calculer les quartiles de la serie

Exercices de Probabilités-Statistiques
IG1
André MAS
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1
Feuille de T.D. n 1
Statistiques descriptives
Exercice 1 :
Calculer les quartiles de la série suivante :
14
16
12
9
11
18
7
8
9
16
7
9
18.
Exercice 2 :
Le tableau suivant donne la répartition d’une population par tranches d’âge.
Classes
Nombre
[0; 10[
18
[10; 20[
44
[20; 30[
68
[30; 40[
54
[40; 50[
42
[50; 60[
36
[60; 70[
16
[70; 80[
10
Calculez la moyenne, la variance ainsi que les quartiles de cette série.
Exercice 3 :
Une étude portant sur la durée de vie d’une centaine d’appareils électriques du même type
a permis d’établir le tableau ci-contre.
Durée de vie (en heures)
[0; 2000[
[2000; 4000[
[4000; 5000[
[5000; 6000[
[6000; 8000[
[8000; 10:000[
Nombre d’appareils
8
26
20
22
18
6
Représentez l’histogramme associé à ce tableau et déterminez la classe modale.
Exercice 4 :
On dispose d’un échantillon de 20 observations. On sait que les 7 premières ont une moyenne
de 5 et une variance de 6 et que les treize dernières ont une moyenne de 6 et une variance de 8.
Déterminez la moyenne puis la variance pour tout l’échantillon.
Exercice 5 :
Une étude sur le chi¤re d’a¤aire d’une population d’entreprises a permis d’obtenir les résultats suivants (en milliers d’euros).
Minimum : 3500
Moyenne : 4900
Ecart-type : 650
Mode : 4550
Ecart-interquartile : 1100
Médiane : 4600
Premier quartile : 4100
Premier décile : 3700
Ecart interdécile : 2800
Etendue : 5000
1. Classer ces paramètres en deux catégories. Expliquez votre choix.
2. Quel est le chi¤re d’a¤aire le plus grand parmi ces entreprises ?
3. Calculer le troisième quartile et le neuvième décile.
4. Placez sur un axe les paramètres caractérisant cet échantillon.
2
Feuille de T.D. n 2
Evènements-Indépendance-Formule de Bayes
Exercice 1 : Soit A, B et C trois évènements. Exprimez en fonction de A; B et C les
évènements suivants :
1/ A et B ont lieu mais pas C
5/ Un de ces évènements et un seul a lieu.
2/ A seul a lieu.
6/ Au moins un de ces évènements a lieu.
3/ Deux de ces évènements ont lieu.
7/ Aucun de ces évènements n’a lieu.
4/ Au moins deux de ces évènements ont lieu. 8/ Pas plus de deux de ces évènements n’ont lieu.
:
Exercice 2 : On jette trois dés. Calculez :
1/ la probabilité d’avoir les trois faces avec le même chi¤re.
2/ la probabilité d’obtenir au moins un 6.
3/ la probabilité d’obtenir au moins deux faces avec le même chi¤re.
Exercice 3 : Soient A1 ; :::; An des évènements. On admettra la formule du ”crible” :
0
1
n
X
X
P (A1 [ ::: [ An ) =
( 1)k 1 @
P (Ai1 \ ::: \ Aik )A
1 i1 <:::<ik n
k=1
1/ Montrez que si P ((Ai1 \ ::: \ Aik )) ne dépend pas du choix de i1 ; :::; ik :
P (A1 [ ::: [ An ) =
n
X
( 1)k
k=1
1
Cnk P (A1 \ ::: \ Ak ) :
2/ Lors du dernier week-end d’intégration de Polytech’Montpellier, les organisateurs ont
demandé aux n participants de se munir d’une tente individuelle. A l’issue de la première soirée,
bien arrosée, il n’y a plus aucun(e) élève lucide et chacun, en rentrant se coucher choisit une tente
au hasard. Quelle est la probabilité que toutes les tentes soient occupées par leur propriétaire ?
Qu’aucune tente ne soit occupée par son propriétaire ?
Exercice 4 : Dans une usine, deux machines A et B fabriquent des micro-processeurs. Ceux
issus de A (resp. B) sont défectueux avec une probabilité de 2% (resp. 4%). La chaîne A (resp.
B) produit 300 (resp. 200) micro-processeurs par jour. On choisit au hasard un micro-processeur
sur la chaîne de fabrication.
1/ Avec quelle probabilité est-il défectueux ?
