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Dérivation S 1 Dérivation Pour reprendre contact n°1 – 2 – 3 – 4 p 73 I. Nombre dérivé et tangente A. Taux d’accroissement Définition 𝑓 est une fonction définie sur un intervalle 𝐼 ; 𝑎 et 𝑎 + ℎ sont deux nombres réels de 𝐼 avec ℎ ≠ 0. Le taux d’accroissement de 𝒇 entre 𝒂 et 𝒂 + 𝒉 est le rapport 𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂) 𝒉 B. Nombre dérivé d’une fonction en un point Définition 𝑓 est une fonction définie sur un intervalle 𝐼 ; 𝑎 et 𝑎 + ℎ sont deux nombres réels de 𝐼 avec ℎ ≠ 0. Dire que 𝑓 est dérivable en 𝑎 signifie que lorsque ℎ tend vers 0, le taux d’accroissement vers un réel , ce que l’on note 𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂) = 𝒉→𝟎 𝒉 𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂) 𝒉 tend 𝐥𝐢𝐦 est appelé le nombre dérivé de 𝒇 en 𝒂 et on le note 𝒇’(𝒂) Notation 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂) 𝒉 se lit limite de 𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂) 𝒉 quand h tend vers 0. Exercice résolu n°1 p 77 Exercices n°20 à 24 p 88 – 89 C. Tangente à la courbe représentative d’une fonction Interprétation graphique Définition Soit 𝑓 une fonction dérivable en 𝑎, 𝐶𝑓 sa courbe représentative et 𝐴 le point de 𝐶𝑓 d’abscisse 𝑎. La tangente à la courbe 𝑪𝒇 au point 𝑨 est la droite passant par 𝐴 et dont le coefficient directeur est 𝑓’(𝑎). Dérivation S 2 Propriété Soit 𝑓 une fonction dérivable en 𝑎, 𝐶𝑓 sa courbe représentative et 𝐴 le point de 𝐶𝑓 d’abscisse 𝑎. La tangente à la courbe 𝐶𝑓 au point 𝐴 a pour équation : 𝒚 = 𝒇’(𝒂) (𝒙 − 𝒂) + 𝒇(𝒂) Démonstration (voir p 76) La tangente T à 𝐶𝑓 en 𝐴 a une équation de la forme 𝑦 = 𝑓’(𝑎) 𝑥 + 𝑏. 𝐴(𝑎 ; 𝑓(𝑎)) appartient à T donc 𝑓(𝑎) = 𝑓’(𝑎) 𝑎 + 𝑏. D’où 𝑏 = 𝑓(𝑎) − 𝑎𝑓’(𝑎) Donc on a 𝑦 = 𝑓’(𝑎)𝑥 + 𝑓 (𝑎) − 𝑎𝑓’(𝑎) = 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) Exercice résolu n°2 p 77 Exercices n°25 à 35 p 89 - 90 D. Fonction dérivée Définition 𝑓 est une fonction définie sur un intervalle 𝐼. Dire que 𝒇 est dérivable sur 𝑰 signifie que 𝑓 est dérivable en tout nombre réel de 𝐼. La fonction dérivée de 𝑓 est la fonction qui, à tout nombre réel 𝑎 de I, associe 𝑓’(𝑎). Elle est définie sur 𝐼 par 𝑓’ : 𝑎 ↦ 𝑓’(𝑎) Remarque Dans l’écriture de la fonction, le nom de la variable n’a pas d’importance, on peut autant écrire : 𝑓’ : 𝑎 ↦ 𝑓’(𝑎) 𝑓’ : 𝑡 ↦ 𝑓’(𝑡) 𝑓’ : 𝑥 ↦ 𝑓’(𝑥) Le nom est souvent choisi d’après le contexte, la variable t représente en général le temps. Exercices n°36 – 37 p 90 II. Dérivées des fonctions usuelles A. Fonctions constantes 𝒙 ↦ 𝒌 avec 𝒌 ∈ R Propriété 𝑓 est la fonction définie sur R par 𝒇(𝒙) = 𝒌 𝑓 est dérivable sur R et, pour tout nombre réel 𝑥, 𝒇’(𝒙) = 𝟎 Démonstration Pour tous nombres réels 𝑎 et ℎ ≠ 0, on a 𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂) 𝒉 = 𝒌−𝒌 𝒉 = 𝟎 qui tend vers 0 quand ℎ tend vers 0. Donc 𝑓 est dérivable en tout réel 𝑎 et 𝑓’(𝑎) = 0 B. Fonctions identité Propriété 𝑓 est la fonction définie sur R par 𝒇(𝒙) = 𝒙 𝑓 est dérivable sur 𝑅 et, pour tout nombre réel 𝑥, 𝒇’(𝒙) = 𝟏 Démonstration Pour tous nombres réels 𝑎 et ℎ ≠ 0, on a 𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂) 𝒉 Donc 𝑓 est dérivable en tout réel 