DS n°3

DS n°3
Le 17 novembre 2012
Durée : 2h
Continuité dérivabilité
Toute trace de recherche même non aboutie sera valorisée
Exercice 1 (5 points)
On considère la fonction définie sur [–3 ; 3] par f(x) = 2x3 – 6x2 + 5,96x – 1,96.
1. On a affiché sur la calculatrice la courbe de cette fonction.
Conjecturer le nombre de solution de f(x) = 0 puis donner une
valeur approchée des solutions éventuelles
Il semble y avoir une solution environ égale à 1, et de fait on
peut vérifier que f(1) = 0
2. Etudier les variations de f sur [–3 ; 3]. La conjecture
précédente est–elle confirmée.
f’(x) = 6x2 – 12x + 5,96. = 0,96 = 24 ; x1= 1 – 6 et x2 =
25
30
6
, Donc tableau de variation qui nous montre que l’équation a trois solutions.
30
3. Déterminer les trois réels a, b et c tels que pour tout x,
f(x) = (x – 1)(ax² + bx + c) = ax3 + bx2 + cx – ax² – bx – c = ax3+ (b–a)x2 +(c–b)x –
On a donc a = 2, b = – 4, c = 1,96
4. Résoudre dans [–3 ; 3] l’équation f(x) = 0.
1+
Il faut donc résoudre f(x) = (x – 1)( 2x² – 4x + 1,96)= 0 S = {1 –
c
2
2
;1;1+
}
10
10
Exercice 2 (8 points)
1. On considère le fonction g définie sur ]–∞ ; 2/3] par g(x) = 4x 2 – 3x + 3.
a. La fonction est elle dérivable en 2/3 ?
Non car en 2/3,
2 – 3x = 0 et que la fonction
n’est pas dérivable en 0
b. Déterminer la dérivée de g
6x
8 – 18x
g’(x) = 4 2 – 3x –
=
2 – 3x
2 – 3x
c. Montrer que l’équation g(x) = 0 n’admet pas de solution dans ]–∞ ; –2]
Tableau de variation de g(x). Dans ]–∞ ; –2] la fonction est croissante et son
maximum est de g(–2) = –8 8+3, un nombre négatif, donc l’équation g(x) = 0
n’admet pas de solution dans ]–∞ ; –2]
d. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique dans [–2 ; 2/3].
D’après le tableau de variation de g, et le théorème de la valeur intermédiaire,
g(x) = 0 admet une solution unique dans [–2 ; 2/3].
x
–∞
g'(x)
–2
4/9
+
0
3+
g(x)
2/3
–
16 6
4,45
27
0
–8 8+3
3
e. Déterminer à l’aide de la calculatrice une valeur approchée de
cette solution.
–0,42
f. En déduire le tableau de signes de g.
TS
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Thierry LOOF
à 10–2 près de
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–
x
2/3
g(x)
–
0
+
2. On considère maintenant, la fonction f définie sur ]–∞ ; 2/3] par f(x) = x² –
g(x)
a. Montrer que f’(x) =
2 2 – 3x
f’(x) = 2x +
3
=
2 2 – 3x
b. Montrer que f( )=
3
4
g( ) = 0, donc 4
4x 2 – 3x + 3
2 2 – 3x
=
2 – 3x.
g(x)
2 2 – 3x
+3
4
2–3
+ 3 = 0 et
2–3
=
–3
4
4 3+3
3
=
4
4
c. En déduire le tableau de variation de f.
f( ) = ² –
2–3
=
²+
–
x
f’(x)
2/3
–
0
+
4/9
f(x)
4
3
+3
4
d. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point
d’abscisse 0.
3
3 2
f(0) = – 2 ; f’(0) =
=
l’équation de la tangente à la courbe
4
2 2
3x 2
représentative de f au point d’abscisse 0 est : y =
– 2
4
Exercice 3 (4 points)
On considère la fonction
x
f définie sur IR par : f(x) = cos ( + )
2
4
1. Montrer que pour tout x, f(4 + x) = f(x). Que peut-on en déduire ?
4 +x
x
x
+ ) = cos (2 +
+ ) = cos ( + ) donc la fonction est
2
4
2
4
2
4
périodique de période 4
2. On étudie la fonction sur l’intervalle [–2 ; 2 ]
a. Déterminer f’(x)
f(4 + x) = cos (
x
f’(x) = – 1 sin ( + )
2
TS
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2
4
Thierry LOOF
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b. Déterminer la valeur exacte des solutions de
f’(x)=0
–
x
1
sin ( + ) = 0
2
2
4
x
f’(x)=0
x
sin ( + ) = 0
2
4
2
x = 2k – , donc dans [–2 ; 2 ] S = {– ;
3
}
2
2
c. En déduire le tableau de variation de
–2
x
f’(x)
–
+
2
0
1
2
+
4
=0+
k
f
3
2
0
–
2
+
–
3
2
f(x)
–1
3
2
Exercice 4 (4 points)
On considère sur l’intervalle [–1 ; 4] les fonctions
f et g définies par :
x + 1 et g(x) = sin x x + 1.
f(x) =
Les courbes des deux fonctions admettent elle la même tangente ?
Détermination des points d’intersection :
f(x) = g(x)
S = {–1 ;
2
x + 1 = sin x x + 1
(1 – sin x)
x + 1 = 0 donc x = –1 ou sin x = 1.
}
Détermination des fonctions dérivées. Sur ]–1 ; 4]
sin
f’(x) =
1
2
x+1
g’(x) = cos x
x+1 +
x
2 x+1
En –1 : Les fonctions sont définies et non dérivables car elles ont une tangente verticale
(aucune démonstration n’est attendue ici).
En
2
la
1
f’( ) =
2
sin
,
g’( ) = cos
2
2
+1+
2
=
1
+1
2
+1
2
+1
2
2
2
Donc les tangentes sont communes en chacun de leurs points d’intersection.
TS
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