2/ S’il est défectueux, quelle est la probabilité qu’il ait été produit par la chaîne B ?
Exercice 5 : Dans la région Languedoc-Roussillon, 5% des PME font faillite dans une année.
Ce pourcentage est de 1% pour les grandes entreprises. Une entreprise du LR fait faillite. Quelle
est la probabilité que cela soit une PME sachant qu’il y a 80% de PME dans la région ?
Exercice 6 : Montrez que dans un jeu de cartes le tirage de la couleur est indépendant du
tirage de la valeur.
Exercice 7 : La famille Bayes est composée de 4 personnes : les deux parents et deux
enfants. Sachant que l’un des deux enfants est une …lle, quelle est la probabilité que l’autre
soit un garçon ? Sachant maintenant que la plus agée est une …lle, quelle est la probabilité que
l’autre soit un garçon ?
Exercice 8 : La …nale d’un jeu télévisé américain appelé "Gates of Fortune" se déroule de
la façon suivante. Sur le plateau sont diposées trois portes. Cachée derrière l’une des portes, on
a placé une splendide Chevrolet Corvette. Derrière les deux autres se trouvent deux bouteilles
de Coca-ColaTM vide...Le candidat doit choisir une des portes. Le présentateur, qui connaît la
porte gagnante, laisse la porte choisie par le candidat fermée mais ouvre une porte di¤érente
3
derrière laquelle ne se trouve pas la voiture. Le candidat a alors deux possibilités : soit il
maintient son premier choix, soit il ouvre la dernière porte. Finalement le candidat ouvre la
porte qu’il a choisie et repart soit les mains vides soit au volant d’une nouvelle voiture. Que
feriez vous ?
Exercice 9: Quelle est la probabilité que, lors du tirage du Loto, on tire au moins deux
numéros qui soient consécutifs ?
4
Feuille de T.D. n 3
Variables aléatoires discrètes
Exercice 1 : Soit X une v.a. à valeurs dans N: Montrez que EX =
P+1
n=0 P (X
> n) :
Exercice 2 : Le nombre d’oeufs pondus par une tortue au cours d’une ponte suit la loi de
Poisson de paramètre > 0: Un oeuf a la probabilité p d’arriver à éclosion avec 0 < p < 1:
Quelle est la loi du nombre de bébés tortues à chaque ponte ?
Exercice 3 : Soit X une v.a.d. suivant une loi géométrique de paramètre p: Montrez que
P(X > k + njX > n) = P (X > k) :
Exercice 4 : Soit X une variable aléatoire discrète ne pouvant prendre que les valeurs 3; 4; 5
et 6: Déterminez la loi de X sachant que :
1
1
P (X < 5) = ; P (X > 5) = ; P (X
6
2
3) = P (X = 4) :
Calculez E (X) :
Exercice 5 : Calculez l’espérance et la variance des lois B (n; p) ; G (p) ; P ( ) :
Exercice 6 : On e¤ectue des essais indépendants de probabilité de succès constante et égale
à p avec 0 < p < 1; jusqu’à obtenir un nombre r; …xé à l’avance, de succès. Soit Xr le nombre
de succès. Déterminez la loi de Xr :
Exercice 7 : Soit (Xn )n une suite de v.a. telle que, pour tout n; Xn
B (n; pn ) avec
npn ! : Montrez que
k
lim P (Xn = k) = e
:
k!
On dit que la suite Xn tend en loi vers une loi de Poisson.
Exercice 8 : Soit une urne contenant N boules dont un pourcentage p sont blanches et
1 p sont noires. Il y a donc dans l’urne N p boules blanches. On tire n boules sans remise et
on note X la v.a. égale au nombre de boules blanches obtenues.
1/ Quelles valeurs peut prendre X ?
2/ Montrez que
k Cn k
CN
p N Np
P (X = k) =
:
n
CN
n!+1
Exercice 9 : Un commerçant estime que la demande d’un certain produit saisonnier est
une variable aléatoire X discrète de loi
P (X = k) =
pk
(1 + p)k+1
;k 2 N
où p est le prix d’une campagne publicitaire de l’année prcédente.
1/ Véri…ez que l’on dé…nit bien ainsi une loi de probabilité.
2/ Calculez l’espérance et la variance de X:
3/ Connaissant sont stock s; calculez la probabilité de rupture de stock.
