calculer les quartiles de la serie
Feuille de T.D. n1
Statistiques descriptives
Exercice 1 :
Calculer les quartiles de la série suivante :
14 16 12 9 11 18 7 8 9 16 7 9 18.
Exercice 2 :
Le tableau suivant donne la répartition d’une population par tranches d’âge.
Classes [0;10[ [10;20[ [20;30[ [30;40[ [40;50[ [50;60[ [60;70[ [70;80[
Nombre 18 44 68 54 42 36 16 10
Calculez la moyenne, la variance ainsi que les quartiles de cette série.
Exercice 3 :
Une étude portant sur la durée de vie d’une centaine d’appareils électriques du même type
a permis d’établir le tableau ci-contre.
Durée de vie (en heures) Nombre d’appareils
[0;2000[ 8
[2000;4000[ 26
[4000;5000[ 20
[5000;6000[ 22
[6000;8000[ 18
[8000;10:000[ 6
Représentez l’histogramme associé à ce tableau et déterminez la classe modale.
Exercice 4 :
On dispose d’un échantillon de 20 observations. On sait que les 7 premières ont une moyenne
de 5 et une variance de 6 et que les treize dernières ont une moyenne de 6 et une variance de 8.
Déterminez la moyenne puis la variance pour tout l’échantillon.
Exercice 5 :
Une étude sur le chi¤re d’a¤aire d’une population d’entreprises a permis d’obtenir les résul-
tats suivants (en milliers d’euros).
Minimum : 3500 Médiane : 4600
Moyenne : 4900 Premier quartile : 4100
Ecart-type : 650 Premier décile : 3700
Mode : 4550 Ecart interdécile : 2800
Ecart-interquartile : 1100 Etendue : 5000
1. Classer ces paramètres en deux catégories. Expliquez votre choix.
2. Quel est le chi¤re d’a¤aire le plus grand parmi ces entreprises ?
3. Calculer le troisième quartile et le neuvième décile.
4. Placez sur un axe les paramètres caractérisant cet échantillon.
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Feuille de T.D. n2
Evènements-Indépendance-Formule de Bayes
Exercice 1 : Soit A,Bet Ctrois évènements. Exprimez en fonction de A; B et Cles
évènements suivants :
1/ Aet Bont lieu mais pas C5/ Un de ces évènements et un seul a lieu.
2/ Aseul a lieu. 6/ Au moins un de ces évènements a lieu.
3/ Deux de ces évènements ont lieu. 7/ Aucun de ces évènements n’a lieu.
4/ Au moins deux de ces évènements ont lieu. 8/ Pas plus de deux de ces évènements n’ont lieu.
:
Exercice 2 : On jette trois dés. Calculez :
1/ la probabilité d’avoir les trois faces avec le même chi¤re.
2/ la probabilité d’obtenir au moins un 6.
3/ la probabilité d’obtenir au moins deux faces avec le même chi¤re.
Exercice 3 : Soient A1; :::; Andes évènements. On admettra la formule du ”crible”:
P(A1[::: [An) =
n
X
k=1
(1)k10
@X
1i1<:::<ikn
P(Ai1\::: \Aik)1
A
1/ Montrez que si P((Ai1\::: \Aik)) ne dépend pas du choix de i1; :::; ik:
P(A1[::: [An) =
n
X
k=1
(1)k1Ck
nP(A1\::: \Ak):
2/ Lors du dernier week-end d’intégration de Polytech’Montpellier, les organisateurs ont
demandé aux nparticipants de se munir d’une tente individuelle. A l’issue de la première soirée,
bien arrosée, il n’y a plus aucun(e) élève lucide et chacun, en rentrant se coucher choisit une tente
au hasard. Quelle est la probabilité que toutes les tentes soient occupées par leur propriétaire ?
Qu’aucune tente ne soit occupée par son propriétaire ?
Exercice 4 : Dans une usine, deux machines A et B fabriquent des micro-processeurs. Ceux
issus de A (resp. B) sont défectueux avec une probabilité de 2% (resp. 4%). La chaîne A (resp.
B) produit 300 (resp. 200) micro-processeurs par jour. On choisit au hasard un micro-processeur
sur la chaîne de fabrication.
1/ Avec quelle probabilité est-il défectueux ?
