Semaine 23 - Calcul matriciel, probabilités : événements

Semaine 23 - Calcul matriciel, probabilités :
événements
Tristan Tourniaire
5 et 7 mai 2015
1
Exercices
Exercice 1. Soit 0 6 p 6 1 un taux d’erreur. Une série d’ordinateurs se transmet une
information binaire (« vrai » ou « faux » ) à la chaine. L’ordinateur 0 envoie « vrai » à
l’ordinateur 1, qui transmet ensuite à l’ordinateur 2, etc. À chaque étape, il peut y avoir
une erreur dans la transmission — avec probabilité p — et l’ordinateur k+1 reçoit l’opposé
de ce qu’avait envoyé l’ordinateur k. Sinon (avec probabilité 1 − p), l’ordinateur k + 1
reçoit la même information que l’ordinateur k. Calculer la probabilité pn que l’ordinateur
n reçoive l’information « vrai » (on a p0 = 1).
Exercice 2. Le cruel Dr. No a capturé un mathématicien paresseux et lui administre
un poison mortel. Il place N coffres devant lui, et lui dit qu’avec probabilité p, il a placé
l’antidote dans un des coffres de manière équiprobable, et avec probabilité 1 − p, il n’y a
pas d’antidote du tout. Après avoir ouvert N − 1 coffres, le mathématicien paresseux se
demande si c’est bien la peine d’ouvrir le dernier coffre — c’est assez fatigant. Calculer
la probabilité que l’antidote se trouve dans le dernier coffre, sachant qu’il ne se trouvait
pas dans l’un des N − 1 premiers.
Exercice 3. On se donne N +1 urnes numérotées de 0 à N. L’urne de numéro k contient
k boules blanches et N − k boules noires. On choisit une urne au hasard, chaque choix
étant équiprobable. Puis on tire des boules avec remise, toutes dans l’urne choisie au
début. On se fixe un entier n ∈ N.
1. Quelle est la probabilité que la (n + 1)-ième boule tirée soit blanche sachant que les
n précédentes l’étaient toutes ?
2. Déterminer la limite de cette probabilité lorsque N → +∞.
Exercice 4. Soit A ∈ Mn (R). Montrer qu’il existe M ∈ GLn (R) telle que AM soit la
matrice d’un projecteur.
Exercice 5. Soit A ∈ Mn (R). Montrer que A est non inversible si et seulement si il
existe M ∈ GLn (R) telle que AM soit une matrice nilpotente.
Exercice 6. Pour A = (ai,j )16i,j6n ∈ Mn (R), on définit la trace de A par :
Tr(A) =
n
X
i=0
1
ai,i .
1. Montrer que si A, B ∈ Mn (R) alors Tr(AB) = Tr(BA).
2. Soit E un R-espace vectoriel et u ∈ L(E) tel que pour tout x ∈ E, u(x) ∈ Vect(x).
Montrer que u est une homothétie.
3. Soit A ∈ M2 (R). Montrer que Tr(A) = 0 si et seulement si A est semblable à une
matrice à diagonale nulle.
4. Montrer le même résultat dans Mn (R).
Exercice 7. On considère les matrices suivantes de M4 (R) :
1
0

A=
0
0
0
1
0
0

0
0
1
0
1
0


0
0
, B = 
0
1
0
1


1
1
0
0
0
0
1
0
0
0

 .
1
1

1. Calculer l’idéal annulateur de A, c’est-à-dire
IA = { P ∈ R[X] | P (A) = 0 } .
On rappelle que si P = nk=0 ak X k est un polynôme, la matrice P (A) est définie
P
par nk=0 ak Ak . Calculer de même l’idéal annulateur de B.
P
2. Montrer que A et B ne sont pas semblables. On pourra s’intéresser à A − I4 et
B − I4 .
3. Soit A ∈ Mn (R). Montrer que l’idéal annulateur de A est de la forme
IA = { P Q, Q ∈ R[X] } ,
où P ∈ R[X] est un polynôme unitaire appelé le polynôme minimal de A.
Exercice 8. Soit n > 1 et A ∈ Mn (R) une matrice nilpotente d’indice n, c’est-à-dire
que An = 0 et An−1 6= 0. Montrer que A est semblable à la matrice
0
 1

(0)

B=







0
...
1
... ... ...
(0)
0
1




.



0
2
0