DS n°3

DS n°3
Continuité dérivabilité
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DS 3 Cor.doc
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Thierry LOOF
Le 17 novembre 2012
Durée : 2h
Toute trace de recherche même non aboutie sera valorisée
Exercice 1 (5 points)
On considère la fonction définie sur [–3 ; 3] par f(x) = 2x3 – 6x2 + 5,96x – 1,96.
1. On a affiché sur la calculatrice la courbe de cette fonction.
Conjecturer le nombre de solution de f(x) = 0 puis donner une
valeur approchée des solutions éventuelles
Il semble y avoir une solution environ égale à 1, et de fait on
peut vérifier que f(1) = 0
2. Etudier les variations de f sur [–3 ; 3]. La conjecture
précédente est–elle confirmée.
f’(x) = 6x2 – 12x + 5,96. = 0,96 = 24
25 ; x1= 1 – 6 30 et x2 =
1 + 6
30, Donc tableau de variation qui nous montre que l’équation a trois solutions.
3. Déterminer les trois réels a, b et c tels que pour tout x,
f(x) = (x – 1)(ax² + bx + c) = ax3 + bx2 + cx – ax² – bx – c = ax3+ (b–a)x2 +(c–b)x – c
On a donc a = 2, b = – 4, c = 1,96
4. Résoudre dans [–3 ; 3] l’équation f(x) = 0.
Il faut donc résoudre f(x) = (x – 1)( 2x² – 4x + 1,96)= 0 S = {1 – 2
10 ; 1 ; 1 + 2 10}
Exercice 2 (8 points)
1. On considère le fonction g définie sur ]–∞ ; 2/3] par g(x) = 4x2 – 3x + 3.
a. La fonction est elle dérivable en 2/3 ?
Non car en 2/3, 2 – 3x = 0 et que la fonction n’est pas dérivable en 0
b. Déterminer la dérivée de g
g’(x) = 4 2 – 3x – 6x
2 – 3x = 8 – 18x 2 – 3x
c. Montrer que l’équation g(x) = 0 n’admet pas de solution dans ]–∞ ; –2]
Tableau de variation de g(x). Dans ]–∞ ; –2] la fonction est croissante et son
maximum est de g(–2) = –8 8+3, un nombre négatif, donc l’équation g(x) = 0
n’admet pas de solution dans ]–∞ ; –2]
d. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique dans [–2 ; 2/3].
D’après le tableau de variation de g, et le théorème de la valeur intermédiaire,
g(x) = 0 admet une solution unique dans [–2 ; 2/3].
e. Déterminer à l’aide de la calculatrice une valeur approchée de à 10–2 près de
cette solution. –0,42
f. En déduire le tableau de signes de g.
x
–∞ –2 4/9 2/3
g'(x)
+ 0 –
g(x)
3+16 6
27 4,45
0
–8 8+3
3

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x
–
2/3
g(x)
–
0
+
2. On considère maintenant, la fonction f définie sur ]–∞ ; 2/3] par f(x) = x² – 2 – 3x.
a. Montrer que f’(x) = g(x)
2 2 – 3x
f’(x) = 2x + 3
22 – 3x = 4x2 – 3x + 3 22 – 3x = g(x) 2 2 – 3x
b. Montrer que f( )= 4 3 + 3
4
g( ) = 0, donc 4 2 – 3 + 3 = 0 et 2 – 3 = –3
4
f( ) = ² – 2 – 3 = ² + 3
4 = 4 3 + 3 4
c. En déduire le tableau de variation de f.
x
–
2/3
f’(x)
–
0
+
f(x)
4 3 + 3
4
4/9
d. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point
d’abscisse 0.
f(0) = – 2 ; f’(0) = 3
2 2 = 3 2
4 l’équation de la tangente à la courbe
représentative de f au point d’abscisse 0 est : y = 3x2
4 – 2
Exercice 3 (4 points)
On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = cos (x
2 + 4)
1. Montrer que pour tout x, f(4 + x) = f(x). Que peut-on en déduire ?
f(4 + x) = cos (4+ x
2 + 4) = cos (2 + x 2 + 4) = cos (x 2 + 4) donc la fonction est
périodique de période 4
2. On étudie la fonction sur l’intervalle [–2 ; 2 ]
a. Déterminer f’(x)
f’(x) = – 1
2 sin (x 2 + 4)

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b. Déterminer la valeur exacte des solutions de f’(x)=0
f’(x)=0 – 1
2sin (x 2 + 4) = 0 sin (x 2 + 4) = 0 x 2 + 4 = 0 + k
x = 2k– 2, donc dans [–2 ; 2 ] S = {– 2; 3
2 }
c. En déduire le tableau de variation de f
x
–2
– 2
3
2
2
f’(x)
+
0 –
0
+
f(x)
3
2
1
–1
– 3
2
Exercice 4 (4 points)
On considère sur l’intervalle [–1 ; 4] les fonctions f et g définies par :
f(x) = x + 1 et g(x) = sin x x + 1.
Les courbes des deux fonctions admettent elle la même tangente ?
Détermination des points d’intersection :
f(x) = g(x) x + 1 = sin x x + 1 (1 – sin x)x + 1 = 0 donc x = –1 ou sin x = 1.
S = {–1 ; 2 }
Détermination des fonctions dérivées. Sur ]–1 ; 4] f’(x) = 1
2x + 1 g’(x) = cos x x + 1 +
sin x
2x + 1
En –1 : Les fonctions sont définies et non dérivables car elles ont une tangente verticale
(aucune démonstration n’est attendue ici).
En 2 la f’(2) = 1
22 + 1
, g’(2) = cos 2 2 + 1 +
sin 2
22 + 1
= 1
22 + 1
Donc les tangentes sont communes en chacun de leurs points d’intersection.