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Puis, par définition de ηα, on obtient
P(||Hn||>ε)≤P¡rn||Xn−x0||≥rnηα¢+P¡αrn||Xn−x0||>ε¢
Comme rn→ +∞, pour toute constante positive M, il existe Ntel que ∀n≥N,
rn≥M. Donc, si nest grand, on obtient P¡rn||Xn−x0|| ≥ rnηα¢≤P¡rn||Xn−x0|| ≥
Mα). D’autre part, la définition de la convergence en loi implique que P¡rn||Xn−X||≥
Mα)→P(Z≥Mα). Si l’on choisit Mtrès grand, on obtient que cette quantité est très
petite. En particulier, limsupP¡rn||Xn−x0||≥rnηα¢=0.
Il faut maintenant majorer le deuxième terme, qui est égal à P¡rn||Xn−x0|| > ε
α¢.
Comme εest fixé, il suffit de choisir αsuffisamment petit pour avoir le résultat 1.
En recollant tous les morceaux, on obtient bien que
limsupP¡||Hn||>ε)=0
ce qui montre que Hn
P
−→ 0 et achève la preuve du théorème, moyennant une applica-
tion du lemme de Slutsky.
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On trouve également une preuve dans [sto, 2010].
COROLLAIRE 1. — Si la suite (Xn)est asymptotiquement normale, c’est-à-dire si 1
pn(Xn−
c) N(0,σ), alors pour toute fonction gcontinûment différentiable, on obtient
1
pn¡g(Xn)−g(c)¢ N³0,〈∇g(c),σ∇g(c)〉´
3 Application : réduction de la variance et loi de l’arcsi-
nus.
Ce paragraphe est issu de [sto, 2010], mais il y a aussi des choses intéressantes dans
[tas, 2004].
Soit (Xn) une suite de variables aléatoires i.i.d. selon une loi d’espérance θet de
variance σ2. On cherche à estimer θet l’on ne connaît pas σ. Par le théorème central-
limite,
ˆ
tn=pn
σ³Sn
n−θ´ N(0,1)
Soit αun seuil de confiance petit et qαle quantile d’ordre 1−α
2, c’est-à-dire P(|N|>
qα)=α. Alors,
Pµpn
σ¯¯¯¯
Sn
n−θ¯¯¯¯>qα¶→α
1. En fait, il fallait majorer le deuxième terme en premier, ce qui donne α, puis majorer le premier
terme.
2