5
Feuille de T.D. n 4
Variables aléatoires à densité
Exercice 1 :
Donnez la densité , la fonction de répartition, l’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [a; b] : Même question pour X 2 en supposant a > 0:
Exercice 2 :
Soit X une v.a. admettant une densité f et soit a > 0: Montrez que Y = aX admet une
densité g (x) = a1 f xa
Exercice 3 :
Chacun sait que le temps de survie d’une savonnette est une variable aléatoire T dont la loi
admet une densité de la forme 2 t exp ( t) : Donnez le nom de cette loi. Une longue expérience
indique que la moyenne E (T ) = 20 jours. Calculez le paramètre ainsi que la fonction de
répartition de T:
Exercice 4 :
Soit X une v.a. suivant une loi de Cauchy. Calculez sa fonction de répartition F et son
inverse G: Montrez alors que si U suit une loi uniforme sur [0; 1] ; G (U ) suit une loi de Cauchy.
Exercice 5 :
Trois personnes A, B et C arrivent à un bureau de poste en même temps pour téléphoner.
Il y a deux cabines qu’occupent immédiatement A et B. C remplace le premier sorti. On note
X; Y et Z les temps d’occupation respectifs des cabines par A, B et C. On suppose que ce sont
des v.a. exponentielles indépendantes de paramètre :
1. Calculez la loi de U = min (X; Y ) :
2. Exprimez en fonction de X; Y et Z l’évènement : {C sort le dernier}.
3. Quelle est la loi du temps total T passé par C à la poste ?
6
Feuille de T.D. n 5
Vecteurs aléatoires, indépendance des v.a, vecteurs gaussiens
Exercice 1 :
Soit (X; Y ) un couple aléatoire de densité f (x; y) = kxyID (x; y) où k est une constante
réelle et
D = (x; y) 2 R2 ; x 0; y 0; x2 + y 2 1 :
1/ Calculer k puis la probabilité de l’évènement fX + Y < tg :
2/ Déterminer les densités de X et de Y: Ces variables aléatoires sont-elles indépendantes ?
Exercice 2 :
Soit T une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre > 0:
1/ On pose Y = [T ] où [:] désigne la partie entière (le plus grand entier inférieur). Quelle
est la loi de Y ?
2/ Soit U = min (T1 ; :::; Tn ) où T1 ; :::; Tn sont des variables aléatoire i.i.d. de même loi que
T: Déterminez la loi de U: En déduire son espérance et sa variance.
3/ Calculez pour tout t; s > 0; P (T > t + sjT > s) : Que remarquez-vous ?
Exercice 3 :
Construire un vecteur aléatoire (X; Y ) tel que les lois de X et de Y soient gaussiennes sans
que le vecteur soit gaussien.
Exercice 4 :
1/ Soit X un vecteur gaussien de loi N (0; Idn ) et U une matrice orthogonale. Montrer que
U X suit une loi normale N (0; Idn ).
2/ Soient X et Y deux v.a. de loi N (0; 1) indépendantes et soient deux réels positifs s et t
tels que s2 + t2 = 1: Montrez que les v.a. sX + tY et tX sY sont indépendantes de loi N (0; 1).
Exercice 5 :
Soient (X1 ; :::Xn ) ; n variables aléatoires indépendantes
de loi NP(0; 1) : Soient a; b 2 Rn avec
Pn
a = (a1 ; :::; an ) et b = (b1 ; P
:::; bn ) : On pose A = i=1 ai Xi et B = ni=1 bi Xi : Montrez que A et
B sont indépendantes ssi ni=1 ai bi = 0:
Exercice 6 : (Chaîne de Markov)
Dans un certain pays, le temps est soit sec (S), soit humide (H). Son évolution obéit à la
règle immuable suivante : si le temps est sec aujourd’hui, il sera sec demain avec la probabilité
4=5: Si le temps est humide aujourd’hui, il sera humide demain avec la probabilité 3=5: Appelons
Sn (resp. Hn ) l’évènement ”le temps est sec (resp. humide) le neme jour”. On note sn et hn les
probabilités de ces deux évènements et xn = (sn ; hn ) :
1/ Exprimer sn+1 et hn+1 en fonction de sn et hn :
2/ En déduire que l’on a xn+1 = Axn où A est une matrice à expliciter.
3/ Nous sommes dimanche et il fait sec. Quelle est la probabilité que le temps soit sec mardi
? soit humide mecredi ?