𝑎 et 𝑓’(𝑎) = 1 = 𝒂+𝒉−𝒂 𝒉 = 𝒉 𝒉 = 𝟏 qui tend vers 1 quand ℎ tend vers 0. Dérivation S 3 C. Fonctions carré Propriété 𝑓 est la fonction définie sur R par 𝒇(𝒙) = 𝒙² 𝑓 est dérivable sur 𝑅 et, pour tout nombre réel 𝑥, 𝒇’(𝒙) = 𝟐𝒙 Démonstration Pour tous nombres réels 𝑎 et ℎ ≠ 0, on a 𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂) 𝒉 = (𝒂+𝒉)²−𝒂² 𝒉 𝒂²+𝟐𝒂𝒉+𝒉²−𝒂² = 𝒉 = 𝟐𝒂𝒉+𝒉² 𝒉 = 𝟐𝒂 + 𝒉 qui tend vers 2𝑎 quand ℎ Donc 𝑓 est dérivable en tout réel 𝑎 et 𝑓’(𝑎) = 2𝑎 tend vers 0. D. Fonctions carré Propriété 𝑓 est la fonction définie sur R par 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 𝑓 est dérivable sur 𝑅 et, pour tout nombre réel 𝑥, 𝒇’(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 Démonstration Pour tous nombres réels 𝑎 et ℎ ≠ 0, on a 𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂) 𝒉 = (𝒂+𝒉)𝟑 −𝒂𝟑 = (𝒂+𝒉)(𝒂2 +𝟐𝒂𝒉+𝒉2 )−𝒂𝟑 𝒉 𝒉 𝒂𝟑 +𝟐𝒂2 𝒉+𝒂𝒉2 +𝒂2 𝒉+𝟐𝒂𝒉2 +𝒉𝟑 −𝒂𝟑 = 𝒉 𝟑𝒂²𝒉+𝟑𝒂𝒉²+𝒉𝟑 = 𝒉 = 𝟑𝒂² + 𝟑𝒂𝒉 + 𝒉𝟐 qui tend vers 3𝑎² quand ℎ tend vers 0. Donc 𝑓 est dérivable en tout réel 𝑎 et 𝑓’(𝑎) = 3𝑎² E. Fonctions puissances 𝒙 ↦ 𝒙𝒏 , avec 𝒏 entier, 𝒏 ≥ 𝟐 Propriété (admise) 𝑓 est la fonction définie sur R par 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 𝑓 est dérivable sur 𝑅 et, pour tout nombre réel 𝑥, 𝒇’(𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 F. Fonctions inverse Propriété 𝟏 𝑓 est la fonction définie sur ] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par 𝒇(𝒙) = 𝒙 𝟏 𝑓 est dérivable sur ] − ∞; 0[∪]0; +∞[ et, pour tout nombre réel 𝑥, 𝒇’(𝒙) = − 𝒙² Démonstration Pour tous nombres réels 𝑎 ≠ 0 et ℎ ≠ 0 et 𝑎 + ℎ ≠ 0, on a 𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂) 𝒉 = 𝟏 𝟏 − 𝒂+𝒉 𝒂 𝒉 = 𝒂−(𝒂+𝒉) 𝒂(𝒂+𝒉) 𝒉 = −𝒉 𝒂(𝒂+𝒉) 𝒉 = −𝟏 𝒂(𝒂+𝒉) 1 qui tend vers − 𝑎² quand ℎ tend vers 0. 1 Donc 𝑓 est dérivable en tout réel 𝑎 ∈ R* et 𝑓’(𝑎) = − 𝑎² G. Fonctions racine carrée Propriété 𝑓 est la fonction définie sur [0; +∞[ par 𝒇(𝒙) = √𝒙 𝑓 est dérivable sur ]0; +∞[ et, pour tout nombre réel 𝑥, 𝒇’(𝒙) = 𝟐 𝟏 √𝒙 Démonstration Pour tous nombres réels 𝑎 et ℎ ≠ 0 et 𝑎 + ℎ ≠ 0, on a 𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂) 𝒉 = √𝒂+𝒉−√𝒂 𝒉 = (√𝒂+𝒉−√𝒂)(√𝒂+𝒉+√𝒂) 𝒉(√𝒂+𝒉+√𝒂) (𝒂+𝒉)−𝒂 = 𝒉(√𝒂+𝒉+ √𝒂) 𝒉 = 𝒉(√𝒂+𝒉+ Donc 𝑓 est dérivable en tout réel 𝑎 ∈ ]0; +∞[ et 𝑓’(𝑎) = 2 √𝒂) = 𝟏 √𝒂+𝒉+√𝒂 qui tend vers 2 1 √𝑎 Exercices n°38 – 39 – 40 – 41 – 42 – 43 p 90 – 91 1 √𝑎 quand ℎ tend vers 0. Dérivation S III. 4 Dérivées et opérations sur les fonctions A. Somme de fonctions et produit par un réel Propriété Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥) avec 𝑢 et 𝑣 dérivables sur 𝐼 alors 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et 𝒇’(𝒙) = 𝒖’(𝒙) + 𝒗’(𝒙) Démonstration (voir p 80) Pour tout 𝑎 de 𝐼, on a 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ = 𝑢(𝑎+ℎ)+𝑣(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)−𝑣(𝑎) Or 𝑢 et 𝑣 sont dérivables en 𝑎, donc ℎ 𝑢(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎) ℎ = 𝑢(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎) ℎ + 𝑣(𝑎+ℎ)−𝑣(𝑎) ℎ tend vers 𝑢’(𝑎) quand ℎ tend vers 0 et 𝑣(𝑎+ℎ)−𝑣(𝑎) ℎ tend vers 𝑣’(𝑎) quand ℎ tend vers 0 Donc 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ tend vers 𝑢’(𝑎) + 𝑣′(𝑎) quand ℎ tend vers 0 Donc 𝑓 est