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Matrices
1. Définition
Une matrice Ade dimension n×pou de format (n;p)est un tableau de nombres comportant
nlignes et pcolonnes.
On note aij l’élément se trouvant à l’intersection de la ligne iet de la colonne j.
Lorsque n=pon dit que la matrice est une matrice carrée d’ordre n.
2. Exemple
A=2−5 4
6 3 −8est une matrice de format (2; 3)
Une matrice carrée d’ordre 2 est une matrice de la forme : a11 a12
a21 a22
3. Matrices particulières
Si n= 1,Aest une matrice ligne.
Si p= 1,Aest une matrice colonne.
Si tous les coefficients sont nuls, Aest une matrice nulle.
4. Égalité de matrices
Deux matrices sont égales lorsqu’elles ont le même format et les mêmes coefficients aux
mêmes emplacements.
5. Définition
La matrice transposée d’une matrice Ade format (n;p)est la matrice de format (p;n),
notée ATobtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.
6. Exemple Si A=2−5 4
6 3 −8alors AT=
2 6
−5 3
4−8
7. Addition de deux matrices de même format
On appelle somme de deux matrices de même format la matrice obtenue en additionnant
les coefficients de même emplacement.
8. Multiplication d’une matrice par un nombre réel
Pour un réel ket une matrice A, on note kA la matrice Mdont l’élément mij est égal à
kaij
9. Exemple
22−5 4
6 3 −8=2×2 2 ×(−5) 2 ×4 2×6 2 ×3 2 ×(−8)=4−10 8 12 6 −16
10. Propriétés
A, B et Csont des matrices de même format, Oest la matrice nulle de même format, ket
k0sont deux nombres réels.
(a) A+B=B+A
(b) A+ (B+C) = (A+B) + C
(c) A+O=O+A=A
(d) 0A=Oet 1A=A
(e) (k+k0)A=kA +k0Aet k(A+B) = kA +kB
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11. Multiplication de deux matrices
ILe produit de la matrice ligne L=a1a2... appar la matrice colonne C=
b1
b2
.
.
.
bp
est le
nombre LC =a1b1+a2b2+... +apbp=
p
X
k=1
akbk
ILe produit de la matrice A= (aij )de format (n;p)par une matrice B= (bij )de format (p;r)
est la matrice, notée AB, de format (n;r)dont le coefficient (cij )est le produit de la matrice ligne
ide Apar la matrice colonne jde B:
cij =
p
X
k=1
aikbkj
12. Exemple
Ade format (2; 3) Bde format (3; 2),C=AB de format (2; 2)
1−1
3 2
−3 4
135
246 −5 25
−4 30
13. Remarque importante
Si les matrices AB et BA sont définies, en général AB 6=BA .
14. Propriétés
A, B et Csont des matrices dont les formats permettent les calculs indiqués, kest un réel
(a) A(BC) = (AB)C
(b) A(B+C) = AB +AC
(c) (A+B)C=AC +BC
(d) (kA)B=A(kB) = k(AB)
15. Matrices unités
Soit nun entier naturel non nul. On appelle matrice unité d’ordre nla matrice I, carrée d’ordre
ndont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale principale (éléments aii) qui sont
égaux à 1.
16. Exemple
La matrice unité d’ordre 3 est I=
100
010
001
17. Inverse d’une matrice carrée
Aest une matrice carrée d’ordre n. On dit qu’une matrice B, carrée d’ordre n, est l’inverse de A
si elle vérifie AB =Iet BA =I.
18. Propriété
Si la matrice carrée Ad’ordre nadmet une inverse, celle-ci est unique. On la note A−1.
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19. Puissance d’une matrice carrée
Aest une matrice carrée et n∈N∗. La puissance n-ième de la matrice A, notée An, est la
matrice définie par : An=AA....A
|{z }
n fois
Par convention, A0=I
20. Théorème
Pour n∈N∗et pour tous nombres réels aet b,
a0
0bn
=an0
0bn
Démonstration par récurrence : exercice
21. Théorème
Soit A=a b
c dune matrice carrée d’ordre 2.
1) Si ad −bc 6= 0,Aadmet une inverse A−1=1
ad −bc d−b
−c a 
2) Si ad −bc = 0,An’a pas d’inverse.
