Semaine 23 - Calcul matriciel, probabilités : événements

Semaine 23 - Calcul matriciel, probabilités :
événements
Tristan Tourniaire
5 et 7 mai 2015
1 Exercices
Exercice 1. Soit 06p61un taux d’erreur. Une série d’ordinateurs se transmet une
information binaire (« vrai » ou « faux » ) à la chaine. L’ordinateur 0envoie « vrai » à
l’ordinateur 1, qui transmet ensuite à l’ordinateur 2, etc. À chaque étape, il peut y avoir
une erreur dans la transmission — avec probabilité p— et l’ordinateur k+1 reçoit l’opposé
de ce qu’avait envoyé l’ordinateur k. Sinon (avec probabilité 1−p), l’ordinateur k+ 1
reçoit la même information que l’ordinateur k. Calculer la probabilité pnque l’ordinateur
nreçoive l’information « vrai » (on a p0= 1).
Exercice 2. Le cruel Dr. No a capturé un mathématicien paresseux et lui administre
un poison mortel. Il place Ncoffres devant lui, et lui dit qu’avec probabilité p, il a placé
l’antidote dans un des coffres de manière équiprobable, et avec probabilité 1−p, il n’y a
pas d’antidote du tout. Après avoir ouvert N−1coffres, le mathématicien paresseux se
demande si c’est bien la peine d’ouvrir le dernier coffre — c’est assez fatigant. Calculer
la probabilité que l’antidote se trouve dans le dernier coffre, sachant qu’il ne se trouvait
pas dans l’un des N−1premiers.
Exercice 3. On se donne N+1 urnes numérotées de 0 à N. L’urne de numéro kcontient
kboules blanches et N−kboules noires. On choisit une urne au hasard, chaque choix
étant équiprobable. Puis on tire des boules avec remise, toutes dans l’urne choisie au
début. On se fixe un entier n∈N.
1. Quelle est la probabilité que la (n+ 1)-ième boule tirée soit blanche sachant que les
nprécédentes l’étaient toutes ?
2. Déterminer la limite de cette probabilité lorsque N→+∞.
Exercice 4. Soit A∈ Mn(R). Montrer qu’il existe M∈GLn(R)telle que AM soit la
matrice d’un projecteur.
Exercice 5. Soit A∈ Mn(R). Montrer que Aest non inversible si et seulement si il
existe M∈GLn(R)telle que AM soit une matrice nilpotente.
Exercice 6. Pour A= (ai,j )16i,j6n∈ Mn(R), on définit la trace de Apar :
Tr(A) =
n
X
i=0
ai,i.
1

1. Montrer que si A, B ∈ Mn(R)alors Tr(AB) = Tr(BA).
2. Soit Eun R-espace vectoriel et u∈ L(E)tel que pour tout x∈E,u(x)∈Vect(x).
Montrer que uest une homothétie.
3. Soit A∈ M2(R). Montrer que Tr(A) = 0 si et seulement si Aest semblable à une
matrice à diagonale nulle.
4. Montrer le même résultat dans Mn(R).
Exercice 7. On considère les matrices suivantes de M4(R):
A=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
, B =
1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
.
1. Calculer l’idéal annulateur de A, c’est-à-dire
IA={P∈R[X]|P(A) = 0 }.
On rappelle que si P=Pn
k=0 akXkest un polynôme, la matrice P(A)est définie
par Pn
k=0 akAk. Calculer de même l’idéal annulateur de B.
2. Montrer que Aet Bne sont pas semblables. On pourra s’intéresser à A−I4et
B−I4.
3. Soit A∈ Mn(R). Montrer que l’idéal annulateur de Aest de la forme
IA={P Q, Q ∈R[X]},
où P∈R[X]est un polynôme unitaire appelé le polynôme minimal de A.
Exercice 8. Soit n>1et A∈ Mn(R)une matrice nilpotente d’indice n, c’est-à-dire
que An= 0 et An−16= 0. Montrer que Aest semblable à la matrice
B=
0 (0)
1 0
0 1 ...
.........
(0) 0 1 0
.
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