5 ; 5).
On note ∆ l’ensemble des points M ( x ; y ) du plan tels que AM . AB = 27 et Γ le cercle de diamètre [ CD ] .
1. a. Déterminer une équation de ∆ et Γ .
b. Vérifier que H ( −1 ; 7 ) est un point de ∆ et que E ( 1 ; 1 ) est un point de Γ .
c. Construire ∆ et Γ .
2. a. Résoudre le système
(
S
):
 x + 2 y − 13 = 0
 2
2
 x + y − 8 x − 4 y + 10 = 0
b. Que peut-on en déduire ?
3. Déterminer l’équation réduite de la tangente D à Γ au point E puis la tracer.
4. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de Γ avec les axes du repère.
1-11 : Puissance d’un point - Géométrique
Soit Γ un cercle de centre O et de rayon R et M un point non situé sur Γ .
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C
B
Γ
A
Γ
O
M
O
A
M
C
B
D
D
On se propose d’établir que, dans chacune des configurations ci-dessus, on a : M A. M B = M C . M D .
Soit E le point diamétralement opposé à A sur Γ .
1. Montrer que M A. M B = M A. M E . En déduire que M A. M B = OM 2 − R2 .
2. Établir le résultat annoncé.
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