7
Feuille de T.D. n 6
Convergence des suites de variables aléatoires
Exercice 1 :
On dit que Un suit une loi de Rademacher de paramètre p 2 ]0; 1[ si P (Un = 1) = p et
P (Un = 1) = 1 p: Soit Un une suite i.i.d. de variables aléatoires de Rademacher. On dé…nit
la variable aléatoire Vn = ni=1 Ui = U1 ::: Un :
1/ Calculer EVn et en déduire la loi de Vn :
2/ Montrez que la suite Vn converge en loi.
Exercice 2 :
Soit Xn une suite de variables aléatoires P
indépendantes et de même loi B (p) avec p 2 ]0; 1[ :
Pour tout n on pose Yn = Xn Xn+1 et Sn = nk=1 Yk :
1/ Déterminer la loi de Yn : Peut-on appliquer à Sn la LGN vue en cours ? Pourquoi ?
On va quand même montrer la LGN pour Sn =n:
2/ Montrez que V (Sn ) = np2 1 p2 + 2 (n 1) p3 (1 p) :
3/ Par l’inégalité de Tchebychev, montrez en…n que pour tout " > 0; P Snn p2 > " ! 0
quand n tend vers +1:
Exercice 3 :
Soit Xn une suite de variables aléatoires de loi B (n; p) où p est …xé dans ]0; 1[ : Montrez à
l’aide du Théorème Central Limite que
X
np
L
p n
! N (0; 1) :
np (1 p)
Ceci constitue le Thérème de DeMoivre-Laplace qui permet d’obtenir une approximation de la
loi B (n; p) quand np et n (1 p) sont supérieurs à 10.
Exercice 4 :
Soit X1 ; :::; Xn une suite de v.a. i.i.d. suivant une loi uniforme sur [a; b] ; a < b: Montrez que
Mn = max1 i n Xi tend en probabilité vers b et que mn = min1 i n Xi tend en probabilité vers
a:
Exercice 5 :
P
P
P
P
Montrez que si Xn ! x et si Yn ! y; alors Xn + Yn ! x + y et Xn Yn ! xy:
Exercice 6 :
n
On rappelle que log (1 un )
un quand un tend vers 0 et que pour tout x réel 1 + nx
tend vers ex :
Soit X1 ; :::; Xn une suite de v.a. i.i.d. suivant la loi exponentielle de paramètre : On pose
Mn = max1 i n Xi .
P
1/ Montrez que Mn = log n ! 1= :
2/ Montrez que
Mn
log n
L
!L
où L est une variable aléatoire (qui ne suit pas une loi normale...il ne faut donc pas chercher à
appliquer le TCL) dont la fonction de répartition est FL (x) = exp ( exp ( x)) : Indication :
on montrera la convergence de la fonction de répartition de Mn log n :
8
Feuille de T.D. n 7
Estimation ponctuelle
Exercice 1 :
Donnez les fonctions de vraisemblance et de log-vraisemblance associées à un échantillon
i.i.d. de taille n suivant :
1/ une loi de poisson de paramètre :
2/ une loi exponentielle de paramètre :
3/ une loi unforme sur [0; ] :
Exercice 2 :
Soit X1 ; :::; Xn un échantillon dePv.a. i.i.d. suivant la loi uniforme sur [0; ] :
1/ On veut estimer par S = n2 ni=1 Xi : Expliquez pourquoi S a quelques chances d’être un
estimateur pertinent de : Donnez son biais, sa variance, son risque quadratique. Cet estimateur
est-il convergent ?
2/ On considère un nouvel estimateur V = max1 i n (Xi ) : Répondez aux mêmes questions
qu’au 1/. puis à partir de V; construisez un estimateur non biaisé de :
3/ Quel estimateur un bon statisticien va-t-il privilégier ?
Exercice 3 :
Dans la clinique d’une petite ville le nombre d’accouchements pour une période de 100 jours
se répartit comme suit :
Nbre d’accouchements
Nbre de jours
0
41
1
34
2
16
3
6
4
3
5 et +
0
Total
100
1. Tracez le diagramme en batons associé à cette distribution.
2. Quelle loi de probabilité proposeriez-vous pour approcher cette distribution ? Proposez
une estimation des paramètres de cette loi puis tracez le diagramme en bâtons ”théorique”
associé à ces paramètres sur le même schéma que le diagramme empirique. Commentez.
Exercice 4 :
Soit un échantillon i.i.d. X1 ; :::; Xn de variables aléatoires de densité
f (x) =
K( )
1I[1;+1[ :
x
1/ Déterminez K ( ) pour que f soit bien une densité. On s’intéresse désormais à l’estimation
du paramètre :
2/ Construire un estimateur de par la méthode des moments. Est-il sans biais ?