dérivable en tout réel 𝑎 ∈ 𝐼 et 𝑓’(𝑎) = 𝑢′ (𝑎) + 𝑣′(𝑎) Propriété Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) avec 𝑢 dérivable sur 𝐼 alors 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et 𝒇’(𝒙) = 𝒖’(𝒙) Démonstration (voir p 80) Pour tout 𝑎 de 𝐼, on a 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ Or 𝑢 est dérivable en 𝑎, donc Donc 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ = 𝑢(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎) ℎ 𝑢(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎) ℎ = 𝑢(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎) ℎ tend vers 𝑢’(𝑎) quand ℎ tend vers 0 tend vers 𝑢’(𝑎) quand ℎ tend vers 0 Donc 𝑓 est dérivable en tout réel 𝑎 ∈ 𝐼 et 𝑓’(𝑎) = 𝑢′ (𝑎) Définition et Propriété Une fonction 𝑓 définie sur R est une fonction polynôme si 𝑓(𝑥) peut s’écrire comme la somme de termes de la forme 𝑘𝑥 𝑛 , 𝑛 ∈ N et 𝑘 constante réelle. Toutes les fonctions polynômes sont dérivables sur R Démonstration C’est une conséquence des deux propriétés précédentes. Exercices n°45 à 48 p 91 B. Produit, inverse et quotient de fonctions Propriété Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) avec 𝑢 et 𝑣 dérivables sur 𝐼 alors 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et 𝒇’(𝒙) = 𝒖’(𝒙)𝒗(𝒙) + 𝒖(𝒙)𝒗’(𝒙) Démonstration (voir p 82) à connaître Pour tout 𝑎 de 𝐼, on a 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ = 𝑢(𝑎+ℎ)𝑣(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)𝑣(𝑎) ℎ On ajoute et on retranche 𝑢(𝑎)𝑣(𝑎 + ℎ) pour faire apparaître les quotients 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ = 𝑢(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎) ℎ et 𝑣(𝑎+ℎ)−𝑣(𝑎) ℎ 𝑢(𝑎+ℎ)𝑣(𝑎+ℎ)+𝑢(𝑎)𝑣(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)𝑣(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)𝑣(𝑎) = = ℎ 𝑢(𝑎+ℎ)𝑣(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)𝑣(𝑎+ℎ) ℎ 𝑢(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎) ℎ + 𝑢(𝑎)𝑣(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)𝑣(𝑎) 𝑣 (𝑎 + ℎ ) + 𝑢 (𝑎 ) ℎ 𝑣(𝑎+ℎ)−𝑣(𝑎) ℎ Si on admet que 𝑣 (𝑎 + ℎ) tend vers 𝑣(𝑎) quand ℎ tend vers 0, 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ tend vers 𝑢’(𝑎)𝑣(𝑎) + 𝑢(𝑎)𝑣’(𝑎) Donc 𝑓 est dérivable en 𝑎 et 𝑓’(𝑎) = 𝑢’(𝑎)𝑣(𝑎) + 𝑢(𝑎)𝑣’(𝑎) Remarque : Si 𝒗(𝒙) = (constante), alors 𝒗’(𝒂) = 𝟎 et on retrouve 𝒇’(𝒂) = 𝒖’(𝒂) Exercice n°49 p 91 Dérivation S 5 Propriété 1 𝒖’(𝒙) Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) avec 𝑢 dérivable sur 𝐼 et si 𝑢(𝑥) ≠ 0, alors 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et 𝒇’(𝒙) = − [𝒖(𝒙)]² 𝑢(𝑥) Si 𝑓(𝑥) = 𝑣(𝑥) avec 𝑢 et 𝑣 dérivables sur 𝐼 et si 𝑣(𝑥) ≠ 0alors 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et 𝒇’(𝒙) = 𝒖’(𝒙)𝒗(𝒙) − 𝒖(𝒙)𝒗’(𝒙) [𝒗(𝒙)]² Démonstration Exercice n°95 p 96 Exercices n°50 – 51 p 91 Définition et Propriété 𝑢(𝑥) Toutes les fonctions de la forme 𝑥 ↦ 𝑣(𝑥) où u et v sont des fonctions polynômes s’appellent des fonctions rationnelles. Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition. Démonstration C’est une conséquence des deux propriétés précédentes. Exercices n°52 – 53 – 54 p 91 Exercices n°56 – 57 – 58 – 59 – 60 p 92 – 93 Exercices n°66 - 67 p 93 DM n°96 – 97 p 96 – 97