Démonstration
1) Soit B=1
ad −bc d−b
−c a . On vérifie que AB =BA =I=1 0
0 1
2) On suppose que Aadmet une inverse A0
Soit B=−c a
−c aet C=d−b
d−b
BA =−c a
−c aa b c d=0 0 0 0=ODe même, CA =O
B=B(AA0) = (BA)A0=Odonc a=c= 0
C=C(AA0) = (CA)A0=Odonc d=b= 0,Aest la matrice O
ce qui implique que : AA0=I=Oce qui est impossible : An’a pas d’inverse.
Remarque Le nombre ad −bc s’appelle le déterminant de la matrice A
22. Application aux systèmes linéaires
Tout système linéaire de néquations à ninconnues peut s’écrire sous la forme matricielle
AX =Boù Aest la matrice carrée d’ordre ndes coefficients du système, Xest la matrice colonne
des inconnues et Best la matrice colonne formée par les seconds membres des équations.
Si la matrice carrée Aest inversible alors le système a une unique solution égale à A−1B
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Matrices et Suites
23. Suites de matrices
Une suite de matrices colonnes de taille k(k∈N, k ≥2) est une fonction de Ndans l’ensemble
des matrices colonnes de taille k.
24. Définition
On dit que la suite de matrices colonnes (Xn)de taille kest convergente si les ksuites formées
par les termes correspondant à la même ligne sont convergentes.
La limite de la suite est alors la matrice colonne formée des klimites obtenues.
Suites de la forme Un+1 =AUn+B
25. Propriété
Soit une suite de matrices colonnes (Un)de taille ktelle que, pour tout n∈N,
Un+1 =AUn,où Aest une matrice carrée d’ordre k
Alors, pour tout nde N,Un=AnU0
Démonstration par récurrence à compléter
1) Initialisation :
2) Hérédité :
26. Propriété
Soit une suite de matrices colonnes (Un)de taille kvérifiant pour tout n∈N,Un+1 =AUn+B,
où Aest une matrice carrée non nulle d’ordre ket Bune matrice colonne de taille k.
S’il existe une matrice Ctelle que C=AC +Balors le terme général de cette suite peut
s’écrire :
Un=An(U0−C) + C
Remarque Si I−Aest inversible alors C= (I−A)−1B
Démonstration
Comme Un+1 =AUn+Bet C=AC +B, par différence on a : Un+1 −C=A(Un−C)
La suite (Vn)telle que Vn=Un−Cvérifie Vn+1 =AVndonc Vn=AnV0
D’où : Un−C=An(U0−C)soit Un=An(U0−C) + C
27. Convergence des suites vérifiant Un+1 =AUn+B
Soit une suite de matrices colonnes vérifiant Un+1 =AUn+B
On suppose qu’il existe une matrice Ctelle que C=AC +B
1) Si U0=C, la suite converge vers C
2) Si U06=Cet si la suite (An)converge vers une matrice A0alors la suite (Un)converge vers
A0(U0−C) + C
Démonstration Exercice
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28. Marche Aléatoire
(a) Marche aléatoire entre deux états
i. Définition
On considère un système qui n’a que deux états possibles A et B et qui évolue par
étapes successives.
On note pla probabilité qu’il passe de A à B.
On note qla probabilité qu’il passe de B à A.
Le graphe probabiliste ci-contre donne l’évolution du système d’une étape à la suivante.
A B
1-p p
q
1-q
On définit la matrice de transition par : T=1−p p
q1−q
Remarque
Tous les coefficients appartiennent à [0; 1]
Pour chaque ligne, la somme des coefficients est 1.
ii. Définition
Pour n∈N, on note :
Anl’événement : "à l’étape nle système est dans l’état A".
Bnl’événement : "à l’étape nle système est dans l’état B".
an=p(An), bn=p(Bn). On a : an+bn= 1
iii. Définition
La matrice ligne Pn= (anbn)est appelée la répartition de probabilité à l’étape n.
iv. Propriété
Pour n∈N, Pn+1 =PnT
Démonstration
An
an
An+1
1−p
Bn+1
p
Bn
bn
An+1
q
Bn+1
1−q
p(An+1) = p(An∩An+1) + p(Bn∩An+1)
=(1 −p)an+qbn
—————– —————————————–
p(Bn+1) = p(An∩Bn+1) + p(Bn∩Bn+1)
=pan+ (1 −q)bn
1−p p .
q1−q.
PnT=anbn (1 −p)an+bnq pan+ (1 −q)bn
On a bien : Pn+1 =PnT
v. Propriété Pour tout n∈N:Pn=P0Tn
Démonstration Par récurrence.
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