3/ Construire un estimateur de par la méthode du maximum de vraisemblance.
2
4/ Construire un estimateur de A =
1 par la méthode du maximum de vraisemblance.
Est-il sans biais ?
Exercice 5 :(Examen …nal IG Novembre 2003)
A votre sortie de Polytech Montpellier, vous êtes devenu un professionnel du traitement
statistiques des données et avez fondé votre propre société qui vend sur le net un logiciel révolutionnaire d’analyse statistique. Dans le tableau suivant vous avez récapitulé vos ventes récentes,
semaine après semaine et vous avez vendu 151 logiciels sur les 50 dernières semaines. Les xi
donnent le nombre de logiciels vendus dans la semaine et les ni donnent le nombre de semaines
au cours desquelles vous avez vendu xi logiciels. Une case du tableau est volontairement
laissée vide.
9
xi
ni
0
3
1
7
2
11
3
11
4
8
5
5
6
...
7
2
>7
0
1/ Quel est le nombre de semaines durant lesquelles vous avez-vendu 6 logiciels ? Représentez
graphiquement de façon appropriée ce tableau de données (on placera en ordonnées les fréquences
et pas les e¤ectifs).
2/ Soit Xi la variable aléatoire ”nombre de logiciels vendus pendant la semaine i ”. Quel
type de loi (vue en cours) proposez pour les Xi ? Votre réponse ne sera pas prise en compte si
elle n’est pas justi…ée.
Cette loi dépend d’un paramètre que nous noterons : On souhaite estimer :
3/ Déterminez un estimateur par la méthode des moments ? Donnez sa valeur numérique.
4/ Ecrire la vraisemblance ou la log-vraisemblance (au choix). Déduisez-en l’estimateur du
maximum de vraisemblance puis donnez sa valeur numérique.
5/ Donnez les propriétés suivantes des estimateurs du 3/ et 4/ : biais, variance, risque
quadratique. Sont-ils convergents ?
6/ Tracez, sur le graphique du 1/, le diagramme correspondant à la loi ”théorique” obtenue
avec b ? Qu’en pensez-vous ?
7/ Vous souhaitez prévoir vos ventes.
a/ Estimez (à l’aide des questions précédentes) la probabilité que vous vendiez moins de ( )
trois logiciels la semaine prochaine.
b/ Estimez la probabilité que vous vendiez moins de cinq logiciels au cours des deux prochaines
semaines. (Pour répondre à cette question, on pourra utiliser le résultat suivant : si X1 et X2
sont deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi trouvée au 2/, X1 + X2 suit la même
loi mais avec le paramètre 2 :)
Exercice 6 :
On dispose d’un échantillon i.i.d. X1 ; :::; Xn de variables aléatoires à valeurs dans N: On
souhaite estimer, pour k …xé dans N la grandeur P (X = k) :
1/ La loi des Xi est inconnue. Proposez un estimateur de pbk de P (X = k) (On l’écrira sous
la forme d’une somme de fonctions indicatrices).
2/ Donner le biais et la variance de nb
pk . L’estimateur pbk est-il convergent en moyenne
quadratique ?
3/ On suppose désormais que la loi des Xi est connue et dépend d’un paramètre réel > 0
inconnu. On a donc P (X = k) = pk ( ) : Si l’on dispose d’un estimateur b; quel nouvel estimateur
pek peut-on proposer pour approcher pk ( ) ?
4/ On suppose ici que les Xi suivent la loi géométrique de paramètre 2 ]0; 1[. Donner
l’expression de l’e.m.v. b de et de l’estimateur pek :
5/ En restant sous les hypothèses de la question 4, on cherche à déterminer un majorant de
E (e
pk ( ) pk ( ))2 : Après une étude rapide de la fonction t ! t (1 t)k 1 sur ]0; 1[ ; appliquez
la formule de Taylor à l’ordre 1 à cette fonction entre b et et déduisez-en une borne supérieure
pour E (e
pk ( ) pk ( ))2 :
6/ Comparez les estimateurs pek et pbk .