2/ S’il est défectueux, quelle est la probabilité qu’il ait été produit par la chaîne B ?
Exercice 5 : Dans la région Languedoc-Roussillon, 5% des PME font faillite dans une année.
Ce pourcentage est de 1% pour les grandes entreprises. Une entreprise du LR fait faillite. Quelle
est la probabilité que cela soit une PME sachant qu’il y a 80% de PME dans la région ?
Exercice 6 : Montrez que dans un jeu de cartes le tirage de la couleur est indépendant du
tirage de la valeur.
Exercice 7 : La famille Bayes est composée de 4 personnes : les deux parents et deux
enfants. Sachant que l’un des deux enfants est une …lle, quelle est la probabilité que l’autre
soit un garçon ? Sachant maintenant que la plus agée est une …lle, quelle est la probabilité que
l’autre soit un garçon ?
Exercice 8 : La …nale d’un jeu télévisé américain appelé "Gates of Fortune" se déroule de
la façon suivante. Sur le plateau sont diposées trois portes. Cachée derrière l’une des portes, on
a placé une splendide Chevrolet Corvette. Derrière les deux autres se trouvent deux bouteilles
de Coca-ColaTM vide...Le candidat doit choisir une des portes. Le présentateur, qui connaît la
porte gagnante, laisse la porte choisie par le candidat fermée mais ouvre une porte di¤érente
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derrière laquelle ne se trouve pas la voiture. Le candidat a alors deux possibilités : soit il
maintient son premier choix, soit il ouvre la dernière porte. Finalement le candidat ouvre la
porte qu’il a choisie et repart soit les mains vides soit au volant d’une nouvelle voiture. Que
feriez vous ?
Exercice 9: Quelle est la probabilité que, lors du tirage du Loto, on tire au moins deux
numéros qui soient consécutifs ?
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Feuille de T.D. n3
Variables aléatoires discrètes
Exercice 1 : Soit Xune v.a. à valeurs dans N:Montrez que EX=P+1
n=0 P(X > n):
Exercice 2 : Le nombre d’oeufs pondus par une tortue au cours d’une ponte suit la loi de
Poisson de paramètre > 0:Un oeuf a la probabilité pd’arriver à éclosion avec 0<p<1:
Quelle est la loi du nombre de bébés tortues à chaque ponte ?
Exercice 3 : Soit Xune v.a.d. suivant une loi géométrique de paramètre p: Montrez que
P(X > k +njX > n) = P(X > k):
Exercice 4 : Soit Xune variable aléatoire discrète ne pouvant prendre que les valeurs 3;4;5
et 6:Déterminez la loi de Xsachant que :
P(X < 5) = 1
6;P(X > 5) = 1
2;P(X3) = P(X= 4) :
Calculez E(X):
Exercice 5 : Calculez l’espérance et la variance des lois B(n; p);G(p);P():
Exercice 6 : On e¤ectue des essais indépendants de probabilité de succès constante et égale
àpavec 0<p<1;jusqu’à obtenir un nombre r; …xé à l’avance, de succès. Soit Xrle nombre
de succès. Déterminez la loi de Xr:
Exercice 7 : Soit (Xn)nune suite de v.a. telle que, pour tout n; Xn B (n; pn)avec
npn!: Montrez que
lim
n!+1
P(Xn=k) = ek
k!:
On dit que la suite Xntend en loi vers une loi de Poisson.
Exercice 8 : Soit une urne contenant Nboules dont un pourcentage psont blanches et
1psont noires. Il y a donc dans l’urne Np boules blanches. On tire nboules sans remise et
on note Xla v.a. égale au nombre de boules blanches obtenues.
1/ Quelles valeurs peut prendre X?
2/ Montrez que
P(X=k) = Ck
NpCnk
NNp
Cn
N
:
Exercice 9 : Un commerçant estime que la demande d’un certain produit saisonnier est
une variable aléatoire Xdiscrète de loi
P(X=k) = pk
(1 + p)k+1 ; k 2N
où pest le prix d’une campagne publicitaire de l’année prcédente.
1/ Véri…ez que l’on dé…nit bien ainsi une loi de probabilité.
2/ Calculez l’espérance et la variance de X:
3/ Connaissant sont stock s; calculez la probabilité de rupture de stock.
5
6
7
8
9
10
11
12
1
/
12
100%