10
Feuille de T.D. n 8
Intervalles de con…ance
Exercice 1 :
1/ Soit X
N (0; 1) : Calculez P (X > 1) ; P X 2 < 3; 84 :
Trouvez a et b tels que P (X < a) = P (jXj < b) = 0; 95:
2/ Soit X
N (3; 2) ; calculez P (2 < X < 5)
3/ Soit X une v.a. telle que ln (X 2)
N (1; 2) : Calculez P (2; 1 < X < 3) :
Exercice 2 :
Soit Xn une suite de variables aléatoires i.i.d., d’espérance m et de variance
estime m à l’aide de la moyenne empirique X n :
1/ Déterminez une fonction an dépendant de n et de 2 telle que
lim P m 2 X n
n!+1
an ; X n + an
2
> 0: On
= 0; 9
(Indication : on utilisera le TCL et les tables statistiques).
2/ Trouver an lorsque n = 100; 2 = 1 et X n = 2:
3/ Si X n = 2; 5 et 2 = 1 , trouvez la valeur minimale de n pour laquelle an 0; 01:
4/ En s’inspirant de ce qui a été fait au-dessus, donnez un intervalle de con…ance de niveau
asymptotique pour le paramètre d’une loi P ( ) :
5/L’administrateur d’un serveur informatique compte le nombre de mails infectés arrivant
chez les utilisateurs pendant une semaine. On note xi le nombre de messages infectés reçus par
un utilisateur pendant la semaine et ni le nombre d’utilisateurs recevant xi messages infectés.
xi
ni
0
11
1
29
2
27
3
19
4
10
5
4
Si l’on suppose que le nombre de mails avec virus reçus par un utilisateur pendant la semaine
suit un loi de Poisson de paramètre inconnu, déterminez un estimateur de ce paramètre ainsi
qu’un intervalle de con…ance asymptotique de niveau 1%:
Exercice 3 :
On désire estimer le nombre N d’individus d’une espèce animale vivant sur une île. Pour
cela on capture 800 individus que l’on marque puis que l’on relâche. Ensuite, on capture 1000
animaux parmi lesquels on dénombre 250 animaux marqués.
1/ Que proposez vous comme estimateur du nombre d’animaux vivant sur l’île ?
2/ Donnez un intervalle de con…ance à 95% pour N:
Exercice 4 :
On observe X1 ; :::; Xn i.i.d. de loi N 0; 2 :
1/ On veut estimer 2 : Proposer un estimateur b de ce paramètre par la méthode des
moments et donner sa loi.
2/ Construire un intervalle de con…ance au niveau de la forme [c1 ; c2 ] tel que P (b < c1 ) =
=2 = P (b > c2 ) en utilisant la loi de b puis une approximation asymptotique de la loi de b:
Les comparer lorsque n = 10; b = 2; = 0:05:
11
Feuille de T.D. n 9
Introduction aux tests
Exercice 1 :
Préliminaire : On admettra
le résultat suivant : si X1 ; :::; Xn sont indépendantes et suivent
P
des lois N m; 2 ; 12 ni=1 (Xi m)2 suit une loi du Chi deux à n degrés de libertés.
Un fabriquant de boîtes de conserves veut contrôler la contenance de ses boîtes. Il suppose
que la contenance d’une boîte est une variable aléatoire de loi normale N m; 2 : Un échantillon
de 10 boîtes donne les contenances suivantes en grammes.
490 492 497 502 505 490 492 490 497 495
1/ Déterminez des intervalles de con…ance à 95% pour m et 2 :
2/Le fabriquant annonce ”mes boîtes ont en moyenne une contenance de 500g”. Peut-on
a¢ rmer -avec un risque d’erreur de 5%- qu’il dit la vérité ?
Exercice 2 :
En reprenant les résultats l’exercice 3 du TD8, donnez vos réponses aux problèmes de test
au niveau 5% suivants :
1/ H0 : N = 3000:
2/ H0 : N = 2850:
3/ H0 : N 2 [3590; 3625] :
4/ H0 : N 2 [3200; 3600] :
Exercice 3 :
On s’intéresse à la proportion de ménages équipés d’un lecteur DVD en France. Pour cela
on tire un échantillon de n ménages.
1/ Proposez une modélisation de cette expérience en introduisant :
a/ Des variables aléatoires pertinentes (on donnera leur loi).
b/ Un estimateur du paramètre inconnu bâti à partir de ces variables aléatoires.
c/ Un intervalle de con…ance au niveau pour le paramètre inconnu (en utilisant un résultat
asymptotique).
2/ Expliquez comment vous réaliseriez au niveau 5% un test de l’hypothèse :
H0 : la proportion de ménages français équipés est comprise entre7% et 10%:
dans les deux cas suivants :
a/ n = 1000 et 62 ménages ont un lecteur.
b/ n = 25 et 2 ménages ont un lecteur.
12